大单元复习02 直线和圆的方程 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义以“直线和圆的方程”为核心，通过知识梳理与热考题型双向构建复习体系。知识梳理部分用表格对比呈现直线平行垂直判定、直线方程五种形式等内容，以分类框架整合倾斜角、斜率、圆的方程及位置关系等概念，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于考点分层设计，如弦长问题结合距离公式、切线问题运用几何法与代数法，培养数学思维与运算能力。题型涵盖单选、多选、解答题，基础题帮助学生掌握通法，综合题提升逻辑推理能力，支持学生自主复习，也为教师实施精准分层教学提供优质资源。

大单元复习02 直线和圆的方程（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 7 【考点1】直线与圆的位置关系（弦长问题） 7 【考点2】直线与圆的位置关系 （切线问题） 9 【考点3】圆的方程 10 【考点4】两条直线的位置关系（平行、垂直） 11 【考点5】距离公式 13 【考点6】直线的倾斜角与斜率及直线5种方程 14 【考点7】圆与圆的位置关系 15 【考点8】直线与圆中的最值问题、对称问题 16 知识梳理 一、直线的倾斜角 (1)直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α＜180°}，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 二、直线的斜率和方向向量 (1)直线的斜率 ①斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k来表示，即k＝tan__α. ②斜率公式：如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，可得斜率公式为k＝. (2)直线的方向向量与斜率的关系如下： 若直线l的斜率为k，则其一个方向向量为(1，k)；若直线的方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 三、两条不重合直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 四、两直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2 五、直线的点斜式方程 点斜式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 图示 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 适用条件 斜率存在 六、直线的斜截式方程 斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程形式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 七、直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程为＝.叫做直线的两点式方程. 八、直线截距式方程 若直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则由两点式得直线l的方程为＝，即＋＝1.方程＋＝1叫做直线的截距式方程. 九、直线的一般方程 (1)直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. (2)二元一次方程与直线的关系 在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示. 对于直线方程的一般式，有如下约定： (1)方程中等号的左侧从左向右一般按x，y，常数项的先后顺序排列； (2)x的系数为正； (3)x，y的系数和常数项一般不出现分数. 十、两条直线的交点坐标 两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 十一、两直线的位置关系的判断 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 十二、直线系过定点问题 (1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). (2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. (3)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 十三、两点间的距离公式 条件 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 结论 |P1P2|＝ 特例 点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝ 十四、坐标法 (1)坐标法的概念：坐标法又称解析法，它是把几何问题转化为代数问题，通过建立适当的平面直角坐标系，加以分析研究解决问题的方法. (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量. ②进行有关代数运算. ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 十五、点到直线的距离 (1)概念：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝. 可以验证，当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立. 十六、两条平行直线间的距离 (1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 十七、圆的标准方程 (1)圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. (2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 注意： (1)当圆心在原点即A(0，0)时，方程为x2＋y2＝r2. (2)当圆心在原点即A(0，0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆. (3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的. 十八、点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，A，M两点间距离为d，则 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点M在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 十九、圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－，－)，半径长为. 注意： (1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形. (2)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项. 二十、直线与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系与判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 判定方法 几何法：设圆心到 直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由 消元得到一元二次 方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 图形 二十一、用坐标法解决几何问题 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 二十二、圆与圆的位置关系 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2(r2＞r1)，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 d>r1＋r2 d<r2－r1 r2－r1<d<r1＋r2 d＝r2－r1 d＝r1＋r2 图示 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 消元， 注意： (1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系. (2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法. (3)两圆外离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线. 热考题型 【考点1】直线与圆的位置关系（弦长问题） 一、单选题 1．若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ） A． B． C． D．2 2．已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 3．已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 4．已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 5．已知直线，圆，则（   ） A．过定点 B．与圆C总有两个不同的公共点 C．存在实数，使圆关于对称 D．被圆C截得弦长的最小值为 6．已知点，圆，则下列结论正确的有（    ） A．点在圆内部 B．点与圆上的点之间距离的最大值为 C．以为中点的弦所在的直线方程为 D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 7．已知点，圆，则下列结论正确的有（   ） A．点与圆上的点之间距离的最大值为 B．点在圆内部 C．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 D．以为中点的弦所在的直线方程为 8．设圆的圆心为，直线过，且与圆交于，两点，若，则直线的方程可以为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．直线被圆所截得的弦长为_____． 10．若直线l与圆，圆都相切，切点分别为A、B，则__________. 11．若斜率为1的直线，被圆截得的弦长为，则该直线方程为____________． 12．已知圆的圆心为直线与的交点，半径为，且圆截直线所得弦的长度为4，则实数________． 【考点2】直线与圆的位置关系 （切线问题） 一、单选题 1．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 4．若过点向圆引两条切线，切点分别为，，则到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 5．已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．若直线与圆相切，则 D．圆上的点到直线的最大距离为7 6．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，已知点是圆上一动点，则（   ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．四边形面积的最小值为 D．当最小时，直线的方程为 7．已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（   ） A．圆心到直线的距离为 B．切线长的最小值为3 C．四边形PACB面积的最小值为 D．当最小时，弦所在的直线斜率为1 8．若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（    ） A． B．15 C．10 D．4 三、填空题 9．过圆上的点的切线方程为______. 10．已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 11．若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 12．已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为_____. 【考点3】圆的方程 一、单选题 1．已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 3．过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．下列说法中正确的是（    ） A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等 B．的圆心为，半径为 C．方程能表示平面内的任何直线 D．若直线不经过第二象限，则的取值范围是 三、填空题 5．若直线是圆的一条对称轴，则______________． 6．若点在圆的外部，则实数m的取值范围________________ 四、解答题 7．已知点C到点A的距离与到点B的距离的比为． (1)求点C的轨迹方程； (2)当A、B、C不共线时，求△ABC面积的最大值． 8．已知为坐标原点． (1)求直线的方程，并求直线中垂线的方程； (2)求的周长与面积； (3)求的外接圆方程与内切圆方程． 9．已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 10．已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【考点4】两条直线的位置关系（平行、垂直） 一、单选题 1．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 2．已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 3．已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 4．若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 5．下列结论错误的是（     ） A．若直线，的斜率相等，则 B．若直线，的斜率分别为，，且，则 C．若直线，的斜率都不存在，则 D．若直线，的斜率不相等，则与不平行 6．已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与直线AB平行 D．当时，直线与直线AB垂直 7．已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 8．已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 三、填空题 9．已知直线，若，则___________ 10．若直线，则_______________. 11．已知两条直线：，：，若，则实数______. 12．若直线与直线垂直，则__________. 【考点5】距离公式 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，轴上与点和点距离相等的点是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与圆相交于点，，，则（     ） A． B． C． D． 3．已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（  ） A．14 B．-14 C．6 D．-14或6 二、多选题 4．已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 5．已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 6．已知直线，下列说法正确的是：（    ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 三、填空题 7．已知点，点为直线上的动点，则的最小值为_____. 8．已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 9．写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 【考点6】直线的倾斜角与斜率及直线5种方程 一、单选题 1．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 3．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 6．已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线与直线垂直，则 C．若直线在轴上的截距为3，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 三、填空题 7．已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 8．过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 9．若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 【考点7】圆与圆的位置关系 一、单选题 1．若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 3．已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 4．已知圆方程为，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若已知在圆内，则 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆方程为 5．已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则（   ） A．的最小值为 B．四边形的面积可能为 C．直线的斜率存在 D．直线过定点 6．已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 三、填空题 7．若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 8．设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 9．圆与圆的公切线长为______. 四、解答题 10．已知圆． (1)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 11．已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 12．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【考点8】直线与圆中的最值问题、对称问题 一、单选题 1．已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（    ） A．24 B．12 C．10 D．5 2．已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 5．已知直线，圆，点在圆C上，则下列说法正确的是（    ） A．直线l过定点 B．圆心C到直线l距离的最大值是1 C．直线l被圆C截得的最短弦长为 D．的取值范围为 6．已知直线，下列说法正确的是：（    ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 三、填空题 7．已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 8．已知直线，圆，P，Q分别为直线l与圆O上的动点，则的最小值为__________． 9．已知直线l：，若圆上存在点与关于直线l对称，则实数r的取值范围为________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 大单元复习02 直线和圆的方程（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 7 【考点1】直线与圆的位置关系（弦长问题） 7 【考点2】直线与圆的位置关系 （切线问题） 14 【考点3】圆的方程 22 【考点4】两条直线的位置关系（平行、垂直） 30 【考点5】距离公式 35 【考点6】直线的倾斜角与斜率及直线5种方程 39 【考点7】圆与圆的位置关系 43 【考点8】直线与圆中的最值问题、对称问题 52 知识梳理 一、直线的倾斜角 (1)直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α＜180°}，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 二、直线的斜率和方向向量 (1)直线的斜率 ①斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k来表示，即k＝tan__α. ②斜率公式：如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，可得斜率公式为k＝. (2)直线的方向向量与斜率的关系如下： 若直线l的斜率为k，则其一个方向向量为(1，k)；若直线的方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 三、两条不重合直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 四、两直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2 五、直线的点斜式方程 点斜式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 图示 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 适用条件 斜率存在 六、直线的斜截式方程 斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程形式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 七、直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程为＝.叫做直线的两点式方程. 八、直线截距式方程 若直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则由两点式得直线l的方程为＝，即＋＝1.方程＋＝1叫做直线的截距式方程. 九、直线的一般方程 (1)直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. (2)二元一次方程与直线的关系 在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示. 对于直线方程的一般式，有如下约定： (1)方程中等号的左侧从左向右一般按x，y，常数项的先后顺序排列； (2)x的系数为正； (3)x，y的系数和常数项一般不出现分数. 十、两条直线的交点坐标 两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 十一、两直线的位置关系的判断 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 十二、直线系过定点问题 (1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). (2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. (3)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 十三、两点间的距离公式 条件 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 结论 |P1P2|＝ 特例 点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝ 十四、坐标法 (1)坐标法的概念：坐标法又称解析法，它是把几何问题转化为代数问题，通过建立适当的平面直角坐标系，加以分析研究解决问题的方法. (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量. ②进行有关代数运算. ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 十五、点到直线的距离 (1)概念：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝. 可以验证，当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立. 十六、两条平行直线间的距离 (1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 十七、圆的标准方程 (1)圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. (2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 注意： (1)当圆心在原点即A(0，0)时，方程为x2＋y2＝r2. (2)当圆心在原点即A(0，0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆. (3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的. 十八、点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，A，M两点间距离为d，则 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点M在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 十九、圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－，－)，半径长为. 注意： (1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形. (2)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项. 二十、直线与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系与判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 判定方法 几何法：设圆心到 直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由 消元得到一元二次 方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 图形 二十一、用坐标法解决几何问题 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 二十二、圆与圆的位置关系 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2(r2＞r1)，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 d>r1＋r2 d<r2－r1 r2－r1<d<r1＋r2 d＝r2－r1 d＝r1＋r2 图示 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 消元， 注意： (1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系. (2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法. (3)两圆外离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线. 热考题型 【考点1】直线与圆的位置关系（弦长问题） 一、单选题 1．若直线x＋y＝0交圆C：于A，B两点，则|AB|＝（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长. 【详解】可化为， 圆心的坐标为，半径为， 则圆心到直线x＋y＝0的距离为， 所以. 2．已知直线：被圆截得的弦长为，则直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用圆的弦长公式及点到直线距离公式列式求解. 【详解】由直线被圆截得的弦长为， 得圆心到直线的距离为， 因此，整理得，解得， 所以直线的斜率. 3．已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂径定理的弦长公式建立圆心到直线距离的方程，再结合点到直线的距离公式求解实数的值. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 4．已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，结合弦长公式表示出的面积，建立方程求解参数. 【详解】由圆的方程，得圆心，半径. 设圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得. 由弦长公式，得弦长. ∵ 的面积为， ∴ . 将上式两边平方得：，令，则， 整理得，解得或. ① 当时，，即， 展开化简得，解得或，均符合题意. ② 当时，，即， 展开化简得，其判别式，无实根. 综上，的值为或. 二、多选题 5．已知直线，圆，则（   ） A．过定点 B．与圆C总有两个不同的公共点 C．存在实数，使圆关于对称 D．被圆C截得弦长的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出直线所过定点判断A；确定定点与圆的位置判断B；由圆心与直线关系判断C；求出最短弦判断D. 【详解】对于A，直线过定点，A正确； 对于B，点在圆内，与圆C总有两个不同的公共点，B正确； 对于C，圆的圆心不满足方程，因此不存在实数，使圆关于对称，C错误； 对于D，，圆半径，当时，被圆C截得的弦长取得最小值，该最小值为，D正确. 6．已知点，圆，则下列结论正确的有（    ） A．点在圆内部 B．点与圆上的点之间距离的最大值为 C．以为中点的弦所在的直线方程为 D．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 【答案】AC 【分析】选项A，通过比较点到圆心的距离与半径的大小来判断；选项B，先求出点到圆心的距离，再加半径；选项C，利用圆的性质，圆心与点的连线与弦垂直求出斜率，然后点斜式写出直线方程；选项D，先根据弦长求出圆心到直线的距离，再结合直线过点来求解. 【详解】点代入，， 点在圆内部，选项A正确； ， 点与上的点之间距离的最大值为，选项B错误； ，以为中点的弦所在的直线的斜率为， 其方程为，即， 以为中点的弦所在的直线方程为，选项C正确； 过点的直线截圆的弦长为，由， 得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合； 当直线的斜率存在时，设直线为，即， ，解得，直线为，即， 所以直线的方程为或，选项D错误. 7．已知点，圆，则下列结论正确的有（   ） A．点与圆上的点之间距离的最大值为 B．点在圆内部 C．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 D．以为中点的弦所在的直线方程为 【答案】BD 【分析】A.先求出点到圆心的距离，则点到圆上点最大距离是；B.把点代入圆的方程，，所以点在圆内部；C. 先由弦长公式求出圆心到直线的距离，接着分斜率存在和斜率不存在设出对应的方程，求解方程 ； D.由为中点的弦得到弦所在的直线与直线垂直，从而得到斜率，由点斜式求出直线方程. 【详解】已知点，圆 ，则圆心 ，半径 ， 选项 A，， 则点到圆上点最大距离是，故 A 错误； 选项 B，因为，所以点在圆内部，故B 正确； 选项 C，弦长 ，由弦长公式， ，即圆心到直线距离， 直线过，当直线的斜率存在时，设的方程是， 即，圆心到直线距离， ， ， 所以直线的方程是即， 当直线的斜率不存在时，直线的方程是 ，圆心到它的距离 ，也满足条件， 所以的方程为： 或 ，故 C 错误； 选项 D，以为中点的弦，则弦与垂直，， 所以弦所在的直线的斜率 ，又过，所以该直线方程为， 即，故D 正确. 8．设圆的圆心为，直线过，且与圆交于，两点，若，则直线的方程可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出圆心的坐标，按直线的斜率是否存在，结合圆的弦长公式求解即得 【详解】圆的圆心，半径， 当直线l的斜率不存在时，则直线方程为， 圆心到直线的距离为1，满足，直线符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线l的距离， 此时直线l：， 所以直线的方程为或. 故选：AC 三、填空题 9．直线被圆所截得的弦长为_____． 【答案】 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式计算求解即可. 【详解】圆可化为 所以圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 10．若直线l与圆，圆都相切，切点分别为A、B，则__________. 【答案】 【分析】利用三角形相似进行求解. 【详解】圆半径为1，圆心为，圆半径为2，圆心为，画图如下： 由题意得：，， 因为，，所以，且相似比为：， 所以，则，，， 所以 11．若斜率为1的直线，被圆截得的弦长为，则该直线方程为____________． 【答案】或 【分析】由点到直线距离公式及垂径定理列出方程即可求解． 【详解】设直线方程为，圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 由垂径定理得或， 所以直线方程为或． 12．已知圆的圆心为直线与的交点，半径为，且圆截直线所得弦的长度为4，则实数________． 【答案】 【详解】联立解得 ∴圆的圆心坐标为． 圆心到直线的距离， 且圆的半径，圆截直线所得弦的长度为4． 由，解得． 【考点2】直线与圆的位置关系 （切线问题） 一、单选题 1．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 2．已知圆，过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设过点的切线与圆的切点分别为，连接， 易得，在中，，则， 故这两条切线的夹角为. 3．由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【详解】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 4．若过点向圆引两条切线，切点分别为，，则到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设点、的坐标，结合点、在直线、上，也在圆上，列出式子，化简得到直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】设，易知直线的斜率存在，所以直线的方程为， 因为点在直线上，所以，即， 又因为点在圆上，所以，所以可化为， 同理，， 所以直线的方程为， 则到直线的距离. 故选：B. 二、多选题 5．已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．若直线与圆相切，则 D．圆上的点到直线的最大距离为7 【答案】ABD 【分析】化简直线为，可判断A正确；利用圆的弦长公式，可判断B正确；由圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，求得的值，可判断C不正确；求得圆心到直线的距离的最大值，结合圆的性质，可判断D正确. 【详解】对于A，由直线，可得， 可得直线恒过定点，所以A正确； 对于B，由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到轴的距离，所以弦长为，所以B正确； 对于C，若直线与圆相切，则满足，即， 解得，所以C不正确； 对于D，由圆的圆心为，直线恒过定点，可得， 当直线与垂直时，此时圆心到直线的距离取得最大值，最大值为， 又因为圆的半径为，所以圆上的点到直线的最大距离为，所以D正确. 故选：ABD. 6．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，已知点是圆上一动点，则（   ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．四边形面积的最小值为 D．当最小时，直线的方程为 【答案】ABD 【分析】对于A：利用圆心到直线的距离减去半径可得到；对于B：当与圆相切且直线时，最大，计算此时的即可；对于C：当直线时，最小，计算此时的四边形面积即可；对于D：当直线时，最小，利用以线段为直径的圆与圆的相交弦直线即为直线的方程，两圆作差即得到此时的直线的方程. 【详解】选项A：，故A正确； 选项B：当与圆相切且直线时，最大， 此时，，，，故B正确； 选项C：由， 当与直线垂直，最小，最小， ， ，故C错误； 选项D：由题意知，则， ，即， ， ， 当最小，取得最小值，此时垂直于直线， 所以直线方程为.，联立，解得，即， 则以为直径的圆的方程为， 即为四边形的外接圆，方程为， 由四边形的外接圆与圆相交于， 两圆方程相减即为的方程，故D正确.    故选：ABD. 7．已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（   ） A．圆心到直线的距离为 B．切线长的最小值为3 C．四边形PACB面积的最小值为 D．当最小时，弦所在的直线斜率为1 【答案】ACD 【分析】本题先根据点到直线距离公式验证圆心到直线的距离，再利用切线长公式计算切线长的最小值，接着结合四边形面积与切线长的关系求面积最小值，最后依据两圆公共弦与连心线的垂直关系判断弦的斜率，逐一分析各选项得出结论． 【详解】 对于A，如图,圆：的圆心为，半径为2， 由题意可得，， 所以， 圆心到直线的距离为，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，当最小时，，为以为直径的圆与圆的交线，，即平行于直线，所以斜率为1，D正确． 8．若在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直，则实数的取值可以为（    ） A． B．15 C．10 D．4 【答案】CD 【详解】由圆，圆心为，半径为， ∵在直线上存在一点，使得过点作圆的两条切线可以相互垂直， ∴在直线上存在一点，使得到的距离等于2， ∴只需点到直线的距离小于或等于2， ，解得， 结合选项，实数的取值可以为10，4. 三、填空题 9．过圆上的点的切线方程为______. 【答案】 【详解】法1：圆心坐标为， 因为点在圆上，故圆心与该点连线的斜率不存在， 故切线的斜率为零，故切线方程为. 法2：过圆上的点的切线方程为： ，即. 10．已知圆，过坐标原点作的两条切线，切点分别为，，点在直线上，则的最小值为________． 【答案】 【分析】确定两个切点坐标，得到直线方程，结合点到线距离公式即可求解. 【详解】 如图，其中一条切线为轴，设切点为． 设另一条切线的方程为，由到切线的距离为2， 得，解得． 所以的方程为． 联立， 消去化简的：， 解得，故， 即，所以． 所以的方程为：，即：． 所以的最小值为点到直线的距离，即． 11．若圆M：（）被直线所截得的弦长为6，过点作圆M的切线，其中一个切点为A，则的值为_____________． 【答案】 【分析】先利用垂径定理和点到直线的距离公式求出参数，再结合切线的性质通过勾股定理计算切线长. 【详解】求圆心到直线的距离：由圆M：（）知圆M的半径， 已知直线截圆所得弦长为6，由垂径定理可得，圆心到直线的距离满足：，代入，解得. 求：根据点到直线的距离公式得，化简得，解得或， 又，所以，即圆心. 计算切线长： 如图，因为是圆的切线，故，为直角三角形， 其中，， 由勾股定理得. 12．已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为_____. 【答案】4 【分析】根据直线和圆的位置关系先求出圆的半径及圆心到直线的距离，再结合求解弦长. 【详解】因为圆与直线相切， 所以圆的半径为， 而圆心到直线的距离为， 所以圆被直线截得的弦长为. 故答案为：4. 【考点3】圆的方程 一、单选题 1．已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又，所以． 因此所求圆的标准方程为． 2．以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 二、多选题 3．过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法求出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 4．下列说法中正确的是（    ） A．若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等 B．的圆心为，半径为 C．方程能表示平面内的任何直线 D．若直线不经过第二象限，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】当直线斜率不存在时可判断A，利用圆的标准方程可判断B，利用两点式直线方程可判断C，利用直线的斜率和截距满足的条件可判断D. 【详解】若两条直线互相平行，当它们垂直于轴时，斜率不存在，故A错误； 由可得，即圆心为，半径为，故B正确； 方程能表示平面内的任何直线，故C正确； 若直线不经过第二象限，则， 解得，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 5．若直线是圆的一条对称轴，则______________． 【答案】2 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上， 即，解得． 6．若点在圆的外部，则实数m的取值范围________________ 【答案】 【分析】由点在圆外及圆的方程的条件列不等式组求解. 【详解】根据题意可得，解得. 故答案为：. 四、解答题 7．已知点C到点A的距离与到点B的距离的比为． (1)求点C的轨迹方程； (2)当A、B、C不共线时，求△ABC面积的最大值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】(1) 设点，根据几何关系列出方程后化简即可； (2) 当点C到AB的距离最大时，△ABC面积最大，结合圆的性质求解即可. 【详解】（1）设点， 因为点C到点A的距离与到点的距离的比为， 则，即， 化简整理可得，， 故点C的轨迹方程为. （2）由（1）可知，点C的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 又△ABC的边长AB＝4， 故要使得△ABC的面积最大，即点C到AB的距离最大，即点C的纵坐标的绝对值最大， 由圆的性质可知，圆上的点到x轴的最大距离为， 故△ABC面积的最大值为． 8．已知为坐标原点． (1)求直线的方程，并求直线中垂线的方程； (2)求的周长与面积； (3)求的外接圆方程与内切圆方程． 【答案】(1)； (2)周长；面积 (3)外接圆方程；内切圆方程 【分析】（1）先求出直线及其中垂线的斜率，再求出的中点坐标，即可根据点斜式求出直线方程； （2）根据两点间距离公式分别求出，即可得的周长，根据即可求出的面积； （3）设外接圆的圆心为，根据的中垂线与的中垂线的交点即为外接圆的圆心求出，再求出其半径，即可得外接圆方程；设的内切圆的圆心为，利用三角形的面积公式求出内切圆半径，再根据点到的距离等于，列出方程求出，即可得内切圆方程. 【详解】（1）    因为，所以， 所以直线的方程为，整理可得. 因为的中垂线和直线垂直，所以中垂线的斜率为， 又因为的中点，所以直线中垂线的方程为， 整理可得； （2）因为，， . 所以的周长为， 的面积为； （3）    设外接圆的圆心为，半径为. 由（1）知中垂线的方程为①， 又因为的中垂线方程为，将其代入①可得， 所以外接圆的圆心为. 其外接圆的半径， 所以的外接圆方程为.    设的内切圆的圆心为，半径为. 由（2）知的周长为20，面积为， 所以的面积 ，解得. 又因为点到的距离等于， 则，解得. 所以的内切圆的方程为. 9．已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，即可求得圆的一般方程； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程. 【详解】（1）设圆C的方程为，其圆心为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得，即圆C的方程为； （2）由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即. ∴圆的标准方程为. 10．已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 【考点4】两条直线的位置关系（平行、垂直） 一、单选题 1．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】由两直线的斜率关系判断. 【详解】由题意， 所以，且经过不在的点， 所以. 2．已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】D 【分析】根据判断. 【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D 3．已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 【答案】A 【详解】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行； 当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合. 4．若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于直线与垂直，故，解得． 二、多选题 5．下列结论错误的是（     ） A．若直线，的斜率相等，则 B．若直线，的斜率分别为，，且，则 C．若直线，的斜率都不存在，则 D．若直线，的斜率不相等，则与不平行 【答案】ABC 【详解】对A，直线，的斜率相等，则或与重合，故A错误； 对B，当直线的斜率时，有，故B错误； 对C，若直线，的斜率都不存在，则或与重合，故C错误； 对D，直线，的斜率不相等，则与不平行，正确. 6．已知直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为 C．当时，直线与直线AB平行 D．当时，直线与直线AB垂直 【答案】AB 【分析】对于A，根据与轴垂直直线的方程，利用赋值法，可得其正误；对于B，根据直线一般式方程以及倾斜角与斜率的关系，可得其正误；对于C，根据已知点的坐标以及两点式方程，整理直线的一般式方程，可得其正误；对于D，根据两直线的一般式方程，结合垂直直线的判定，可得其正误. 【详解】对于A，当时，直线，此时该直线与轴垂直，故A正确； 对于B，当时，直线的斜率为， 由，则该直线的倾斜角为，故B正确； 对于C，当时，直线， 由，则直线，化简可得， 显然两条直线重合，故C错误； 对于D，当时，直线，由直线， 且，则两直线不垂直，故D错误. 故选：AB. 7．已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ABD 【分析】根据直线过定点、两直线平行、直线的图像以及两直线垂直逐项计算判断即可． 【详解】对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，当时，始终过， 因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确． 故选：ABD． 8．已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 【答案】BCD 【分析】根据直线平行和垂直得到关于的方程，解出后即可判断AC，变形得，即可得到方程组，解出后即可判断B，将直线方程化为斜截式即可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得或， 当时，，，则与重合，故舍去， 当时，，，则，故A错误； 对于B，直线，即， 令，解得，故直线过定点，故B正确； 对于C：若，则，解得或，故C正确； 对于D：当时，直线始终过点，且斜率为负，故该直线过第一、二、四象限，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 9．已知直线，若，则___________ 【答案】 【分析】由一般式得到两直线斜率，再由两直线平行，斜率相等求解即可； 【详解】当时，，，两直线不平行， 当时，两直线平行斜率相等， ，则 ，则， 又，则两直线斜率相等，即， 化简计算得：，解得：或， 又时，，，两直线重合， 故. 故答案为： 10．若直线，则_______________. 【答案】 【分析】通过讨论斜率是否存在，确定充要条件. 【详解】已知直线，（、、、、、为常数）. 当直线和的斜率都存在时，则，， 直线的斜率为，直线的斜率为，若，则，可得； 当直线和分别与两坐标轴垂直，不妨设轴，则轴，则，，满足. 综上所述，若直线，则； 故答案为： 11．已知两条直线：，：，若，则实数______. 【答案】 【详解】两条直线：，：， 因为，则，所以. 12．若直线与直线垂直，则__________. 【答案】 【详解】因为， 所以，解得. 【考点5】距离公式 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，轴上与点和点距离相等的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间两点间距离公式可构造方程，从而得到所求点坐标. 【详解】设所求点为. 由得， 解得，因此所求点为. 2．已知直线与圆相交于点，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得圆心，半径. 过点作，垂足为，如图所示： 由题意可得. ，，，，得； 即圆心到直线的距离. ，解得. 3．已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（  ） A．14 B．-14 C．6 D．-14或6 【答案】D 【详解】由题，直线，则两直线距离为或6. 二、多选题 4．已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设点，利用两点间距离公式列出方程，即可得解. 【详解】设，则，整理得， 解得或.当时，；当时，， 所以点的坐标是或， 故选：BD. 5．已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】BD 【分析】利用点到直线的距离公式为，再解方程即可求解. 【详解】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. 6．已知直线，下列说法正确的是：（    ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【分析】A：利用两点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上两个条件联立求解对称点坐标；B：先求出两条直线交点，再在已知直线上任取一点算出其对称点，通过两点求出对称直线方程； C：直线关于定点对称后斜率不变，求出原直线上一点的对称点，代入斜截式得到对应直线方程；D：根据垂直直线斜率关系写出垂线点斜式，代入已知点验证. 【详解】A：设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得， 所以点的坐标为，A正确. B：解方程组得，则点在所求直线上. 在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，则点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程，B正确. C：在直线上取两点、， 则、关于点的对称点分别为、. 因为点、在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即C正确. D：直线斜率为3，故垂直于的直线斜率为，过点的垂线正确方程为， 整理得，故过点垂直于直线的直线的方程是，故D错误. 三、填空题 7．已知点，点为直线上的动点，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】求点关于直线的对称点的坐标，将问题转化为的最小值即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则与已知直线垂直，且的中点在已知直线上， 即，解得，即， 由得， 而，当且仅当三点共线时，取得最小值， 即取得最小值. 如图，    所以. 故答案为：. 8．已知点是直线上任意一点，则点与点之间距离的最小值是___________． 【答案】 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    易知当与直线垂直时，点与点之间距离最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 9．写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 【答案】 【详解】，， 因为，所以到和距离相等的点在这两条直线的中位线上， 设中位线的方程为， 根据平行线间的距离公式可得到的距离为，到的距离为， ，解得，即， 当时，代入可得，即到直线和的距离相等. 【考点6】直线的倾斜角与斜率及直线5种方程 一、单选题 1．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 2．已知平面直角坐标系中的三个点，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，利用直线斜率的计算公式，结合直线与线段的位置关系分析求解即可. 【详解】如图所示， 要使过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率满足：或， 又， 所以的取值范围为：， 由，所以直线的斜率可以是. 3．直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 二、多选题 4．过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分“截距为”和“截距不为”两种情况，分别设直线方程，再代入点求出对应方程. 【详解】若两截距都为，则该直线过原点，其方程为，即； 若截距不为，不妨设其在横轴上的截距为，则在纵轴上的截距为， 此方程为，代入得，解得，整理得． 5．过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据直线在坐标轴上的截距是否为零进行分类讨论，结合截距互为相反数求得正确答案. 【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为， 又直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即； 若直线在坐标轴上的截距不为0， 设直线方程为，又直线过点， 所以，解得，所以直线方程为，即． 综上可知，所求直线方程为或． 6．已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线与直线垂直，则 C．若直线在轴上的截距为3，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AC 【详解】对于A：直线的方程可化为，由，解得， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B：直线的斜率为，直线与直线垂直， 则直线得斜率，故B错误. 对于C：由，令，解得，依题意，解得，故C正确； 对于D：依题意，因，由正切函数的性质，可得，故D错误. 三、填空题 7．已知直线 与直线 ，若直线 与直线 的夹角是 ，则 的值为 ______ 【答案】或 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】的斜率为，所以其倾斜角为， 如图，直线恒过点,若直线与直线的夹角为， 则的倾斜角为或者，所以斜率为或．    8．过点且在轴的截距相等的直线方程是_________ 【答案】或 【分析】根据题意，分直线过原点和不过原点，两种情况分类讨论，即可求解. 【详解】当所求直线过原点时，此时直线的斜率为，直线的方程为； 当所求直线不过原点时，设直线的方程为， 把点代入上式，可得，解得，所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程或. 9．若直线与点构成的线段相交，则的取值范围是_________. 【答案】或 【分析】首先求出直线过定点，利用斜率计算公式求出，，再数形结合即可得解． 【详解】直线过定点，如图，    由，， 由直线与线段相交，可得的取值范围是或. 【考点7】圆与圆的位置关系 一、单选题 1．若圆与圆交于M，N两点，则直线MN的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，直线的斜率为， 而，因此直线的斜率为，其倾斜角为. 2．若圆与交于两点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易知，通过联立圆方程得到直线方程，进而计算得到和长度，最终计算四边形面积. 【详解】如图所示，连接交于点，则， 联立，则直线方程为， ，，， 则. 3．已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减可得直线的方程，代入点，可得的关系式，利用函数单调性可求答案. 【详解】两圆方程相减得，，令，则. 由两圆相交知，，解得， 又，则，易得在上单调递增， 且，所以. 二、多选题 4．已知圆方程为，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若已知在圆内，则 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆方程为 【答案】BD 【分析】对于A，给圆的方程配方即可求解；对于B，根据点在圆内即可列方程；对于C，比较圆心到直线的距离与半径的大小即可；对于D，只需求出圆心关于直线的对称点即可. 【详解】对于A，圆的方程为，所以，得，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，当，时圆C方程为， 此时圆心C到直线的距离，所以与圆相切，故C错误； 对于D，当时，可得圆C的方程为，则圆心，半径为2， 设圆D的方程为，由， 对称圆D方程为即，故D正确. 故选：BD. 5．已知圆，直线，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，则（   ） A．的最小值为 B．四边形的面积可能为 C．直线的斜率存在 D．直线过定点 【答案】ABD 【分析】对A，根据条件得，再求出的最小值，即可求解；对B，利用A中结果，即可求解；对C，根据条件，直接求出直线的方程，再利用的取值范围，即可求解；对D，根据C可得直线的方程为，即可求解. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 对于A，因为，又圆心到直线的距离， 则，所以的最小值为，故A正确， 对于B，因为四边形面积， 由选项A知，所以，故B正确， 对于C，设，则，， 以为圆心，为半径的圆的方程为，即①， 又在圆②上，由①②得到，即， 所以直线的方程为，又点在直线上运动， 当时，直线的斜率不存在，所以C错误， 对于D，由选项C知直线的方程为，且， 所以直线的方程为，即， 由，得到，所以直线恒过定点，故D正确. 6．已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 【答案】BCD 【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误； 由圆：得圆心，半径，所以，故B正确； 又，所以，所以圆与圆相交，故C正确； 由，两式相减得：， 由圆心到直线的距离为：， 所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 三、填空题 7．若圆与圆有且仅有3条公切线，则的最大值为______． 【答案】 【分析】判断出圆与圆的位置关系，利用三角换元法求得的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径. 由于两圆有且仅有3条公切线，所以两圆外切， 所以，即， 设， 所以 ， 其中（为锐角）， 所以， 所以当时，取得最大值为. 8．设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【答案】 【分析】利用直线与圆相切，得到和，联立方程即可求解出结果． 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 9．圆与圆的公切线长为______. 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    四、解答题 10．已知圆． (1)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线与圆相切时的性质，对斜率的存在进行分类讨论，根据点到直线距离公式，求出参数值，求出方程； （2）根据圆的内切和外切时的性质，判定半径之间的关系，进而列出方程，求出参数值. 【详解】（1）若直线斜率不存在，此时方程为，满足与圆相切； 若直线斜率存在，则直线的方程可表示为：，即， 由直线与圆相切，设圆心到直线的距离为，则有，解得， 此时的方程为：， 综上可知方程为：或． （2）因为圆，可得圆心，半径． 又因为圆，可得圆心，半径． 所以圆心距，且， 因为圆与圆有且只有一条公切线， 所以圆与圆内切， 所以，得，解得或． 故实数的值为或． 11．已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】(1)57 (2)， 【分析】（1）求出两圆的标准方程得到圆心和半径，利用两圆外切的性质进行求解即可； （2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 12．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若圆与圆相交于、两点，求公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)或 (2)， 【分析】（1）求出圆心和半径，求出的值判断出在圆的外部，分别按照切线不存在斜率时和切线存在斜率讨论求解，当切线的斜率存在时，利用点斜式设出切线方程，求出圆心到直线切线的距离，由得到的方程，解出的值，将代入切线方程得到所求. （2）两圆相减得到公共弦所在直线的方程；求出圆心到直线的距离为，则计算得解. 【详解】（1），， ， ，， 在圆的外部， 当切线不存在斜率时，切线方程为， 此时圆心到直线的距离为， 则直线不是圆的切线； 当切线存在斜率时，设切线方程为， 即， 圆心到直线的距离为， 解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即； 综上可得，切线的方程为或. （2）①， ②， ①②这两个等式相减，得到，即， 则公共弦所在直线的方程为； 圆心到直线的距离为， 则 即公共弦的长为. 【考点8】直线与圆中的最值问题、对称问题 一、单选题 1．已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（    ） A．24 B．12 C．10 D．5 【答案】A 【详解】求弦最小值，即求圆心到直线距离的最大值. 因为，所以在圆中， 所以， 因此. 2．已知圆上至少有个点到直线的距离为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将圆配方得， 因此圆心为，半径； 若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离需满足； 当时，圆上恰好有3个点到直线距离为1； 当时，圆上有4个点到直线距离为1，均满足要求； 由此可得圆心到直线的距离 ， 解得，即. 3．已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上，从而得出间的关系式，进而通过基本不等式求出最小值. 【详解】因为圆上有两点关于直线对称，可知圆心在直线上，即. ，等号当且仅当时成立. 二、多选题 4．已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A，将圆一般方程化为标准方程，据此可得圆心坐标；对于B，注意到直线过定点，由定点与圆关系可判断选项正误；对于C，设直线到圆心距离为，求出的最大值，可得弦长最小值；对于D，计算出直线到圆心距离，结合图形可判断选项正误. 【详解】对于A：，从而圆心坐标为，故A正确； 对于B：，则直线过定点，又， 则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确； 对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为， 当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误； 对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为， 连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得， 则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为， 综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确. 5．已知直线，圆，点在圆C上，则下列说法正确的是（    ） A．直线l过定点 B．圆心C到直线l距离的最大值是1 C．直线l被圆C截得的最短弦长为 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；记点，分析可知当时，此时圆心到直线的距离为取最大值，可求出的最大值，可判断B选项；利用勾股定理结合B的结论可求出直线被圆C截得的弦长最小值，可判断C选项；令，分析可得直线与圆相切时取得的最大值和最小值，即可求出取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的方程可化为，由可得， 所以直线l过定点，A正确； 对于B选项，设圆心到直线的距离为，记点， 当时，此时取最大值，即， 故圆心到直线距离的最大值是，B错误； 对于C选项，设直线被圆截得的弦长为，则， 当取最大值，取最小值，则， 故直线被圆截得的弦长最小值为，C正确； 对于D选项，令，则， 圆心到直线的距离为， 化简可得：，解得：， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 6．已知直线，下列说法正确的是：（    ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【分析】A：利用两点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上两个条件联立求解对称点坐标；B：先求出两条直线交点，再在已知直线上任取一点算出其对称点，通过两点求出对称直线方程； C：直线关于定点对称后斜率不变，求出原直线上一点的对称点，代入斜截式得到对应直线方程；D：根据垂直直线斜率关系写出垂线点斜式，代入已知点验证. 【详解】A：设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得， 所以点的坐标为，A正确. B：解方程组得，则点在所求直线上. 在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，则点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程，B正确. C：在直线上取两点、， 则、关于点的对称点分别为、. 因为点、在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即C正确. D：直线斜率为3，故垂直于的直线斜率为，过点的垂线正确方程为， 整理得，故过点垂直于直线的直线的方程是，故D错误. 三、填空题 7．已知直线，，圆:,则直线被圆截得的最短弦的长度为________． 【答案】 【分析】先求出直线恒过定点，当时， 圆心到直线的距离取得最大值为，由直线被圆截得的弦长公式求解最短弦的长度. 【详解】由，令，得， 所以直线恒过定点， 圆的圆心，半径， 由，可得点在圆内部，即直线与圆始终相交， 因直线被圆截得的弦长公式为，为圆心到直线的距离， 当取最大值时，弦长最短，则当时， ， 此时最短弦的长度为. 8．已知直线，圆，P，Q分别为直线l与圆O上的动点，则的最小值为__________． 【答案】1 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此直线与圆相离，所以的最小值为. 9．已知直线l：，若圆上存在点与关于直线l对称，则实数r的取值范围为________． 【答案】 【分析】先求出直线所过定点，再根据对称性得到点的对称点的轨迹是以为圆心、为半径的圆，将原题条件转化为圆与该轨迹圆有公共点，利用两圆圆心距与半径的关系建立不等式，从而解出参数的范围. 【详解】由题，，联立 解得直线过定点， 设点关于直线对称点为，则 点在以点为圆心，2为半径的圆上． 题目条件等价于：圆与圆有公共点，即这两个圆相交或相切， ∴，解得．所以的取值范围为． 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $