精品解析：湖北襄阳市第三十五中教育集团2026-2027学年九年级上学期入数学试题

九年级上学期入学数学试题 一、选择题（30分） 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列物体应用了四边形的不稳定性的是（ ） A. 木质梯子 B. 学校门口的伸缩门 C. 矩形门框 D. 正方形地砖 3. 已知一次函数，若，则该函数的图像不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，那么这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 7. 将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的下四分位数为（ ） A. 160 B. 143 C. 130 D. 120 8. 如图，在平行四边形中，，点为上一点，连接、，点、分别是、的中点，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定 9. 菱形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 8 10. 如图，物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的长方体铁块完全浸没在水中，然后缓慢匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（15分） 11. 要使式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 12. 如图，在数轴上，点对应的数是，点对应的数是，线段于点，且线段长为个单位长度，若以点为圆心，长为半径作弧交数轴于和之间的点，则点表示的数为______． 13. 大自然处处蕴藏着数学之美．如图所示秋葵的截面图就呈现出漂亮的五边形．图中五边形的内角和等于________． 14. 若一组数据，，…，的平均数是5，则数据，，…，的平均数是________． 15. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点，在直线：上，直线分别交轴，轴于点，，将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为______． 三、解答题 16. 计算下列各式： （1）； （2）． 17. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：9，7，8，7，8，10，8，7，8，8． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 0.8 八年级 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：______，______； （2）求m的值； （3）综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 18. 已知，求下列代数式的值． （1）； （2）． 19. 如图1，四边形是平行四边形． （1）请用无刻度的直尺，在图1中作出的中点，并用一句话说明点是中点依据__________． （2）请利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出矩形，使得点，分别在边，上（保留作图痕迹），并说明这样作图的合理性． 20. 如图，一棵米高的大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端落在点处，离这棵大树底端点米远有一辆小轿车，试判断树枝落地时是否会砸着小轿车，并说明理由．     21. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 22. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划同时新购进A，B两类图书，两类图书的进货价和销售价如下表： 类别 A类 B类 进货价（元/本） 25 16 销售价（元/本） 35 24 （1）第一次，该书店用1960元购进了A，B两类图书共100本，求两类图书各购进了多少本？ （2）第二次，该书店根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两类图书180本（图书的进货价不变），但A类的进货数量不超过B类的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）在（2）中获得最大利润的进货方案下，售出A或B类图书每本都拿出元设立读书基金，全部售出后所获总利润不低于1350元，求a的最大值． 23. 探究以下问题： （1）【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，分别在边、上，且，垂足为，判断：______（填“”或“”） （2）【问题探究】如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论； （3）【问题拓展】如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则线段的长为______． 24. 如图1，直线交y轴于A点，交x轴于C点，以点O，A，C为顶点作矩形OABC，在x轴、y轴的正半轴上分别取点D、E，使，，直线AC交直线DE于点F． （1）求直线DF的解析式； （2）求证：FO平分； （3）在直线OF上是否存在一点G，使是等腰直角三角形？若存在，求点G的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期入学数学试题 一、选择题（30分） 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断选项，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵最简二次根式的定义为:被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式， 对选项A，满足定义，是最简二次根式； 对选项B，，被开方数9含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项C，，被开方数12含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对选项D，，被开方数含分母，不是最简二次根式； 故选A． 2. 下列物体应用了四边形的不稳定性的是（ ） A. 木质梯子 B. 学校门口的伸缩门 C. 矩形门框 D. 正方形地砖 【答案】B 【解析】 【详解】解：四边形的不稳定性是指四边形边长固定时形状容易改变，只有需要灵活改变形状的场景才会利用该性质． A选项木质梯子需要保持固定形状保障安全，利用的是结构稳定性，不符合要求； B选项学校门口的伸缩门需要改变形状实现伸缩开合，正是利用了四边形的不稳定性，符合要求； C选项矩形门框和D选项正方形地砖都需要保持固定形状，不符合要求． 3. 已知一次函数，若，则该函数的图像不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点． 根据一次函数图象与系数的关系，时图象上升，时与y轴交于负半轴，由此可判断图象不经过第二象限． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴图象与y轴的负半轴相交， ∴图象经过一三四象限，不经过第二象限． 故选B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于选项A：∵，当时，，∴A错误； 对于选项B：∵，∴B错误； 对于选项C：∵，∴C正确； 对于选项D：∵二次根式中被开方数不能为负数，，无意义，等式不成立，∴D错误． 5. 下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与正比例函数的定义，一次函数的定义为形如（，为常数，，自变量次数为1）的函数，正比例函数是形如（为常数，）的函数，即常数项的一次函数，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解： 选项A中，自变量的次数为，不是一次函数，不符合要求； 选项B中，是正比例函数，不符合“不是正比例函数”的要求； 选项C中，符合一次函数定义，且常数项，因此是一次函数但不是正比例函数，符合要求； 选项D中，分母含有自变量，不是一次函数，不符合要求； 故选C． 6. 一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，那么这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】C 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式和外角和定理建立方程求解． 【详解】设这个多边形的边数为n， 由题意得 解得： 故选C． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，熟记多边形内角和公式，以及外角和360°，是解题的关键． 7. 将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的下四分位数为（ ） A. 160 B. 143 C. 130 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图直接得出答案即可． 【详解】解：根据箱线图可得：该组数据的下四分位数为120． 8. 如图，在平行四边形中，，点为上一点，连接、，点、分别是、的中点，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：在平行四边形中，， ， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ． 9. 菱形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可知，为的中点，根据菱形的性质，推出为等边三角形，求出，再根据斜边上的中线的性质，进而得到即可. 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由作图可知，为的中点， ∴. 10. 如图，物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的长方体铁块完全浸没在水中，然后缓慢匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块被提起的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分铁块完全浸没在水中、部分浸没水中及完全露出水面三种情况，分别得出相应图象即可得出答案． 【详解】解：当铁块完全浸没在水中，浮力不变，故测力计的读数不变，图象是平行于轴的线段， 当铁块部分浸没水中时，浮力减小，故测力计的读数增大，图象是向上的线段， 当铁块完全露出水面时，拉力等于重力，故测力计的读数不变，图象是平行于轴的线段， 综上所述：B选项的图象符合题意． 二、填空题（15分） 11. 要使式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，据此即可获得答案． 【详解】解：要使式子在实数范围内有意义， 则由分母不为零，得 ，解得 ． 故答案为：． 12. 如图，在数轴上，点对应的数是，点对应的数是，线段于点，且线段长为个单位长度，若以点为圆心，长为半径作弧交数轴于和之间的点，则点表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，再由题意得到，最后由数轴上的点表示对应的实数方法计算即可． 【详解】解：在中，，则由勾股定理可得， 以点为圆心，长为半径作弧， ， 则点表示的数为． 13. 大自然处处蕴藏着数学之美．如图所示秋葵的截面图就呈现出漂亮的五边形．图中五边形的内角和等于________． 【答案】 【解析】 【详解】解：五边形的内角和． 14. 若一组数据，，…，的平均数是5，则数据，，…，的平均数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数的定义，原数据之和为50，求出，再求平均数． 【详解】解：的平均数是5， ， ， ， ， ， 数据的平均数是2． 15. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点，在直线：上，直线分别交轴，轴于点，，将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数解析式的求解、全等三角形的判定与性质以及坐标平移的应用，先利用点的坐标求出直线的解析式，再通过全等三角形确定点的坐标，最后根据平移后点在直线上建立方程求解． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 如图，过点作轴于点，过点作于点，则，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，则， 同理，证明， ∴，， ∴， ∴点的坐标为. 将正方形沿轴向下平移个单位后，点的对应点坐标为， ∵该点在直线上， ∴， 解得； 故答案为：． 三、解答题 16. 计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，再合并同类二次根式； （2）先计算平方差、二次根式的除法，再进行加减运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. “校园餐”关乎青少年的健康成长，关乎千家万户的切身利益．为了提升“校园餐”的质量，让学生从“吃得饱”向“吃得好”转变，相关主管部门到某中学就学生对“校园餐”的满意度进行问卷调查，现分别从七年级、八年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校园餐”的满意度的打分情况如下（单位：分）： 七年级：9，7，8，7，8，10，8，7，8，8． 八年级：9，7，9，6，10，6，8，m，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 8 a b 0.8 八年级 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：______，______； （2）求m的值； （3）综合表中数据，你认为是哪个年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致？请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据八年级平均数即可求解； （3）根据方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：七年级打分从小到大排列为：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10， 排在中间位置的两个数都是8，则中位数， 打分出现次数最多的是8，则众数； 【小问2详解】 解：八年级打分的平均分为8分， 则， 即， ∴； 【小问3详解】 解：七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致，理由如下： ∵， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度的打分波动小于八年级的学生对“校园餐”的满意度的打分， ∴七年级的学生对“校园餐”的满意度更为一致． 18. 已知，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）首先求出，，根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； （2）首先求出，根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 19. 如图1，四边形是平行四边形． （1）请用无刻度的直尺，在图1中作出的中点，并用一句话说明点是中点依据__________． （2）请利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出矩形，使得点，分别在边，上（保留作图痕迹），并说明这样作图的合理性． 【答案】（1） 解：如图所示，点O即为所求，依据是平行四边形的对角线互相平分； （2） 解：如图所示，即为所求；由平行四边形的性质得到，由作图可得，则四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）连接交于点O，则点O即为所求； （2）过点A作的垂线，垂足为E，以A为圆心，的长为半径画弧交于点F，连接，则四边形即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，一棵米高的大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端落在点处，离这棵大树底端点米远有一辆小轿车，试判断树枝落地时是否会砸着小轿车，并说明理由．     【答案】树枝落地时不会砸着小轿车，理由如下： 根据题意可知：，，， ∴， ∵， ∴树枝落地时不会砸着小轿车． 【解析】 【分析】由勾股定理得出的长，再与米比较即可得出答案． 【详解】略 21. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 首先由平行四边形得到，，然后结合中点性质得到，即可判定四边形是平行四边形． 【详解】略 22. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划同时新购进A，B两类图书，两类图书的进货价和销售价如下表： 类别 A类 B类 进货价（元/本） 25 16 销售价（元/本） 35 24 （1）第一次，该书店用1960元购进了A，B两类图书共100本，求两类图书各购进了多少本？ （2）第二次，该书店根据第一次的销售情况，决定再次购进A，B两类图书180本（图书的进货价不变），但A类的进货数量不超过B类的，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）在（2）中获得最大利润的进货方案下，售出A或B类图书每本都拿出元设立读书基金，全部售出后所获总利润不低于1350元，求a的最大值． 【答案】（1）书店购进A种图书40本，B种图书60本 （2）当书店购进A种图书45本，B种图书135本时，获得的利润最大，最大利润为1530元 （3）a的最大值为5 【解析】 【分析】（1）设书店购进A种图书m本，则购进B种图书n本，根据“用1960元购进了A，B两类图书共100本”列方程组求解即可； （2）设书店购进A种图书x本，获得的利润为w元，根据题意求出x的取值范围及w的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可； （3）根据“全部售出后所获总利润不低于1350元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设书店购进A种图书m本，则购进B种图书n本， 根据题意得 解得， ∴书店购进A种图书40本，B种图书60本； 【小问2详解】 解：设书店购进A种图书x本，获得的利润为w元， 根据题意得 解得， ， ； ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为， 此时B种图书有：（本）， 答：当书店购进A种图书45本，B种图书135本时，获得的利润最大，最大利润为1530元； 【小问3详解】 解：由题意得，， 解得， ∴a的最大值为5． 23. 探究以下问题： （1）【问题情境】正方形是生活中常见的几何图形，如图1，在正方形中，分别在边、上，且，垂足为，判断：______（填“”或“”） （2）【问题探究】如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为，请你写出线段与线段的数量关系，并证明你的结论； （3）【问题拓展】如图3，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则线段的长为______． 【答案】（1） （2）． 证明：如图2，过点A作，交于点H，交于点N，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵于M， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）过点A作，交于点H，交于点N，先证明四边形是平行四边形得到，再证明得到，进而可得结论； （3）连接交于M，过点A作，交于点H，交于点N，由折叠性质得，同（2）方法可得，然后根据正方形的性质和勾股定理可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接交于M，过点A作，交于点H，交于点N， 由折叠性质得， 同（2）可得四边形是平行四边形，， ∴， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∴． 24. 如图1，直线交y轴于A点，交x轴于C点，以点O，A，C为顶点作矩形OABC，在x轴、y轴的正半轴上分别取点D、E，使，，直线AC交直线DE于点F． （1）求直线DF的解析式； （2）求证：FO平分； （3）在直线OF上是否存在一点G，使是等腰直角三角形？若存在，求点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点O作于点P，作于点Q， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． （3）存在，点G的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据直线的解析式找出点A、C的坐标，再由旋转的特性找出点D、F的坐标，结合点D、F的坐标利用待定系数法即可求出直线DF的解析式； （2）过点O作于点P，作于点Q，利用全等直角三角形的判定定理HL证出，结合面积法即可得出，从而证出平分； （3）根据旋转的性质可得出，结合（2）的结论即可得出，联立直线的解析式成方程组，解方程组可得出点G的坐标，根据等腰直角三角形的性质可分两种情况寻找点M的位置，再通过勾股定理解方程等即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵直线交y轴于A点，交x轴于C点， ∴当时，， 当时，，解得，， ∴，， ∴，， ∵，，点D在x轴正半轴上，点E在y轴正半轴上， ∴，， 设直线的解析式是， ∴， 解得，， ∴直线的解析式是：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在，理由如下： 联立，解得，， ∴， 设直线的解析式， 则， ∴直线的解析式为， 设点G的坐标为， 由（2）知：，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴①当时，， 过点G作轴，过点F作于M，过点D作于N， 则，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当时，，同理可得，． 综上，当是等腰三角形时，点G的坐标为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）证出；（3）分情况讨论点M的情况．解决该题型题目时，根据旋转的性质找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $