专题 矩形的折叠 专项训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以折叠位置分类（内部/外部）构建训练体系，通过基本模型提炼轴对称性质与几何推理方法，培养几何直观与推理能力，实现知识逻辑与解题能力的统一。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |折叠后图形在矩形内部|15题（含选择/填空/解答）|轴对称性、对应边角相等、垂直平分线性质、等腰三角形判定，结合勾股定理与方程思想|矩形性质→折叠（轴对称）→性质应用→几何计算与推理| |折叠后图形在矩形外部|15题（含选择/填空/解答）|轴对称性质迁移、全等三角形判定、折叠后图形位置关系分析|矩形性质→折叠（轴对称）→外部图形关系→综合推理与计算|

矩形的折叠专题训练 类型1折叠后图形在矩形内部 类型2折叠后图形在矩形外部 ◆图形梳理◆ 折叠的基本模型 D A E D 图示 C' 2 G B A D B B C (1)△BCG与△B'CG成 (1)△BCD与△BC"D成轴对 (1)四边形NCD与四边形MNCD成轴对称，对称轴是线段CG 称，对称轴是线段BD所在的直 轴对称，对称轴是线段MN所在的直线； 所在的直线： 文字线：△BCD=△BC"D,对应边、 2)BC-=B'C BG-B'G 说明 对应角均相等： (2)MD-MD',CN-CN,CD-CD', ∠DMN∠DMN,∠D=∠MD'C', ∠B=∠CB'G, (2)BD垂直平分CC': ∠C=∠C',∠CM=∠C'M ∠BGC=∠B'GC, (3)△BDE是等腰三角形 ∠BCG=∠B'CG ◆专题突破◆ 类型1折叠后图形在矩形内部 1.(25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C在坐标 轴上，点B(5,3),将△ABE沿着AE折叠，点B恰好落在OC边的点F处，则点E的坐标为() B.(5,2) c.(5,3) 2.(25-26八年级下·河南开封·期中)如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC 重合，点B落在点F处，折痕为AE,且EF=3,则AB的长为() 试卷第1页（共11页) A.4 B.5 C.6 D.7 3.(2026山东东营中考真题)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点C,A分别在x轴， y轴上，OC=6,OA=4.折叠矩形，使AB与OC重合，EF是折痕：展开后，在OC上取一点D,将△BCD 沿BD折叠，使点C的对应点P恰好落在折痕EF上，则点P的坐标为() B D E A.(25,2 B.(6-23,2 c.(23-6,2 D.(2,6-23) 4.(2026山东枣庄·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=10,BC=12,点MN分别在AD,BC上，且 AM=BN,AD=3AM,E为BC边上一动点，连接DE,将△DCE沿DE所在直线折叠得到△DCE,当C'点 恰好落在线段MN上时，E的长为() y7 D N E A.55 B.5 C.3 D.35 5.(25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测)如图，已知矩形ABCD,E,F分别是边AB,CD的中点，M, N分别是边AD,AB上两点，将△4MN沿MN对折，使点A落在点E上.若AB=a,BC=b,且N是FB 的中点，则的值() h M A.3 B. 3 c.√ D. 2 试卷第2页（共11页） 6.(25-26九年级上辽宁鞍山·开学考试)如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=8,点E为DC边上的一 个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D刚好落在矩形ABCD的对称轴上时，则DE的长为(). D A. B.3 3 c.5 D.或5 2 3 7.(25-26八年级下·云南红河·期末)如图，在矩形纸片ABCD中，已知BC=16,折叠纸片使边AB与对 角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE,且EF=6,则矩形纸片ABCD的周长为 D B---- 8.(2026江西·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=5,E是CD上一点，将△BCE沿BE折叠，点C恰 好落在AD边上的点F处，连接CF交BE于点G,点H为AF的中点，连接HG,若DE=2,则GH的长 为 D BV-- 9.(25-26八年级下·贵州铜仁阶段检测)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E为BC的中点， 将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF,则CF的长为一· 10.(25-26九年级上河南郑州·开学考试)如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=6,点P是射线BC上一 动点，I为矩形的一条对称轴，将△ABP沿AP折叠，当点B的对应点B'落在I上时，BP的长为 试卷第3页（共11页） B B 11.(25-26八年级下·广东广州·期末)如图，对折矩形ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF后展平， 点M在AD上，沿着BM再折叠矩形，使点A落在EF上的点N处，若AB=2√3，则BM的长为， A D F B 12.（25-26九年级下·辽宁营口·开学考试)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E是AB边上的点， 把ABCE沿CE翻折，点B落到点P处，当△APE是直角三角形时，BE=· E D 13.(25-26八年级下·浙江台州·期末)如图，矩形ABCD,点E,F分别为AB,BC的中点，连结EF与 对角线BD相交于点G.点H是AD上一点，连结CH与BD相交于点M,将△CDH沿CH折叠，点D的 对应点恰好落在点G,则S△B心：S△cDM= H A D M 试卷第4页（共11页) 14.(26-27九年级上广西南宁开学考试)综合与实践 【回归教材】 人教版八年级下册教材中，利用矩形的性质研究得到直角三角形的一个性质，如图1， E E E 图1 图2 图3 图4 【知识运用】 (I)在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E为BC中点，连接AE. ①如图2，若点F在AE上，∠BFC=90°，求AF的长： ②如图3，若将△ABE沿AE翻折，点B的对应点为点F,连接CF并延长，交AD于点G,求GD的长： 【思维拓展】 (2)如图4，在(1)的条件下，点E变为BC边上一动点，仍将△ABE沿AE翻折，点B的对应点为点F, 连接CF,DF.当△CDF是以DF为腰的等腰三角形时，直接写出BE的长 试卷第5页（共11页） 15.(25-26八年级下·山西大同期末)综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在。ABCD中，BE⊥AD,垂足为E,点F为CD的中点， 连接EF,BF,试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明： D F D F D E B B 图① 图② 图③ 独立思考： (1)请解答老师提出的问题； 实践探究： (2)勤学小组受此问题的启发，将口ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如图②，点C的对应 点为E,连接DE并延长交AB于点G,请判断四边形DGBF的形状，并加以证明： 问题解决： (3)善思小组突发奇想，将矩形ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如图③，点C的对应点 为E,连接DE.该小组提出一个问题：若AB=6,BC=4,求四边形DEBF的面积.请你思考此问题， 并直接写出结果。 试卷第6页（共11页) 类型2折叠后图形在矩形外部 16.(2026·浙江嘉兴·模拟预测)如图，△BDC”是将矩形纸片ABCD沿BD折叠得到的，BC'与AD交于点E, 则图中共有全等三角形() E D A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 17.(25-26七年级下·河北张家口·期末)如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B'的 位置，AB与CD交于点E,若AB=8,AD=2,则图中阴影部分的周长为() B D E A.20 B.18 C.14 D.10 18.(25-26八年级下·云南德宏·期末)如图，将矩形纸片ABCD沿AC折叠，使点B落在E处，CE,AD相 交于点F,AD=&c,AB=4cm,则DF的长度为() A D B---------------- A.1cm B.3cm C.5cm D.7cm 19.(25-26八年级下·天津东丽·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,折叠该矩形，使 点D与点B重合，折痕为EF,则△BEF的面积为() E D B A.3cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.7.5cm2 试卷第7页（共11页） 20.(25-26八年级下·河北石家庄·期末)在矩形ABCD中，AB=5,AD=9,点E,F分别是边AD,BC 上的点.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，点A,B分别落在点A'与点B'处，点C恰好在边AB'上，A'E 与CD交于点G,若CG=EG,则A'C的长为() A B A B.4 C.5 D.3 2 21.(26-27九年级上·广西南宁·开学考试)如图，一块矩形纸片ABCD,长BC=4c,宽CD=3c,将这 块矩形纸片沿对角线BD对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到△BDE,则EF= B 22.(26-27九年级上·山东青岛·开学考试)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,将△ABC沿 AC折叠，点B落在点E处，连接DE.若AB=BD,BC=3,则四边形AODB的面积为 D B 23.(2026江苏扬州·模拟预测)如图，一块矩形纸片ABCD,长BC=8cm,宽CD=6cm,将这块矩形纸 片沿对角线BD对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到△BDE，则EF=· F y 试卷第8页（共11页） 24.(25-26八年级下·重庆巫山·期末)如图，已知矩形纸片ABCD(AB>AD),点E和点F分别是CD和AB 上的点，将四边形BCEF沿EF折叠，使点B和点D重合，再将△ADF沿DF继续折叠，当点A的对应点H EF 恰好落在线段EF上时， AB G D 25.（2026山东泰安·模拟预测)如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(8,0)，点C的坐标为(0,4)， 把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为， C B D 26.(25-26七年级下·山东临沂·期末)如图，将矩形ABCD沿BD折叠得到△BCD,折叠后C'D与AB交于 点E,已知∠2=42°，则A的大小为 D 27.(26-27八年级下·全国·课后作业)如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在平面上的 点B'处，AB'交CD于点E,∠EAC=25°.求∠B'CE的度数. B' E B 试卷第9页（共11页） 28.(2026四川雅安·二模)如图，矩形ABCD中，AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B 落在点E处，AE交CD于点F,连接DE. (I)求证：△ADE≌△CED; (2)求证：△DEF是等腰三角形. 29.(26-27九年级上广东惠州开学考试)【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠” 为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动. G ----D F F G 图① 图② 图③ (I)如图①所示，小华将矩形ABCD沿EF折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若∠AFB=60°， 则∠AFE= °，∠AEF= (2)如图②所示，张三将矩形ABCD沿对角线BD折叠后，使得点C与点E重合，BE与AD相交于点F,过 点D作DG∥BF交BC于点G,求证：四边形DFBG是菱形： 迁移应用： (3)如图③所示，李四将矩形ABCD沿对角线BD折叠后，使得点C与点E重合，BE与AD相交于点F,连 接AE,若∠CBD=30°，CD=3N2,求AE的长. 试卷第10页（共11页） 30.(25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末)如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠， 顶点C落到点E处，BE交AD于点F, E A 图1 图2 (1)由折叠知，DCDE,∠E∠C(填=”或)： (2)求证：BF=DF: (3)如图2，过点D作DG‖BE,交BC于点G,连接FG交BD于点O. ①判断四边形BFDG的形状，并说明理由； ②若AB=4,AD=8,求四边形BFDG的面积. 试卷第11页（共11页) 矩形的折叠专题训练 类型1 折叠后图形在矩形内部 类型2 折叠后图形在矩形外部 ———————————◆图形梳理◆————————— 折叠的基本模型 图示 文字说明 （1） 与 成轴对称，对称轴是线段 所在的直线； ,对应边、对应角均相等； （2） 垂直平分 ； （3） 是等腰三角形 （1）四边形 与四边形 成轴对称，对称轴是线段 所在的直线； （2） , , , ， ， ， （1） 与 成轴对称，对称轴是线段 所在的直线； （2） , , , , ———————————◆专题突破◆————————— 类型1 折叠后图形在矩形内部 1.（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，点，将沿着折叠，点B恰好落在边的点F处，则点E的坐标为（     ） A． B． C． D． 2.（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2026·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点C，A分别在轴，轴上，，．折叠矩形，使与重合，是折痕；展开后，在上取一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在折痕上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4.（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，在矩形中，,，点M,N分别在,上，且,,E为边上一动点，连接，将沿所在直线折叠得到，当点恰好落在线段上时，的长为(     ) A． B．5 C．3 D． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，已知矩形，，分别是边，的中点，，分别是边，上两点，将沿对折，使点落在点上．若，，且是的中点，则的值（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，把沿折叠，当点的对应点刚好落在矩形的对称轴上时，则的长为（   ）． A． B． C．或 D．或 7．（25-26八年级下·云南红河·期末）如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则矩形纸片的周长为______________． 8．（2026·江西·模拟预测）如图，在矩形中，，是上一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，点为的中点，连接，若，则的长为________． 9．（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接，则的长为______． 10．（25-26九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在矩形中，，点是射线上一动点，为矩形的一条对称轴，将沿折叠，当点的对应点落在上时，的长为__________． 11．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，对折矩形，使与重合，得到折痕后展平，点在上，沿着再折叠矩形，使点落在上的点处，若，则的长为______． 12.（25-26九年级下·辽宁营口·开学考试）如图，矩形中，，，是边上的点，把沿翻折，点落到点处，当是直角三角形时，______． 13．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，矩形，点，分别为，的中点，连结与对角线相交于点．点是上一点，连结与相交于点，将沿折叠，点的对应点恰好落在点，则________． 14．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）综合与实践 【回归教材】 人教版八年级下册教材中，利用矩形的性质研究得到直角三角形的一个性质，如图1． 【知识运用】 (1)在矩形中，，，点E为中点，连接． ①如图2，若点F在上，，求的长； ②如图3，若将沿翻折，点B的对应点为点F，连接并延长，交于点G，求的长； 【思维拓展】 (2)如图4，在（1）的条件下，点E变为边上一动点，仍将沿翻折，点B的对应点为点F，连接，．当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的长． 15．（25-26八年级下·山西大同·期末）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，点为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考： (1)请解答老师提出的问题； 实践探究： (2)勤学小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断四边形的形状，并加以证明； 问题解决： (3)善思小组突发奇想，将矩形沿着（为的中点）所在直线折叠，如图③，点的对应点为，连接．该小组提出一个问题：若，，求四边形的面积．请你思考此问题，并直接写出结果． 类型2 折叠后图形在矩形外部 16．（2026·浙江嘉兴·模拟预测）如图，是将矩形纸片沿折叠得到的，与交于点，则图中共有全等三角形（     ） A．对 B．对 C．对 D．对 17．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，将矩形纸片沿其对角线折叠，使点落到点的位置，与交于点，若，，则图中阴影部分的周长为（     ） A． B． C． D． 18.（25-26八年级下·云南德宏·期末）如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）在矩形中，，，点，分别是边，上的点．如图，将矩形沿折叠，点，分别落在点与点处，点恰好在边上，与交于点．若，则的长为（     ） A． B．4 C．5 D． 21.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，一块矩形纸片，长，宽，将这块矩形纸片沿对角线对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到，则___________． 22．（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）如图，矩形的对角线与相交于点，将沿折叠，点落在点处，连接．若，，则四边形的面积为________． 23.（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，一块矩形纸片，长，宽，将这块矩形纸片沿对角线对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到，则______． 24．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）如图，已知矩形纸片，点和点分别是和上的点，将四边形沿折叠，使点和点重合．再将沿继续折叠，当点的对应点恰好落在线段上时，_______． 25.（2026·山东泰安·模拟预测）如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为_____． 26.（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，将矩形沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为______． 27．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在平面上的点处，交于点E，．求的度数． 28．（2026·四川雅安·二模）如图，矩形中，，把矩形沿对角线所在直线折叠，使点B落在点E处，交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 29.（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_________，_________； (2)如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，过点D作交于点G，求证：四边形是菱形； 迁移应用： (3)如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，连接，若，，求的长． 30．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点． (1)由折叠知，_____，_____（填“=”或“≠”）； (2)求证：； (3)如图2，过点作，交于点，连接交于点． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，求四边形的面积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 矩形的折叠专题训练 类型1 折叠后图形在矩形内部 类型2 折叠后图形在矩形外部 ———————————◆图形梳理◆————————— 折叠的基本模型 图示 文字说明 （1） 与 成轴对称，对称轴是线段 所在的直线； ,对应边、对应角均相等； （2） 垂直平分 ； （3） 是等腰三角形 （1）四边形 与四边形 成轴对称，对称轴是线段 所在的直线； （2） , , , ， ， ， （1） 与 成轴对称，对称轴是线段 所在的直线； （2） , , , , ———————————◆专题突破◆————————— 类型1 折叠后图形在矩形内部 1.（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，点，将沿着折叠，点B恰好落在边的点F处，则点E的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据题意求得，，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，四边形是矩形 ∴，， 设，则， 由折叠可得，，， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，， ∴点E的坐标为． 2.（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出的长，由翻折变换的性质得出，，，在中利用勾股定理求出的长，设，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵是翻折而成， ∴，，， ∴，， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴． 3．（2026·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点C，A分别在轴，轴上，，．折叠矩形，使与重合，是折痕；展开后，在上取一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在折痕上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据第一次折叠确定的位置及点纵坐标，根据第二次折叠性质得出，在中利用勾股定理求出长，进而确定 点横坐标． 【详解】解：∵ 折叠矩形使与重合，是折痕， ∴ 垂直平分，，为 中点， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ， ∴，， 点纵坐标为 ； ∵ 将沿折叠，点的对应点落在折痕上， ∴， 在 中， ， ∵ 点 在点左侧 ， ∴ 点横坐标为 ， ∴ 点的坐标为 ． 4.（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，在矩形中，,，点M,N分别在,上，且,,E为边上一动点，连接，将沿所在直线折叠得到，当点恰好落在线段上时，的长为(     ) A． B．5 C．3 D． 【答案】C 【分析】先依据矩形边长与线段比例算出、、的长度，判定四边形为矩形；再在中利用勾股定理求出，进而得到的长度；设，用含x的式子表达，在中列勾股方程解出x，最终计算出的长． 【详解】解：设，则， ∵矩形中，，， ∴，，， ∵点M，N分别在，上，且，， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，即， ∴． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，已知矩形，，分别是边，的中点，，分别是边，上两点，将沿对折，使点落在点上．若，，且是的中点，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可证四边形是矩形，可得，，由折叠性质可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是矩形 ，，， ，分别是边，的中点，是的中点， ，， ， ，，， 四边形是矩形， ，， 将沿对折，使点落在点上 ， 在中，， ， （负值已舍去） ． 6．（25-26九年级上·辽宁鞍山·开学考试）如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，把沿折叠，当点的对应点刚好落在矩形的对称轴上时，则的长为（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】矩形有两条对称轴，因此分两种情况讨论；利用折叠性质得到，，再借助勾股定理列方程求出的长度． 【详解】解：设，由折叠性质得：，． 矩形的对称轴分为两种情况： 情况一：落在竖直对称轴上，过点作于，交于，如图，平分、， ， 此时， 在中： ， ， 又， 在中，由勾股定理：， ， 解得：． 情况二：落在水平对称轴上，过点作于，交于，如图，平分、， ， 此时． 在中：， ， 在中：， ， 解得：． 综上：或． 7．（25-26八年级下·云南红河·期末）如图，在矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则矩形纸片的周长为______________． 【答案】 【分析】通过翻折角相等可知利用勾股定理可求出，再设长为在中用勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可得出周长． 【详解】解：由于翻折，得 ，， 在中， 设长为，则 在中， 即 解得 即 8．（2026·江西·模拟预测）如图，在矩形中，，是上一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，点为的中点，连接，若，则的长为________． 【答案】 【分析】利用矩形性质和折叠性质得出，，点为中点，在中利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理求出的值，进而求出的长，结合点为中点，利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 根据折叠可得，， 在中，， 设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴， 如图所示，连接， 在中，， 在中，点G为线段的中点，点为的中点， ∴ ． 9．（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】根据题意连接，根据三角形面积公式求出，得到，根据直角三角形判定得到，再根据勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是矩形 ∴ ∵，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在矩形中，，点是射线上一动点，为矩形的一条对称轴，将沿折叠，当点的对应点落在上时，的长为__________． 【答案】或 【分析】分两种情形画出图形，然后根据翻折变换，矩形的性质，轴对称等知识分别求解即可． 【详解】解：如图，当点在线段上时，设直线l交于E，交于F． 由题意：， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，则有：， ∴， ∴， 当点P在的延长线上时，， 设，则， 在中，则有：， 解得， ∴， 综上可得：的长为或15． 11．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，对折矩形，使与重合，得到折痕后展平，点在上，沿着再折叠矩形，使点落在上的点处，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，根据折叠的性质得出是的垂直平分线，，，根据垂直平分线的性质可得，是等边三角形，进而得出，根据矩形的性质得出，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理，列方程求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵对折矩形，使与重合，得到折痕后展平， ∴是的垂直平分线， ∴， 沿着再折叠矩形，使点落在上的点处， ，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：（负值舍去）． 12.（25-26九年级下·辽宁营口·开学考试）如图，矩形中，，，是边上的点，把沿翻折，点落到点处，当是直角三角形时，______． 【答案】或 【分析】分情况讨论：当时，当时，当时，根据翻折的性质和勾股定理即可解决问题． 【详解】解：当时，如图， ，， 点、、共线， 在矩形中，，， 在中，， 设，则， 由翻折的性质得，，， ， 在中，， 即， 解得， 即； 当时，如图， 由翻折的性质得，， 四边形是正方形， ； ③当时，此情况不成立； 综上所述，的长为或． 13．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，矩形，点，分别为，的中点，连结与对角线相交于点．点是上一点，连结与相交于点，将沿折叠，点的对应点恰好落在点，则________． 【答案】 【分析】连接交于点O，连接，根据三角形中位线及线段关系把两个三角形面积都用的面积表示出来即可． 【详解】解：连接交于点O，连接，， 点，分别为，的中点， 是的中位线， ． ∴ ∴ 是的中点． 矩形中，， ， ， 点分别为的中点， ， ． , ． ， 根据折叠可知， ， ． 14．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）综合与实践 【回归教材】 人教版八年级下册教材中，利用矩形的性质研究得到直角三角形的一个性质，如图1． 【知识运用】 (1)在矩形中，，，点E为中点，连接． ①如图2，若点F在上，，求的长； ②如图3，若将沿翻折，点B的对应点为点F，连接并延长，交于点G，求的长； 【思维拓展】 (2)如图4，在（1）的条件下，点E变为边上一动点，仍将沿翻折，点B的对应点为点F，连接，．当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，求出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可； ②连接，交于点H，证明四边形为平行四边形，得出，最后求出结果即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴为直角三角形， ∵点E为中点， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴； ②连接，交于点H，如图所示： ∵将沿翻折，点B的对应点为点F， ∴，， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形中，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； （2）解：当时，过点F作于点G，作于点H，连接 ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵矩形中，，， ∴四边形为矩形， ∴， 根据折叠可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 当时，过点F作于点G，延长，交于点H，如图所示： 根据折叠可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 综上，的长为或． 15．（25-26八年级下·山西大同·期末）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，点为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考： (1)请解答老师提出的问题； 实践探究： (2)勤学小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断四边形的形状，并加以证明； 问题解决： (3)善思小组突发奇想，将矩形沿着（为的中点）所在直线折叠，如图③，点的对应点为，连接．该小组提出一个问题：若，，求四边形的面积．请你思考此问题，并直接写出结果． 【答案】(1)，证明如下： 如图，延长，相交于点， 四边形是平行四边形， ， ，． 为的中点， ， ， ，即为的中点， 又， ∴在中，； (2)四边形为平行四边形，证明如下：如图， 由折叠可知，． 为的中点， ， ， ． ， ， ， ． 四边形为平行四边形， ， 四边形为平行四边形； (3) 【分析】（1）延长，相交于点，证明，得到，然后利用直角三角形的性质证明即可； （2）由折叠的性质得到，，然后推出，得到，进而证明即可； （3）连接，首先求出，然后利用等面积法求出，利用勾股定理求出，然后利用四边形的面积求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接， ∵四边形是矩形 ∴， ∵为的中点 ∴ ∴ 由折叠得，，即 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∴ 由（2）得， ∴ ∴ ∴四边形的面积 ． 类型2 折叠后图形在矩形外部 16．（2026·浙江嘉兴·模拟预测）如图，是将矩形纸片沿折叠得到的，与交于点，则图中共有全等三角形（     ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可得，再结合由折叠的性质得：，，从而得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴一共有4对全等三角形． 17．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，将矩形纸片沿其对角线折叠，使点落到点的位置，与交于点，若，，则图中阴影部分的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠性质和矩形性质，将阴影部分周长转化为矩形周长计算解题． 【详解】∵四边形为矩形， ∴，， 由翻折可得， ∴阴影部分的周长为 ． 18.（25-26八年级下·云南德宏·期末）如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：∵在矩形中， ， ∵由折叠的性质可知：， ， 在和中 ， ， ， 设：，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 19．（25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，根据折叠的性质和矩形的性质得出即到的距离为，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵矩形， ∴，与的距离为，即到的距离为， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， . 20．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）在矩形中，，，点，分别是边，上的点．如图，将矩形沿折叠，点，分别落在点与点处，点恰好在边上，与交于点．若，则的长为（     ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】证明，根据全等三角形的性质结合线段的和差关系求出，进而求出的长，即可得出结果. 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴. 21.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，一块矩形纸片，长，宽，将这块矩形纸片沿对角线对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到，则___________． 【答案】/ 【分析】利用矩形性质和折叠性质，证明得到，，设，在中，利用勾股定理求得x值即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， 由折叠性质得，， ∴，，又， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由得， 解得，故． 22．（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）如图，矩形的对角线与相交于点，将沿折叠，点落在点处，连接．若，，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】首先证明是等边三角形，得到，，然后证明四边形是平行四边形，然后结合勾股定理求出，，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 在中，， ∵，即， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 如图，过点E作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 23.（2026·江苏扬州·模拟预测）如图，一块矩形纸片，长，宽，将这块矩形纸片沿对角线对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到，则______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质、矩形的性质，结合已知条件，先证明，再根据全等三角形的性质用表示出，然后在三角形中，利用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可知：，，， ∴，，， ∵与交于点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 24．（25-26八年级下·重庆巫山·期末）如图，已知矩形纸片，点和点分别是和上的点，将四边形沿折叠，使点和点重合．再将沿继续折叠，当点的对应点恰好落在线段上时，_______． 【答案】 【分析】先由矩形和折叠的性质证明，推出，是等边三角形，得到，进而根据仙居线段和差关系等量代换即可得解． 【详解】解：由折叠可知：，， 矩形， ， ， ， ， ，即， ， 由折叠可知：， ， ，， 是等边三角形， ， 由折叠可知：， ， ． 25.（2026·山东泰安·模拟预测）如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为_____． 【答案】 【分析】由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到，利用得到，由全等三角形对应边相等得到，过作，利用勾股定理及面积法求出与的长，即可确定出坐标． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵矩形， ∴，， ， 由折叠得：，，， ， ， 在和中，， ， ， 设，则有， 在中，根据勾股定理得：， 解得：， 即， 过作， ， ， ∴， 则． 26.（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，将矩形沿折叠得到，折叠后与交于点，已知，则的大小为______． 【答案】/24度 【分析】首先根据矩形的性质可得，由平行线的性质可得；结合折叠的性质可得，然后在中，由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可知，， 又∵， ∴， 解得． 27．（26-27八年级下·全国·课后作业）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在平面上的点处，交于点E，．求的度数． 【答案】 【分析】根据折叠，得，，根据矩形性质得，得，根据三角形内角和即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 折叠， ，， ， ． 28．（2026·四川雅安·二模）如图，矩形中，，把矩形沿对角线所在直线折叠，使点B落在点E处，交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：是等腰三角形． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴． 根据折叠的性质得． ∵， ∴； (2)证明：∵四边形是矩形， ∴． 根据折叠的性质得． ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是等腰三角形． 【分析】（1）根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，然后根据“边边边”得出结论； （2）根据矩形的性质和折叠的性质得，，再根据全等三角形的对应角相等得，进而求出，则此题可证． 【详解】（1）略 （2）略 29.（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合，若，则_________，_________； (2)如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，过点D作交于点G，求证：四边形是菱形； 迁移应用： (3)如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合，与相交于点F，连接，若，，求的长． 【答案】(1)60，60 (2)证明：∵四边形是矩形， ∴，，，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； (3) 【分析】（1）根据折叠得到，由平角的性质得到，由此得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质即可求解； （2）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，由折叠的性质，可证，则，结合菱形的判定方法即可求解； （3）根据矩形的性质得到，，，由勾股定理得到，根据折叠得到，，由全等的性质得到，如图所示，过点E作于点G，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵将矩形沿折叠后，使得点C与点A重合，点D与点G重合， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∵将矩形沿对角线折叠后，使得点C与点E重合， ∴，， ∴， 由（2）得到， ∴， 如图，过点E作于点G， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的长为． 30．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点． (1)由折叠知，_____，_____（填“=”或“≠”）； (2)求证：； (3)如图2，过点作，交于点，连接交于点． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)证明：∵四边形是矩形， ， 根据折叠，，， ，， 在和中， ， ， ； (3)①四边形是菱形， 理由：四边形是矩形， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形； ② 【分析】（1）由折叠的性质即可得出结果； （2）由矩形和折叠的性质可得，，再证明，即可得证； （3）①先证明四边形是平行四边形，再结合即可得出四边形是菱形；②利用勾股定理和菱形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得，，； （2）略 （3）解：①略 ②∵四边形是菱形， ，，， ，， ， ． 设，， ． ∴在直角中，， 即， 解得：， 即， 根据勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $