1.3 矩形在坐标系中的坐标、斜边的中线等于斜边的一半、矩形与折叠问题专项训练-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦矩形性质与坐标系、直角三角形中线定理、折叠问题的综合应用，以典型例题串联知识逻辑，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形在坐标系中的坐标|5例+5变式|坐标计算与矩形性质结合，含动态点、平移、函数交点问题|从静态坐标到动态变化，构建“几何性质-坐标表示-函数关系”逻辑链| |斜边的中线等于斜边的一半|4例+4变式|直角三角形中线应用，结合角平分线、垂直、尺规作图|以定理为核心，关联矩形对角线性质，形成“定理应用-图形转化”推理路径| |矩形与折叠问题|4例+4变式|折叠后全等、对称性质应用，含边长计算、面积求解|通过折叠实现“轴对称-全等转化-方程思想”的综合运用，深化空间观念|

矩形在坐标系中的坐标、斜边的中线等于斜边的一半、矩形与折叠问题专项训练 矩形在坐标系中的坐标、斜边的中线等于斜边的一半、矩形与折叠问题专项训练 考点目录 矩形在坐标系中的坐标 斜边的中线等于斜边的一半 矩形与折叠问题 考点一 矩形在坐标系中的坐标 例1．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标． 【详解】解：过点作于点， ∵矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点， ∴点，点的纵坐标为， ∵，， ∴， 即点， ∴点． 例2．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，将面积为的矩形放在平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先作轴，利用、坐标算出长，结合矩形面积与三角形面积公式求出，得到点横坐标；再根据矩形性质得、，结合直角证明，推出，最后结合点纵坐标减去，求出点纵坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为． 点，点，两点均在轴上， ． 四边形是矩形，，矩形对角线将矩形分成面积相等的两部分， ． 轴，以为底，为底边对应的高， ． 将，代入得： ， 解得． 为点到轴的水平距离，由图可知点在轴右侧，横坐标为正数， 点的横坐标为． 四边形是矩形， ，，． ． 轴，轴轴， ． 在与中： ． ． ，原点， ， ． 轴，是垂足， 点与点纵坐标相等． ，线段，结合图形可知垂足在点的正下方， 点的纵坐标， 点的纵坐标为． 综上，点的坐标为． 例3．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，四边形是矩形，点是轴正半轴上一点，，，点在第二象限，则点的纵坐标是（   ）． A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】矩形对角线相等且互相平分，因此对角线与中点相同，且，设中点为，先求出点坐标对应的中点纵坐标，再利用中点坐标公式求出点纵坐标． 【详解】解：设对角线、交于点， 四边形是矩形， 矩形对角线相等且互相平分，，是、共同中点． 在轴正半轴，，设，， 长度为，得， ． 设，已知， 由中点坐标公式：中点横坐标，纵坐标， 中点坐标， 两点中点相同，纵坐标相等： ， 两边同乘2：， 解得：． 点的纵坐标是． 例4．（25-26九年级上·云南玉溪·阶段检测）如图，矩形在平面直角坐标系中，、、，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得是矩形，求出，，即可解决问题． 【详解】解：如图： 根据矩形的性质得是矩形， ∵、、， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∴点C的坐标为． 例5．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形，，，动点从点出发，沿的方向以每秒2个单位长度的速度运动，与点第二次相遇时停止，设点运动的时间为秒． (1)点的坐标为__________． (2)在点从点运动到点的过程中，用含的式子表示的长度． (3)连接、、，当的面积为时，求关于的函数解析式． (4)当点第一次运动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，当点停止运动时直线也随之停止．在运动过程中，当点在直线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据矩形的性质和坐标特点解答即可； （2）当点P分别运动到点A、点B时，求得运动时间，根据即可求解； （3）分三种情况，当时；当时；当时；利用三角形面积即可求解； （4）分两种情况：点P由A到B的过程中，点P在直线上；点P由B到A的过程中，点P在直线上；由此可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，轴，轴， ∴； （2）解：当点P运动到点A时，运动时间为（秒），当点P运动到点B时，运动时间为（秒）， 当点P在线段上时，， 此时； （3）解：当时，此时点P在线段上，如图1； ∵， ∴； 当时，此时点P在线段上，如图2； ， 则； 当时，如图2，此时， 则； 综上，； （4）解：当点P由A到B的过程中，点P在直线上，如图3； 此时，点P的坐标为 设直线与x轴的交点为D，其运动的距离为，则， 当点P在直线上时，则， ∴， ∴， 则点P的坐标为； 当点P由B到A的过程中，点P在直线上； 此时，点P的坐标为， 则， 当点P在直线上时，则， ∴， ∴， 则点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 变式1．（2026·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，得出矩形向左平移2个单位，即可求出结论． 【详解】解：在矩形中，，， ， ，即， ∵将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时， ∴点的对应点坐标，即矩形向左平移2个单位， ∴平移后点的对应点的坐标为． 变式2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，平面直角坐标系中，矩形顶点A，C坐标分别为，．若直线与矩形有公共点，则k的取值范围为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】当直线过矩形的顶点，时，正好有1个公共点，根据待定系数法分别求出k的值，结合图象确定范围即可． 【详解】解：∵矩形顶点A，C坐标分别为，， ∴， ∵， ∴直线过点， 当直线过点时，则，解得，此时正好有1个公共点； 当直线过点时，则，解得，此时正好有1个公共点； ∴若直线与矩形有公共点，则k的取值范围是或． 变式3．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C，D的坐标分别为，，，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接 交 于点 ，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点 的坐标，再计算出点 的坐标． 【详解】解：如图，连接 交 于点 ， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点 的坐标为， ∵， ∴点 的坐标为，即． 变式4．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，将长为2，宽为1的四个矩形如图所示摆放在坐标系中，若正比例函数的图象恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分，则k的值等于___________ 【答案】 【分析】将图形进行分解（见解析），根据图1和图2的面积相等，图3和图4的面积相等可得当正比例函数的图象经过点时，恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分，代入计算即可． 【详解】解：将图形进行分解如下： ∵图1和图2的面积相等，图3和图4的面积相等， ∴当正比例函数的图象经过点，即时，恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分， ∴， 解得． 变式5．（25-26九年级上·吉林四平·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，运动到点A停止，Q在线段上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动到点O停止，设运动时间为t秒． （1）B点的坐标为___________，_________，___________（用含t的代数式表示线段与线段的长度） （2）当t为怎样的值时，的面积不小于的面积？ （3）的面积可以等于36吗？如果可以请你求出对应的t值，如果不可以请说明理由． 【答案】（1）B点的坐标为，；（2）当时，的面积不小于的面积；（3）的面积不可以等于36，理由见解析 【分析】根据矩形的长和宽表示点B的坐标，根据速度和时间表示：，，可得结论； 根据的面积不小于的面积，列不等式，代入面积公式可得t的值，并根据已知确定t的取值范围； 先根据的面积为36，列方程解出t=8， 根据内即可得出结论． 【详解】解：（1）长方形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上， ∴AB=OC=6，OA=9， ∴B点的坐标为， ∵P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动， Q在线段上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴OP=1.5t，CQ=t， ∴， 故答案为（9，6）；；； （2）∵， ， 若， 即， 解得， ∵点P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，运动到点A停止， ∴， ∴， ∴当时，的面积不小于的面积； （3）的面积不可以等于36，理由如下：   ∵， 若， 则， ∵， ∴的面积不可以等于36． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了三角形的面积求解，矩形的性质，点的坐标特点，图形动点运动问题，难度适中，准确利用动点表示出线段的长度是解题的关键． 考点二 斜边的中线等于斜边的一半 例1．（2026·广东广州·中考真题）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】证明，得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，结合的周长为12，得出， 在中，勾股定理求出，即可解答； 【详解】解：是的角平分线，， ∴， 又， ∴， ， ， ， 点是的中点， ， 的周长为， ， ， ， ∵在中，， ． 例2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵为的中点，， ． 例3．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，，垂足为B，点D是的中点，连接，若，则的长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用直角三角形斜边中线定理，直接计算中线长度即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∵点D是的中点，， ∴． 例4．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，连接．若，则的长是________． 【答案】10 【分析】根据尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线，进一步得出点是的中点，然后由直角三角形斜边上的中线的性质可得答案． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴点是的中点． ∵在中，， ∴是斜边上的中线， ∴． 变式1．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】先由矩形的性质证明，结合三角形中位线定理得到，，再利用勾股定理，得，求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，， 是边的中点，是矩形的对角线的中点， ，， ， ， ， ． 变式2．（25-26九年级上·陕西商洛·阶段检测）如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得， 是的中点，， ，两点间的距离为， 故选：C． 变式3．（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在矩形中，E是边上一点，F，G分别是的中点，连接，若，，，则矩形的面积是（     ） A．190 B．192 C．194 D．196 【答案】B 【分析】根据四边形是矩形得到，根据F，G分别是，的中点，且，，得到，，，设根据勾股定理列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵F，G分别是，的中点，且，，， ∴，，， 设，则，， 由勾股定理得， 解得：， ∴， ∴． 变式4．（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 【答案】1.2 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：∵公路与互相垂直，即， ∴是直角三角形， ∵点是的中点，的长为， ∴，即，两点间的距离为． 考点三 矩形与折叠问题 例1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，是将矩形纸片沿折叠得到的，与交于点，则图中共有全等三角形（     ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可得，再结合由折叠的性质得：，，从而得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴一共有4对全等三角形． 例2．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出的长，由翻折变换的性质得出，，，在中利用勾股定理求出的长，设，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵是翻折而成， ∴，，， ∴，， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴． 例3．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，把沿折叠，当点的对应点刚好落在矩形的对称轴上时，则的长为（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】矩形有两条对称轴，因此分两种情况讨论；利用折叠性质得到，，再借助勾股定理列方程求出的长度． 【详解】解：设，由折叠性质得：，． 矩形的对称轴分为两种情况： 情况一：落在竖直对称轴上，过点作于，交于，如图，平分、， ， 此时， 在中： ， ， 又， 在中，由勾股定理：， ， 解得：． 情况二：落在水平对称轴上，过点作于，交于，如图，平分、， ， 此时． 在中：， ， 在中：， ， 解得：． 综上：或． 例4．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上的处，若，，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，在中利用勾股定理求出的长，设，则，，在中利用勾股定理列方程求出的值，进而求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可知： ， 在中， 设，则， 在中， 即 整理得： 解得： ． 变式1．（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，将矩形纸片沿其对角线折叠，使点落到点的位置，与交于点，若，，则图中阴影部分的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠性质和矩形性质，将阴影部分周长转化为矩形周长计算解题． 【详解】∵四边形为矩形， ∴，， 由翻折可得， ∴阴影部分的周长为 ． 变式2．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设,则由折叠性质知， 由矩形的性质知， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 故的长为． 变式3．（25-26八年级下·海南三亚·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质得，，则，根据折叠的性质得，进而得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 变式4．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，四边形是矩形，、．则B点坐标为_____．将沿直线折叠，如图所示，此时点A落在点D处，与交于点E，直线的解析式为_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和点A，C的坐标即可得到B点坐标；由折叠和平行线的性质得到，推出，然后利用勾股定理求出，然后利用待定系数法求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，、 ∴，，， ∴B点坐标为； ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴ 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $矩形在坐标系中的坐标、斜边的中线等于斜边的一半、矩形与折叠问题专项训练 矩形在坐标系中的坐标、斜边的中线等于斜边的一半、矩形与折叠问题专项训练 考点目录 矩形在坐标系中的坐标 斜边的中线等于斜边的一半 矩形与折叠问题 考点一 矩形在坐标系中的坐标 例1．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，将面积为的矩形放在平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，四边形是矩形，点是轴正半轴上一点，，，点在第二象限，则点的纵坐标是（   ）． A．3 B．4 C． D．5 例4．（25-26九年级上·云南玉溪·阶段检测）如图，矩形在平面直角坐标系中，、、，则点C的坐标为______． 例5．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形，，，动点从点出发，沿的方向以每秒2个单位长度的速度运动，与点第二次相遇时停止，设点运动的时间为秒． (1)点的坐标为__________． (2)在点从点运动到点的过程中，用含的式子表示的长度． (3)连接、、，当的面积为时，求关于的函数解析式． (4)当点第一次运动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，当点停止运动时直线也随之停止．在运动过程中，当点在直线上时，求点的坐标． 变式1．（2026·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，平面直角坐标系中，矩形顶点A，C坐标分别为，．若直线与矩形有公共点，则k的取值范围为（     ） A． B．或 C． D．或 变式3．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C，D的坐标分别为，，，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 变式4．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，将长为2，宽为1的四个矩形如图所示摆放在坐标系中，若正比例函数的图象恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分，则k的值等于___________ 变式5．（25-26九年级上·吉林四平·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，运动到点A停止，Q在线段上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动到点O停止，设运动时间为t秒． （1）B点的坐标为___________，_________，___________（用含t的代数式表示线段与线段的长度） （2）当t为怎样的值时，的面积不小于的面积？ （3）的面积可以等于36吗？如果可以请你求出对应的t值，如果不可以请说明理由． 考点二 斜边的中线等于斜边的一半 例1．（2026·广东广州·中考真题）如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 例2．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）课堂实践活动中，一名学生用刻度尺（单位：）测量自制直角三角形手工纸片．如图所示，已知，D为斜边的中点，点A，B对应的刻度分别为2和8，则的长为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，在中，，垂足为B，点D是的中点，连接，若，则的长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 例4．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，连接．若，则的长是________． 变式1．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 变式2．（25-26九年级上·陕西商洛·阶段检测）如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在矩形中，E是边上一点，F，G分别是的中点，连接，若，，，则矩形的面积是（     ） A．190 B．192 C．194 D．196 变式4．（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开．若测得的长为，则，两点间的距离为______________． 考点三 矩形与折叠问题 例1．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，是将矩形纸片沿折叠得到的，与交于点，则图中共有全等三角形（     ） A．对 B．对 C．对 D．对 例2．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 例3．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，把沿折叠，当点的对应点刚好落在矩形的对称轴上时，则的长为（   ）． A． B． C．或 D．或 例4．（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边上的处，若，，则的长为_________． 变式1．（25-26九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，将矩形纸片沿其对角线折叠，使点落到点的位置，与交于点，若，，则图中阴影部分的周长为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·海南三亚·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为（     ） A． B． C． D． 变式4．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，四边形是矩形，、．则B点坐标为_____．将沿直线折叠，如图所示，此时点A落在点D处，与交于点E，直线的解析式为_____． 2 学科网（北京）股份有限公司 $