第1章特殊平行四边形— 利用矩形的性质求角度、求线段长、求面积专项训练-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦矩形性质的角度、线段长、面积三大核心应用，通过例题与变式题系统覆盖中考高频题型，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求角度|6题（含3道中考模拟题）|结合对角线、角平分线、垂线构造特殊三角形|矩形性质→等腰/直角三角形性质→角度转化| |求线段长|6题（含动点、折叠问题）|涉及勾股定理、中点性质、对称变换|矩形性质→线段关系→方程思想解决动态问题| |求面积|6题（含阴影面积、整体面积）|结合对角线交点、中点、角平分线|面积公式→图形分割→面积转化与等量代换|

利用矩形的性质求角度、求线段长、求面积专项训练 利用矩形的性质求角度、求线段长、求面积专项训练 考点目录 利用矩形的性质求角度 利用矩形的性质求线段长 利用矩形的性质求面积 考点一 利用矩形的性质求角度 例1．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 例2．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； 故选D． 例3．（25-26九年级上·广东惠州·开学考试）如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是________． 【答案】/15度 【分析】首先根据题意得到，求出，然后根据三角形内角和定理和等边对等角求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形，矩形的性质，三角形内角和定理和等边对等角性质，解题的关键是掌握以上知识点． 变式1．（2026·内蒙古·模拟预测）如图，直线，矩形的顶点在直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质及平行线的性质，根据矩形的性质得出，再结合平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：延长与直线b交于点M， ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·山西晋中·阶段检测）如图，四边形是矩形，对角线相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和性质，先由矩形的性质得，则，再结合过点作的垂线交于点，得出，最后进行角的运算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ∵过点作的垂线交于点， ， ， 故选：C． 变式3．（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在矩形中，，垂足为，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，则，利用三角形外角的性质得，由，利用直角三角形两锐角互余可算出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴与相等且互相平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 考点二 利用矩形的性质求线段长 例1．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在矩形中，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点到的距离为2，则可得动点在平行于且与之间的距离为2的直线上，再设直线与交于点，延长至点，使得，连接，，则线段的长即为所求，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设点到的距离为， ∵，， ∴， 解得， ∴如图，动点在平行于且与之间的距离为2的直线上， 设直线与交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 延长至点，使得，连接，， ∴垂直平分，且， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为． 【点睛】本题的难点在于正确找出动点的运动轨迹． 例2．（2026·河南商丘·一模）如图，在矩形中，平分，交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由矩形的性质和平分，容易证得，则．运用勾股定理求出，最后用直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 例3．（2026·河南漯河·模拟预测）如图，在矩形中，，点为射线上一动点，连接，将沿着翻折得到对应，若点落在射线上，则的值为______． 【答案】或10 【分析】利用翻折的性质，得到，，，将求转化为求．在中，因为已知和的长度，所以可根据勾股定理求出的长度，进而得到的长度．设，用含的式子表示的长度，在中，根据勾股定理列方程求解．考虑点在射线上的两种位置：在线段上、在的延长线上，分别按上述步骤计算． 【详解】解：根据翻折的性质，， ∴ ，， 设 ，矩形中 ，， 分两种情况讨论： 点落在线段上（在边上） 在中，由勾股定理得： ， ∴ ，． 在中，由勾股定理： ， 即 ， 解得 ． 点落在的延长线上（在的延长线上） ， 同理可得 ， 此时 ，． 在中，由勾股定理： ， 即 ， 解得 。 综上，的值为或． 变式1．（2026·云南楚雄·二模）如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为 和，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的对角线相等，可得，先由刻度尺求出线段的长度，即可得到的长． 【详解】解： 四边形是矩形， ， 由题意，顶点对应刻度，顶点对应刻度， ， ． 变式2．（2025·河北邯郸·三模）如图，在矩形中，，，上一点从点向点移动，连接，点关于的对称点为，若恰好为直角三角形，则的长为（    ） A．1 B．或3 C．1或 D．1或3 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意分两种情况讨论，然后分别根据勾股定理和矩形的性质求解即可． 【详解】当为直角三角形时，有两种情况： ①当时，如图（1）所示，连接． 在中，，， ． 由轴对称可知，． 又， 点，，共线， ． 设，则，， ， ， 解得， ． ②当时，如图（2）所示， 又， 四边形为矩形． 又， 此时矩形为正方形， ， ． 综上所述，的长为或1． 故选：C． 变式3．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 【答案】3 【分析】由矩形的性质可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵垂直且平分线段， ∴． 考点三 利用矩形的性质求面积 例1．（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可得，进而可得，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可. 【详解】解：∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 例2．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在矩形中，对角线与相交于点O．若，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D．32 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质．由矩形的性质推出，，求出，根据矩形的面积即可求出答案． 【详解】解：过点D作交于点H， 四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 故选：A． 例3．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线和相交于点O，于点E．若，则矩形的面积为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出对角线互相平分且相等，结合已知线段比例关系推导出为的中点，利用线段垂直平分线的性质证得，进而判定为等边三角形，求出对角线的长，再利用勾股定理求出的长，最后计算矩形面积即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 设，则，， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 矩形的面积． 变式1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．首先求出，因为矩形的对角线、互相平分，则为中点，所以，因为点为的中点，所以，进而求解即可． 【详解】解：由条件可知， ∵矩形的对角线、互相平分， ∴为中点， ∴， 点为的中点， ． 故选：A． 变式2．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，矩形中，点在上，且平分，，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得出，得出，由角平分线和等腰三角形的性质得出求出，由直角三角形的性质得出，得出，即可得出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 平分，， ， ， ， ，， ， 矩形面积：； 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明是解题的关键． 变式3．（25-26九年级上·重庆南岸·阶段检测）如图，在矩形中，点、分别是、的中点，连接和，分别取、的中点、，连接、、．若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】利用三角形中线的性质以及平行线的性质得出，，，即可得出答案． 【详解】解：∵点、分别是、的中点，连接和，分别取、的中点、， ∴，，， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用矩形的性质求角度、求线段长、求面积专项训练 利用矩形的性质求角度、求线段长、求面积专项训练 考点目录 利用矩形的性质求角度 利用矩形的性质求线段长 利用矩形的性质求面积 考点一 利用矩形的性质求角度 例1．（25-26九年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·广东惠州·开学考试）如图，在矩形中，是上一点，，，则的度数是________． 变式1．（2026·内蒙古·模拟预测）如图，直线，矩形的顶点在直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·山西晋中·阶段检测）如图，四边形是矩形，对角线相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式3．（26-27九年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在矩形中，，垂足为，若，则的度数为________． 考点二 利用矩形的性质求线段长 例1．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）如图，在矩形中，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（     ） A． B． C． D． 例2．（2026·河南商丘·一模）如图，在矩形中，平分，交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（   ） A． B． C． D．3 例3．（2026·河南漯河·模拟预测）如图，在矩形中，，点为射线上一动点，连接，将沿着翻折得到对应，若点落在射线上，则的值为______． 变式1．（2026·云南楚雄·二模）如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为 和，则的长为（     ）． A． B． C． D． 变式2．（2025·河北邯郸·三模）如图，在矩形中，，，上一点从点向点移动，连接，点关于的对称点为，若恰好为直角三角形，则的长为（    ） A．1 B．或3 C．1或 D．1或3 变式3．（26-27九年级上·北京海淀·开学考试）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 考点三 利用矩形的性质求面积 例1．（25-26九年级上·湖南常德·阶段检测）如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在矩形中，对角线与相交于点O．若，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D．32 例3．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在矩形中，，对角线和相交于点O，于点E．若，则矩形的面积为______． 变式1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 变式2．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，矩形中，点在上，且平分，，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·重庆南岸·阶段检测）如图，在矩形中，点、分别是、的中点，连接和，分别取、的中点、，连接、、．若，，则图中阴影部分的面积为______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $