25.1 一元二次方程的概念&25.2 降次解一元二次方程（课堂训练）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 √知识梳理 ①方程中只含有 个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 ,这样的方程叫作一元二次方程，其一般形式为ax2十bx十c=0(a≠0). ②使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的 (根). √针对训练 1.下列方程中，是一元二次方程的是( (1)2x2-1=-3x; A.3x-1=0 (2)5x(x-2)=4x2-3x. B.2x2-y-1=0 C.x2-x(x十2.5)=0 D.x2-3x=0 2.若x=3是方程x2十x十c=0的解，则常 数c的值是 ( A.12 B.-12C.2 D.-2 3.一个矩形的长为8m,宽为6m,现将长 加长xm、宽同时缩短xm,使变化后的矩 形面积为40m,则下列方程正确的是 7.在元旦前夕，某班数学小组的同学互相 赠送卡片，每两名同学之间都互相赠送 A.8X6-x2=40 一张，这样一共赠送了90张，求这个数 B.(8+x)(6-x)=40 学小组有多少名同学，根据题意列出方 C.(8+x)(6-x)÷2=40 程，并将所列方程化成一元二次方程的 D.(8-x)(6十x)=40 一般形式 4.有下列各数：4，一4,2，一2，其中是一元 二次方程x2十x=8一x的根的是 5.若(m-2)xm2-2-m.x十1=0是关于x 的一元二次方程，则m的值是 6.把下列方程化为一元二次方程的一般形 式，并指出它的二次项系数、一次项系数 和常数项， 。1 25.2降次—解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 针对训练 1.若关于x的方程(x一4)2=a有实数根， (2)x2+2x+1=5; 则a的取值范围是 ( A.a≠0 B.a≥0 C.a>0 D.a<0 2.一元二次方程x2=2的根是 (3)9(x-1)2-4=0. 3.解下列方程： (1)3x2-25=2; 第2课时 用配方法解一元二次方程 ◇针对训练 1.将方程x2一2x一3=0配方后所得的方 (2)2x2-8x+5=0; 程正确的是 ( A.(x-1)2=0 B.(x-1)2=4 C.(x-1)2=3 D.(x-1)2=5 2.解下列方程： a)x-3x=: (3)号-2x=4 ·2· 25.2.2公式法 第1课时 一元二次方程的根的判别式 针对训练 1.下列方程中，有两个不相等的实数根的是 0有实数根，则实数m的取值范围是 ( A.3x2+1=0 B.x2-2x+1=0 5.已知关于x的方程2x2+（m+2)x+ C.x2+x+1=0 D.x2+3x-1=0 m=0,求证：该方程总有实数根. 2.若关于x的方程x2一2x十m=0没有实 数根，则m的值可以是 A.-1 B.0 C.1 D.√3 3.一元二次方程x2十4x+4=0的根的情 况是 4.若关于x的一元二次方程mx2-2x十1= 第2课时 用公式法解一元二次方程 针对训练 1.用公式法解方程x2十x=2时，求根公式 (2)2x-6x+-0: 中a,b,c的值分别为 ( A.1,1,2 B.1,-1,-2 C.1,1,-2 D.1,-1,2 2.解下列方程： (1)x2-x-3=0; (3)3x(x-1)=2x2-18. 。3 25.2.3因式分解法 √知识梳理 先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于 的形式，再使这两个一次式分 别等于 ,从而实现 ,这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. √针对训练 1.由方程x(x十2)=0可以得到的方程是 4.在数学活动课上，老师出了一道解一元 二次方程的题目：x2十4x+3=0.甲、乙 A.x=0或x十2=0 B.x=0 两名同学的解法如下： C.x十2=0 D.x-2=0 甲同学： 2.解下列一元二次方程时，最适合用因式 解：原方程可化为x2+3x十x十3=0. 分解法的是 因式分解，得(x十1)(x+3)=0. A.x2-x-1=0 B.(x-1)2-4x=2 .x+1=0,或x十3=0. C.x2-7x=-1 D.(x-3)2-16=0 .x1=-1,x2=-3. 3.解下列方程： 乙同学： (1)2x2-3x=0; 解：配方，得(x十2)2=7. x+2=士√7. ∴.x1=√7-2，x2=-√7-2. (1)同学们在交流过程中发现甲、乙两名 同学的结果不同，请判断： (2)4x2-12x+9=0; 同学的解法有误（填“甲”或“乙”），错 误的原因是 (2)请你选择一种与甲、乙两名同学都不 相同的解法解方程， (3)x(2-3x)+3x=2. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 √知识梳理 若一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两根为，2，则十x2= x12x2= ◇针对训练 1.已知方程x2一2x一1=0的两根分别为 (3)2x2-3x-2=0; x1,x2,则x1x2的值是 ( A.1 B.-1C.2 D.-2 2.下列方程中，两个实数根的和为2的是 ( A.2x2-x=0 B.x2+2x=0 C.2x2-1=0 D.x2-2x+1=0 (4)5x-5=6x2-4. 3.已知关于x的一元二次方程x2+kx一6= 0有一个根为3，则另一个根为() A.2 B.-2C.6 D.-6 4.设，x2是方程x2-4x十m=0的两个 根，且)十x2一12=1，则x十x2的值 为，m的值为 5.若菱形的两条对角线的长分别是方程 x2一mx十56=0的两个根，则菱形的面 7.已知x1,x2是方程x2一2x一3=0的两 积是· 个实数根，求下列各式的值： 6.利用根与系数的关系，求下列方程的两 (1)(x1-1)(x2-1); 个根x1,x2的和与积： (2)x十x. (1)x2+7x+6=0; (2)x2-3=√2x; 5。为14丝-各 360 18.(I)证明：连接OD.:AB⊥CD,AB是⊙0直径，.AD=AC.∠AOD=∠AOC= 2∠B.∠FDH=2∠B,∠FDH=∠AOD.CD⊥AB,∠DHO=90°..∠AOD +∠HDO=90°.∴∠FDH+∠HDO=90°，即∠FDO=90°..OD⊥DF.,OD是⊙O 的半径，DF是⊙O的切线.(2)解：连接OC.AB⊥CD,AB是⊙O直径，∴.HC= CD-5.BH-5AH-z,BH-5z.OA-OC-3z,OH-OA-AH- 2x.在Rt△COH中，由勾股定理，得HC+OH=OC,即52+(2x)2=(3x)2,解得x =√5（负值已舍去）..0C=35..⊙0的半径为3√5. 19.解：(1)：∠C=40°，∴∠ABC+∠BAC=180°-∠C=140°.：⊙0为△ABC的内 切圆，∠BAO=号∠BAC,∠AB0=合∠ABC.∴∠OAB+∠OBA=合（∠ABC+ ∠BAC)=70°.∴.∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA)=110°.(2），⊙0为△ABC的内 切圆，DE为⊙O的切线，.EH=EI,DI=DG.:AF=AH,BF=BG,CG=CH,∴.AH 十BG=AF+BF=AB=6.CH=名[AC+BC-(AH+BG]-号.△CDE的周长 =CD+CE+EI+DI=CD+CE+EH+DG=CG+CH=2CH=11. 20.(1)证明：连接OP.:PA,PC分别与⊙O相切于点A,C,∴.PA=PC,OA⊥PA. :OA=OC,OP=OP,∴.△OPA≌△OPC(SSS).∴.∠AOP=∠COP.PQ⊥PA, .PQ∥AB.∠QPO=∠AOP.∴∠QOP=∠QPO..OQ=PQ.(2)解：设OA=r,则 PQ=OQ=6+r,PA=PC=AB=2r.,PC是⊙O的切线，.OC⊥PC.∴.∠OCP= ∠PCQ=90°.在Rt△PCQ中，：PQ=PC+CQ,∴.(6+r)2=(2r)2+62,解得r=4 或0（舍去）..OA=4,PA=8.∴OP=√OA+PA=4√5.OB=OC,∠B= ∠OCB.:∠B=号∠AOC=∠AOP,OP∥BD.由(1)知，OB∥PD,四边形OBDP 是平行四边形..BD=OP=4√5. 21.(1)①证明：当点C与点A重合时，PA⊥AB,:AB是⊙O的直径，∴.PA是⊙O的 切线.：PT与⊙O相切于点T,∴PA=PT.②解：PO∥BT.(2)解：连接OT.AB= 8,.OA=OT=4.AC=4-√7，OC=OA-AC=√7.PC⊥AB,.OC2+PC= OP2.PT是⊙O的切线，∴.PT⊥OT..OT+PT=OP..OC+PC=OT+ PT,即(W7)2+52=42+PT..PT=4..PT=OT,.∠P0T=45°.∴.劣弧QT的长 为45π：4=元.(3)解：PT的最小值为3.【解析】连接OT.设AC=x.AB=8,∴OA= 180 OT=4.OC=OA-AC=4-x.:PC⊥AB,.∠PCO=90°.在Rt△PC0中，PO= √OC+PC=√(4-x)+5,:PT为⊙O的切线，.PT⊥OT.在Rt△OTP中，PT =√OP2-OT=√(4-x)2+52-4=√(x-4)2+9.:0≤x≤8，.当x=4时，PT 取最小值，最小值为3，∴PT的最小值为3. 期末质量评估 1.A2.C3.A4.B5.B6.D7.A8.D9.B10.B 1.-112.-813.弩14.(-号，-2 15.解：(1)移项，得(2x-1)2-(4x-2)=0.左边因式分解，得(2x一1)(2x一1-2)=0. 于是得2x一1=0，或2z-3=0,解得五=方西=号.(2)由题意，得-0-3=-1且 k-1<0,解得k=-1. 16.证明：：E为BD的中点，即BE=DE,.∠EAB=∠EBF.:AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°=∠BAC.∴.∠EBF+∠BFE=90°，∠EAB+∠CAF=90°.∴.∠BFE= 40 ∠CAF.∠BFE=∠CFA,∴.∠CAF=∠CFA.∴.CA=CF. 17.解：(1)C1(0,3)和C(0,2)是对称点，.对称中心的坐标为(0,2.5).(2)如图， △A2BC2即为所求.A2(-1,1). x 18.(1)证明：，△=[-(k+3)]-4×1×(2k-1)=(k-1)2+12>0,∴.无论k取何值， 抛物线与x轴总有两个不同的交点.(2)解：当y=0时，x2一(k十3)x+2k一1=0，∴.x1 +x2=k+3,x1x2=2k-1.x十x2-x1x2=6,.k十3-(2k-1)=6,解得k=-2. 19.解：(1)直线BC是⊙O的切线.理由如下：连接OD.:OA=OD,∴.∠OAD= ∠ODA.:AD平分∠CAB,∴.∠OAD=∠CAD.∴∠CAD=∠ODA.∴.AC∥OD. ∠ODB=∠C=90°.∴.BC⊥OD.OD是⊙O的半径，∴.直线BC是⊙O的切线. (2)∠ODB=90°，∠B=30°，∴.∠BOD=90°-∠B=60°，OB=2OD.AB=6,.OA 十OB=3OD=6.∴.OD=2..OB=4..BD=√OB-OD=2V3.∴.S阴影=SAo0B- 8am=合×2x25-6002=25-23 360 1100a+10b+26=14, 20.解：(1)将(10,14.0)，(20,7.0)代入y=ax2+bx+26,得 解得 (400a+20b+26=7, 1 a-40' 6=器 y=0一器x+26=（红-29)+0该阵躁样本平均日生长速率 最小时的年龄为29岁.(2)当c≥10时，k=140+142.5+140+137.5=140,反比例 4 函数的解析式为y=140.(3)由模型1可知，当≥29时，y随x的增大而增大，不符合 x 砗磲的生长规律；由模型2可知，当x≥10时，y随x的增大而减小，符合砗磲的生长规 律，心选择模型2.当x=35时=9=4.答：该阵藤样本35岁时的平均日生长速率 为4um/天. 21.解：(1)如图①所示.60°(2)BE=CF.理由如下：由旋转的性质，得AE=AF, ∠EAF=60°.，△ABC是等边三角形，∴.AB=AC,∠BAC=60°.∴.∠BAC-∠EAC= ∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF.∴.△BAE≌△CAF(SAS).∴.BE=CF.(3)CF= AD或CF=√3AD.理由如下：由旋转的性质，得∠EDF=60°，DE=DF,∴.△DEF是等 边三角形.∴，DE=EF,∠DEF=60°.分两种情况讨论：①当点E在线段BC上时，如图 ②所示.·∠DEC=∠DEF+∠FEC=∠DBC+∠BDE,∴.∠FEC=∠BDE.,AD= BE,AB=BC,∴.AB-AD=BC-BE,即BD=CE.△DBE≌△ECF(SAS).∴.BE= CF.∴.CF=AD.②当点E在CB的延长线上时，过点E作EH⊥CE,交AB的延长线 于点H,如图③所示.：'∠EDH=∠ABC-∠DEC=60°-∠DEC,∠FEC=∠DEF ∠DEC=60°-∠DEC,.∠EDH=∠FEC.,∠EBH=∠ABC=60°，.∠H=90° ∠EBH=30°..BH=2BE.∴.EH=√B-BE=√3BE.BE=AD,DH=BD+ BH=AB-AD+2AD=AB+AD..CE=BC+BE=AB+AD,..DH=CE..DE= EF,∴.△DEH≌△EFC(SAS).∴.CF=EH.∴.CF=√3BE=√3AD.综上所述，当点E 在线段BC上时，CF=AD;当点E在CB的延长线上时，CF=√AD. -41 A(D) B E 图① 图② 图③ 课堂训练 第二十五章一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 知识梳理 ①一2②解 针对训练 1.D2.B3.B4.-4或25.-2 6.解：(1)2x2一1=一3x化为一般形式为2x2+3x-1=0.它的二次项系数为2，一次项 系数为3，常数项为-1.(2)5x(x一2)=4x2-3x化为一般形式为x2-7x=0.它的二次 项系数为1，一次项系数为一7，常数项为0. 7.解：设这个数学小组有x名同学，则每名同学都要赠送(x一1)张卡片.由题意，得x(x -1)=90.化成一般形式为x2一x-90=0. 25.2降次一解一元二次方程 25.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 针对训练 1.B2.x=√2，x2=-√2 3.解：(1)整理，得x2=9.根据平方根的意义，得x=土3，即x1=3,x2=一3.(2)整理， 得(x+1)2=5.根据平方根的意义，得x+1=士5，即x1=-1+√5，x2=-1-√5. (3)整理，得(x-1)=号根据平方根的意义，得。一1=士号，即=号=宁 第2课时用配方法解一元二次方程 针对训练 1.B 2解：1配方，得2-3x+(）》'=子+（会），即(x-)广=号由此可得x一是 =士解得n=3计=8（2整理，得-4=号配方，得 2 2 4红+2=-号+2，即(x-2)2=是由此可得x-2=士号，解得=2+9， ,2=2 .(3)二次项系数化为1，得-62=12，配方，得t-6z十3=12+，即(-31= 21.由此可得x-3=士√21，解得x1=3+√2I,x2=3-√2I. 25.2.2公式法 第1课时一元二次方程的根的判别式 针对训练 1.D2.D3.有两个相等的实数根4.m≤1且m≠0 5.证明：由题意，得△=(m十2)2-4×2×m=m2-4m十4=(m一2)2≥0，.该方程总有 实数根. -42 第2课时用公式法解一元二次方程 针对训练 1.C 2.解：(1)a=1,b=-1,c=-3,△=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13>0..方 程有两个不相等的实数根.工=二b士一延_1生压，即1十区，= 2a 2 2 -厘.(2)：a=2,6=-6c=是∴4=-4ac=(-5-4X2X是=0.方程 2 有两个相等的实数根.六=一品-（9)方程化为r-3z十18=0“a=16 =一3，c=18,∴.△=-4ac=(-3)2-4×1×18=-63<0..方程无实数根. 25.2.3因式分解法 知识梳理 00降次 针对训练 1.A2.D 3.解：(1)左边因式分解得x(2x-3)=0.∴z=0,或2z-3=0.西=0,4=是 (2)左边因式分解，得(2x一3)=0.∴2x-3=0.∴4=a=号.(3)移项，得x(2-3x） 十3.x-2=0.左边因式分解，得(3x一2)(-x+1)=0..3x-2=0,或-x十1=0..x1 2 x2=1. 4.解：(1)乙原方程常数项移项时未变号(2).a=1,b=4,c=3,,∴.△=b一4ac=42 -4X1X3=4>0.小方程有两个不相等的实数根=-生公匹=生，甲 2a x1=-1,x2=-3. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 b c aa 针对训练 1.B2.D3.B4.435.28 6.解：(1)x1十x2=-7,x1x2=6.(2)整理，得x2-√2x-3=0..x1十x2=√2，x1x2= -3.8)西十=音=-1.(4整理，得6-5x十1=0西十数=音函离=行 7.解：由题意，得x1十x2=2,x1x2=-3.(1)原式=x1x2-(1十x2)十1=-3-2十1= -4.(2)原式=(x1十x2)2-2x1x2=22-2X(-3)=10. 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 知识梳理 (a-x)(b-x)(a-2x)(b-2x) 针对训练 1.B2.23.14.12 5.解：(1)BC的长为(20-2x)m.(2)根据题意，得x(20-2x)=42,解得x1=3,x2=7. 当AB=3时，BC=20-2x=20-2×3=14>3,符合题意；当AB=7时，BC=20-2x =20一2×7=6<7，不符合题意，舍去.答：此时花圃的宽AB为3m. 一 43 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 知识梳理 ②a(1士x)2=b 针对训练 1.D 2.解：(1)设该社区的图书借阅总量从八月份至十月份的月平均增长率为x.根据题意， 得2000(1+x)2=2880,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去).答：该社区的图书借 阅总量从八月份至十月份的月平均增长率为20%.(2)2880×(1十20%)=3456（本）. 答：十一月份的图书借阅总量是3456本. 3.解：(1)设每轮传播中平均一台电脑传播x台电脑中了病毒.根据题意，得1十x+ x(x十1)=25，整理，得x2+2x-24=0,解得x1=4,x2=一6（不合题意，舍去）.答：每 轮传播中平均一台电脑传播4台电脑中了病毒.(2)25十25×4=125（台）.答：经过三轮 传播后共有125台电脑中了病毒. 第3课时循环、数字与销售问题 针对训练 1.D2.C3.11 4.解：设应邀请x支球队参赛.根据题意，得分x(红一1)=3×7，解得x=7,=-6 (不合题意，舍去).答：应邀请7支球队参赛 5.解：设这个两位数的十位数字为x.根据题意，得2x(9一x)=10x十9一x,解得x1= 3,=号（不合题意，舍去）.9-x=6.答：这个两位数是36. 6.解：1100+x)(100-号(2)根据题意，得(10+x)(10-号=11200， 解得x1=40,x2=60.答：每间包房的收费应提高40元或60元. 第二十六章二次函数 26.1二次函数的概念 知识梳理 y=ax2十bx十c二次一次常数项 针对训练 1.D2A3.D415y=22-2x是 6.解：(1)一般形式为y=一2x2,.二次项系数为一2，一次项系数为0，常数项为0. (2)一般形式为y=2x2-2x十1，二次项系数为2，一次项系数为一2，常数项为1. 7.解：(1)y=x2+34x(2)当x=2时，y=22十34X2=72. 26.2二次函数的图象和性质 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 知识梳理 ①y轴原点上低下高小②减小增大增大减小 针对训练 1.A2.C3.C4.D5.> 6.解：(1)，当x>0时，y随x的增大而增大，∴.m十2>0，解得m>一2.(2)答案不唯 一，如：若m=1,则这个函数的解析式为y=3x2.列表： =3x 描点、连线，画出y=3x2的图象如图所示. =3x -101 26.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 知识梳理 ①y轴(0，)上低小下高大k②上下 针对训练 1.D2.D3.A4.B5.< 6.解：(1)平移后二次函数的解析式为y=一x2+4.(2)列表： x…一2 -1012 y …03430… 描点、连线，画出函数图象如图所示 -5-4-321 345x 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 知识梳理 ①x=h(h,0)上减小增大下增大减小②右左 针对训练 1.C2.C3.B4.y1>y2>y8 5.解：列表： …01234… y=(x-2)2 41014… 描点、连线，画出函数图象如图所示.(1)上x=2(2,0)(2)将二次函数y=x2的 图象向右平移2个单位长度可以得到二次函数y=(x一2)2的图象. -4-2246x 第3课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 知识梳理 ①h,k②上下h(h,k) -45