25.1 一元二次方程的概念分层作业 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习以“概念巩固-基础应用-能力提升-中考衔接”为分层路径，通过梯度化设计实现一元二次方程概念从理解到应用的完整巩固，体现数学抽象、推理与模型意识的核心素养导向。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识回顾|一元二次方程定义、一般形式及解的概念|以填空形式强化核心概念记忆，奠定认知基础| |基础分点练|定义辨析、一般形式转化、解的验证、实际问题列方程|分考点配真题考法，如选择辨析定义、解答转化一般形式，落实基础应用| |能力提升练|参数方程分类、代数式求值、复杂实际问题建模|通过含参方程讨论（如(m-1)x²+3x-5=0的二次项系数分析）提升推理能力，结合几何情境（长方体容积问题）培养模型意识| |链接中考|中考真题中的解的应用、代数式求值|直接选用中考题型（如已知根求参数），实现日常练习与升学测评的衔接|

25.1 一元二次方程的概念分层作业 知识回顾 1.一般地，如果方程中只含有 个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 ，这样的方程叫作一元二次方程. 一；2 2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项. ax2；a；bx；b；c 3.使一元二次方程左右两边 的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的 . 相等；根 基础分点练 考点1 一元二次方程的定义 1．（2026春龙泉市期末）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B．x2+1＝2x C．2（x+1）＝x D．x3+x2+2＝0 【解析】A.，分母含有未知数，是分式方程，故选项A不符合题意； B．x2+1＝2x，即x2﹣2x+1＝0，是一元二次方程，故选项B符合题意； C.2（x+1）＝x， 去括号，得2x+2＝x， 移项、合并同类项，得x+2＝0，是一元一次方程，故选项C不符合题意； D．x3+x2+2＝0，是一元三次方程，故选项D不符合题意． 故选：B． 2．下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？ （1）（p﹣3）2＝（p﹣1）（p+1）； （2）2x2﹣3x＝x（x﹣3）； （3）（4z﹣3）（z+1）＝5z2﹣3； （4）2x（3+x2）＝2x（3x﹣5）． 【解析】（1）（p﹣3）2＝（p﹣1）（p+1）， 整理得，3p﹣5＝0，不是一元二次方程； （2）2x2﹣3x＝x（x﹣3）， 整理得，x2＝0，是一元二次方程； （3）（4z﹣3）（z+1）＝5z2﹣3， 整理得，z2﹣z＝0，是一元二次方程； （4）2x（3+x2）＝2x（3x﹣5）， 整理得，2x3﹣6x2+16x＝0，不是一元二次方程． 考点2 一元二次方程的一般形式 3．（2026濮阳模拟）一元二次方程3x2﹣4x＝2的常数项是（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．3 【解析】由题意得，3x2﹣4x﹣2＝0， ∴常数项为﹣2， 故选：C． 4．（2025秋贵阳期末）将一元二次方程3x2＝5x﹣1化为ax2+bx+c＝0的形式，若a＝3，则b，c的值分别为（　　） A．5，1 B．﹣5，﹣1 C．5，﹣1 D．﹣5，1 【解析】3x2＝5x﹣1， 3x2﹣5x+1＝0， ∴b＝﹣5，c＝1， 故选：D． 5．（2021秋同步）把下列一元二次方程化成一般形式： （1）（3x﹣2）2﹣3x＝x（x+4）； （2）（2t﹣3）（t+2）＝4t﹣5． 【解析】（1）（3x﹣2）2﹣3x＝x（x+4）， 去括号：9x2﹣12x+4﹣3x＝x2+4x， 移项：9x2﹣x2﹣12x﹣4x+4﹣3x＝0， 合并同类项8x2﹣19x+4＝0， （2）（2t﹣3）（t+2）＝4t﹣5， 去括号：2t2+4t﹣3t﹣6＝4t﹣5， 移项：2t2+t﹣4t﹣1＝0， 合并同类项2t2﹣3t﹣1＝0． 6．把下列方程化为最简整系数，并且二次项的系数是正数的一元二次方程： （1）x2x+1＝0； （2）0.25x2﹣1.6x﹣2＝0． 【解析】（1）方程x2x+1＝0的两边都乘以15， 得3x2﹣10x+15＝0，这就是所求的一元二次方程； （2）把方程0.25x2﹣1.6x﹣2＝0的小数系数变为分数x2x﹣2＝0， 方程x2x﹣2＝0的两边都乘以20，得5x2﹣32x﹣40＝0，这就是所求的一元二次方程． 考点3 一元二次方程的解 7．（2026宝应县一模）若x＝1是关于x的一元二次方程2x2﹣5x+a＝0的一个解，则a的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【解析】把x＝1代入关于x的一元二次方程2x2﹣5x+a＝0中，得2×12﹣5×1+a＝0， 解得a＝3， 故选：A． 9．（2026达州校级开学考试）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则m2﹣m的值为　　 ． 【解析】把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0得m2﹣m＝2， 故答案是：2． 考点4 根据实际问题列一元二次方程 10．（2023秋龙华区校级期末）根据下列问题，列方程. （1）已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长． （2）x的2倍与18的和等于54； （3）两连续偶数的积是120，求这两个数中较小的数． （4）绿苑小区住宅设计中，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多11米，那么绿地的长为多少？ （5）某种产品原来成本价是25元，后经过技术改进，连续二次降低成本，现在这种产品的成本价仅16元，试问平均每次降低成本的百分率为多少？ 【解析】（1）设最短的一边长为x，则另外两边的长分别为x+1，x+2， 根据题意得：x2+（x+1）2＝（x+2）2． （2）根据题意得2x+18＝54； （3）设第一个偶数为x，第二个偶数为x+2， 依题意得x（x+2）＝120； （4）设宽为x米，长为（x+11）米， 依题意得x（x+11）＝900； （5）设每次降低x， 依题意得25（1﹣x）2＝16． 能力提升练 1．（2026春朝阳区校级期末）若关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣5＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＜1 C．m≠1 D．m≠0 【解析】由题意得，m﹣1≠0， ∴m≠1， 故选：C． 2．（2026靖江市校级三模）已知a是方程x2﹣2x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为　　 ． 【解析】将x＝a代入原方程得：a2﹣2a﹣5＝0， ∴a2﹣2a＝5， ∴原式（a2﹣2a）5． 故答案为：． 3．（2025秋浔阳区校级期末）若a是方程x2﹣x﹣5＝0的根，则2a2﹣2a+2023的值为　　 ． 【解析】把x＝a代入得：a2﹣a＝5， ∴原式＝2（a2﹣a）+2023＝10+2023＝2033， 故答案为：2033． 4．判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，分别指出它们的各项系数和常数项． （1）2x（x﹣3）＝10； （2）3m2+2＝2（2m+1）； （3）x（3+x2）+1＝5； （4）3y﹣5＝4（2﹣y）； （5）（2k﹣3）（k+5）＝7k； （6）2x（x+3）＝6x． 【解析】（1）2x（x﹣3）＝10， 原方程整理，得：2x2﹣6x﹣10＝0，是一元二次方程，它的二次项系数为2、一次项系数﹣6、常数项﹣10； （2）3m2+2＝2（2m+1）； 原方程整理，得：3m2﹣4m＝0，是一元二次方程，它的二次项系数为3、一次项系数﹣4、常数项0； （3）x（3+x2）+1＝5； 原方程整理，得：x3+3x﹣4＝0，不是一元二次方程； （4）3y﹣5＝4（2﹣y）； 原方程整理，得：7y﹣13＝0，不是一元二次方程； （5）（2k﹣3）（k+5）＝7k； 原方程整理，得：2k2﹣15＝0，是一元二次方程，它的二次项系数为2、一次项系数0、常数项﹣15； （6）2x（x+3）＝6x． 原方程整理，得：2x2＝0，是一元二次方程，它的二次项系数为2、一次项系数0、常数项0． 5．（2025秋襄都区校级月考）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字x小3，个位数字的平方恰好是这个两位数，列出关于x的一元二次方程，并将方程化成一般形式． 【解析】设个位数为x，则十位数为x﹣3， 根据题意得：x2＝10（x﹣3）+x， 化成一般形式为：x2﹣11x+30＝0． 6．（2025秋海珠区校级期中）根据下列问题列方程，不解方程，并将其化为一元二次方程的一般形式． （1）已知两个数的和为7，积为6，求这两个数； （2）如图，在一块正方形纸板的四个角上截去四个相同的边长为2厘米的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的长方体盒子，使它的容积为32立方厘米．求所用的正方形纸板的边长. 【解析】（1）设其中一个数为x，则另一个数为（7﹣x）， x（7﹣x）＝6 x2﹣7x+6＝0； （2）设正方形纸板的边长为x厘米， （x﹣2×2）2×2＝32， x2﹣8x＝0． 7．（2025秋石峰区期末）已知a为方程2x2﹣3x+1＝0的一个根，求代数式（a+1）（a﹣1）+3a（a﹣2）的值． 【解析】∵a为方程2x2﹣3x+1＝0的一个根， ∴2a2﹣3a+1＝0． ∴2a2﹣3a＝﹣1． ∴原式＝a2﹣1+3a2﹣6a＝4a2﹣6a﹣1＝2（2a2﹣3a）﹣1＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3． 8．（2026春姑苏区校级期中）试说明：对于任意实数m，关于x的方程（﹣2m2+8m﹣12）x2﹣3x+1＝0都是一元二次方程． 【解析】∵﹣2m2+8m﹣12＝﹣2（m﹣2）2﹣4，且对于任意实数m，总有（m﹣2）2≥0， ∴﹣2（m﹣2）2≤0， ∴﹣2（m﹣2）2﹣4≤﹣4， ∴对于任意实数m，代数式﹣2m2+8m﹣12的值总不等于0， ∴对于任意实数m，关于x的方程（﹣2m2+8m﹣12）x2﹣3x+1＝0都是一元二次方程． 9．已知关于x的方程（m2﹣9）x2+（m+3）x+2＝0． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【解析】（1）根据题意得m2﹣9＝0且m+3≠0， 解得m＝3， 即当m＝3时，关于x的方程（m2﹣9）x2+（m+3）x+2＝0是一元一次方程； （2）根据题意得m2﹣9≠0， 解得m≠3且m≠﹣3， 即当m≠3且m≠﹣3时，关于x的方程（m2﹣9）x2+（m+3）x+2＝0是一元二次方程． 链接中考 1．（2026河南）已知x＝2是关于x的方程x2﹣mx＝6的一个根，则m的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【解析】把x＝2代入关于x的方程x2﹣mx＝6中，得22﹣2m＝6， 解得m＝﹣1， 故选：D． 2．（2026广东省卷）已知方程x2+3x+c＝0的一个根是1，则c＝　　 ． 【解析】把x＝1代入方程x2+3x+c＝0得：1+3+c＝0， 解得：c＝﹣4， 故答案为：﹣4． 3．（2026甘肃省卷）已知m是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则代数式2m2+4m的值是　　 ． 【解析】将x＝m代入原方程得：m2+2m﹣3＝0， ∴m2+2m＝3， ∴原式＝2（m2+2m）＝2×3＝6． 故答案为：6． 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.1 一元二次方程的概念分层作业 知识回顾 1.一般地，如果方程中只含有 个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 ，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项. 3.使一元二次方程左右两边 的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的 . 基础分点练 考点1 一元二次方程的定义 1．（2026春龙泉市期末）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B．x2+1＝2x C．2（x+1）＝x D．x3+x2+2＝0 2．下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？ （1）（p﹣3）2＝（p﹣1）（p+1）； （2）2x2﹣3x＝x（x﹣3）； （3）（4z﹣3）（z+1）＝5z2﹣3； （4）2x（3+x2）＝2x（3x﹣5）． 考点2 一元二次方程的一般形式 3．（2026濮阳模拟）一元二次方程3x2﹣4x＝2的常数项是（　　） A．﹣4 B．2 C．﹣2 D．3 4．（2025秋贵阳期末）将一元二次方程3x2＝5x﹣1化为ax2+bx+c＝0的形式，若a＝3，则b，c的值分别为（　　） A．5，1 B．﹣5，﹣1 C．5，﹣1 D．﹣5，1 5．（2021秋同步）把下列一元二次方程化成一般形式： （1）（3x﹣2）2﹣3x＝x（x+4）； （2）（2t﹣3）（t+2）＝4t﹣5． 6．把下列方程化为最简整系数，并且二次项的系数是正数的一元二次方程： （1）x2x+1＝0； （2）0.25x2﹣1.6x﹣2＝0． 考点3 一元二次方程的解 7．（2026宝应县一模）若x＝1是关于x的一元二次方程2x2﹣5x+a＝0的一个解，则a的值为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 9．（2026达州校级开学考试）已知m是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则m2﹣m的值为　　 ． 考点4 根据实际问题列一元二次方程 10．（2023秋龙华区校级期末）根据下列问题，列出关于x的方程 （1）已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长． （2）x的2倍与18的和等于54； （3）两连续偶数的积是120，求这两个数中较小的数． （4）绿苑小区住宅设计中，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多11米，那么绿地的长为多少？ （5）某种产品原来成本价是25元，后经过技术改进，连续二次降低成本，现在这种产品的成本价仅16元，试问平均每次降低成本的百分率为多少？ 能力提升练 1．（2026春朝阳区校级期末）若关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣5＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m＜1 C．m≠1 D．m≠0 2．（2026靖江市校级三模）已知a是方程x2﹣2x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为　　 ． 3．（2025秋浔阳区校级期末）若a是方程x2﹣x﹣5＝0的根，则2a2﹣2a+2023的值为　　 ． 4．判断下列方程是不是一元二次方程，如果是，分别指出它们的各项系数和常数项． （1）2x（x﹣3）＝10； （2）3m2+2＝2（2m+1）； （3）x（3+x2）+1＝5； （4）3y﹣5＝4（2﹣y）； （5）（2k﹣3）（k+5）＝7k； （6）2x（x+3）＝6x． 5．（2025秋襄都区校级月考）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字x小3，个位数字的平方恰好是这个两位数，列出关于x的一元二次方程，并将方程化成一般形式． 6．（2025秋海珠区校级期中）根据下列问题列方程，不解方程，并将其化为一元二次方程的一般形式． （1）已知两个数的和为7，积为6，求这两个数； （2）如图，在一块正方形纸板的四个角上截去四个相同的边长为2厘米的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的长方体盒子，使它的容积为32立方厘米．求所用的正方形纸板的边长. 7．（2025秋石峰区期末）已知a为方程2x2﹣3x+1＝0的一个根，求代数式（a+1）（a﹣1）+3a（a﹣2）的值． 8．（2026春姑苏区校级期中）试说明：对于任意实数m，关于x的方程（﹣2m2+8m﹣12）x2﹣3x+1＝0都是一元二次方程． 9．已知关于x的方程（m2﹣9）x2+（m+3）x+2＝0． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 链接中考 1．（2026河南）已知x＝2是关于x的方程x2﹣mx＝6的一个根，则m的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 2．（2026广东省卷）已知方程x2+3x+c＝0的一个根是1，则c＝　　 ． 3．（2026甘肃省卷）已知m是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则代数式2m2+4m的值是　　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $