29.2.3 圆周角（第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“圆内接四边形”核心知识点，通过复习圆心角、圆周角定理及推论，以旧引新自然过渡，构建从圆周角到圆内接四边形的知识支架，帮助学生建立前后知识联系。 资料亮点在于以图形观察抽象概念培养几何直观，通过猜想-证明-归纳推导性质发展推理能力，综合应用圆与三角形知识提升模型意识。如例3动点题结合直径、直角、勾股定理等，采用启发探究法，助力学生构建知识体系，提升教师教学效率。

29.2.3 圆周角（第2课时）圆内接四边形 教学设计 课题 29.2 圆的有关性质 29.2.3 圆周角（第2课时）圆内接四边形 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2026） 课时 第2课时 课型 新授课 教学目标 （1）了解圆内接四边形和四边形外接圆的概念，掌握圆内接四边形对角互补的性质； （2）能运用圆周角定理及推论和圆内接四边形的性质进行简单的证明和计算，发展抽象思维、数学运算和推理能力； （3）经历圆的性质综合应用的过程，培养抽象能力、几何直观、数学运算和推理能力。 教学重点 圆内接四边形的概念和性质及圆周角定理推论的应用。 教学难点 圆的性质的综合应用（垂径定理、圆心角、圆周角等定理的关联运用与辅助线、分类讨论）。 教学方法 讲授法、启发探究法、合作交流、演示法 教学准备 多媒体课件、圆规、直尺、量角器 课后练习 必做：P131练习第1、2、3题；探究性作业：习题29.2第10题。 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情景 引入新课 【创设情景，引入新课】 复习提问：①在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等；②圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；③圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 教师过渡：前面我们研究了圆中的角——圆心角、圆周角。如果一个四边形的顶点都在同一个圆上，这样的四边形会有什么特殊性质呢？这就是本节课要研究的圆内接四边形（板书课题）。 （设计意图：复习圆心角、圆周角知识，类比引出圆内接四边形的相关概念与性质。） 回顾弧、弦、圆心角关系与圆周角定理及其推论，思考顶点都在圆上的四边形有何性质。 以旧引新，衔接圆周角知识，自然过渡到圆内接四边形性质的研究。 二、探究点1 圆内接四边形和外接圆的概念 【探究点1】圆内接四边形和四边形外接圆的概念 观察下图： 追问1：图中四边形ABCD的顶点和⊙O的位置关系？ 四边形的所有顶点都在⊙O上。 追问2：这个四边形ABCD和⊙O的位置关系是什么？一个多边形呢？ 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆。如果多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 归纳：“内接”“外接”是指四边形与圆的位置关系，是一个图形相对于另一个图形而言的。 （设计意图：借助图形认识圆内接四边形和四边形外接圆的概念及其相互关系。） 观察四边形各顶点与圆的位置关系，归纳圆内接四边形、四边形外接圆的定义。 通过直观图形抽象概念，明确“内接”与“外接”的位置关系，为研究性质打基础。 三、典型例题 例1（正方形内接圆求角） 【典型例题】例1（圆内接正方形求角） 例1　正方形ABCD内接于⊙O，P是劣弧AB上任意一点，则∠CPD等于（　　） A．45°　B．60°　C．75°　D．90° 【分析】本题主要考查圆内接四边形以及圆周角定理的应用。由圆内接正方形将圆分成四等分，得⌒CD所对圆心角∠COD=90°，再由圆周角定理可求出∠CPD。 【详解】连接OC、OD。∵ 正方形ABCD内接于⊙O，　∴ ⌒CD所对的圆心角 ∠COD==90°。 ∴ ∠CPD=∠COD=×90°=45°，故选A。 【讲评要点】把顶点在圆周上的角与圆心角、弧联系起来：先找角所对的弧，再找该弧所对的圆心角，用“圆周角是圆心角一半”求解。 （设计意图：应用圆内接多边形与圆周角定理求角，强化对角与其所对弧的相互转化。） 由正方形内接圆确定⌒CD所对圆心角为90°，再用圆周角定理求∠CPD=45°，选择正确答案。 综合圆内接正方形与圆周角定理求角，落实“圆周角—弧—圆心角”的转化应用。 四、探究点2 圆内接四边形的性质 【探究点2】圆内接四边形的性质 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆。 追问1：图中∠A与∠C、∠B与∠D之间有什么关系？你能猜想出结论吗？ ∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。 追问2：如何证明你的猜想呢？请试一试。 分析：∠A和∠C是一对圆周角，可以连接OB、OD，利用它们所对的圆心角之和是周角来证明。 证明：连接OB、OD。 ∵ ⌒BCD和⌒BAD所对的圆心角的和是周角（即∠BOD+∠BOD=360°，这里指两条弧所对的圆心角之和为360°）,则两条弧所对的圆周角之和为其一半， ∴ ∠A+∠C=∠BOD+∠BOD=×360°=180°，同理 ∠B+∠D=180°。 归纳总结　圆内接四边形的对角互补。 追问3：图中∠A与∠DCE（CE是BC延长线上的角）的大小有何关系？并说出理由。 ∠A=∠DCE。理由如下：∵ ∠A+∠C=180°，∠BCD+∠DCE=180°，而∠C即∠BCD，　∴ ∠A=∠DCE。 追问4：你能把这个结论用一句话总结归纳一下吗？ 总结归纳　圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。 （设计意图：通过猜想与推理得出圆内接四边形对角互补、外角等于内对角两条性质。） 猜想对角关系，通过连接OB、OD并用圆周角定理证明对角互补，进而总结外角等于内对角。 经历猜想—证明—归纳的过程，用圆周角定理推导圆内接四边形性质，突破性质探究的难点。 五、典型例题 例2（求角度） 【典型例题】例2（圆内接四边形求角度） 例2　如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（　　） A．70°　B．90°　C．100°　D．110° 【详解】∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，　∴ ∠ABC+∠ADC=180°（圆内接四边形对角互补）， ∴ ∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°，故选D。 【讲评要点】若已知一个内角，直接用“对角互补“求对角的度数；若求外角，则用“外角等于内对角”求对应内角的度数。 （设计意图：直接运用圆内接四边形对角互补性质进行角度计算，强化性质应用。） 由圆内接四边形对角互补，用180°减去已知角，求得∠ADC=110°。 落实圆内接四边形对角互补性质在角度计算中的直接应用。 六、探究点3 圆的性质的综合应用 【探究点3】圆的性质的综合应用 学习了垂径定理、圆心角定理、圆周角定理及推论，涉及圆的问题往往可以和垂径定理、圆心角、圆周角定理及推论、勾股定理、直角三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识联系起来。熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线和分类讨论是解决这些问题的关键。 （设计意图：梳理圆的知识与三角形知识的联系，渗透添加辅助线和分类讨论的综合运用。） 梳理垂径定理、圆心角、圆周角与三角形知识的关联，体会辅助线添加与分类讨论的方法。 横向贯通圆的各定理与三角形知识，为综合题的解答方法奠基。 七、典型例题 例3（动点综合题） 【典型例题】例3（直径10动点综合题） 例3　已知⊙O的直径为10，点P为⊙O上一动点（不与A、B重合），连接PA、PB。 (1) 若∠APB=90°，求AB的值； 【详解】∵ AB是⊙O的直径，　∴ AB=10（直径等于半径的2倍）。当∠APB=90°时，由“90°的圆周角所对的弦是直径”，AB确为直径。 (2) 弦AB平分∠APB?（由同弧或等弧所对的圆周角相等），过点P作PM⊥AB于点M，连接AP。 ① 当△APM为直角三角形时，可利用等腰直角三角形的判定与性质，结合勾股定理求解； ② 在点P的运动过程中，可连接相关中点构造中位线，利用三角形中位线性质和三角形的三边关系，求得相关线段的最小值。 【讲评要点】综合运用“直径对直角“、圆周角定理、等腰直角三角形与勾股定理、三角形中位线与三边关系等知识，突出辅助线和分类讨论的关键作用。 （设计意图：以动点综合题强化对垂径定理、圆心角、圆周角等性质的综合应用，提升综合解题能力。） 结合图形分情况分析，体会用圆周角定理、直角、勾股、中位线等知识解决动点问题的思路。 综合运用圆的性质与三角形知识求解，训练分类讨论与辅助线添加，突破综合应用难点。 八、当堂巩固 跟踪练习 【当堂巩固】跟踪练习 练习1：如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，B为⌒AC的中点。 (1) 试判断△ABC的形状，并说明理由； 【详解】(1) △ABC为等腰直角三角形。理由：∵ AC为直径，　∴ ∠ABC=90°（直径所对圆周角是直角）；又 B为⌒AC的中点，　∴ ⌒AB=⌒BC，　∴ AB=BC，故△ABC为等腰直角三角形。 (2) 若AC=4，求AB的长。 【详解】(2) 在等腰Rt△ABC中，AB=BC，由勾股定理 AB²+BC²=AC²，即 2AB²=4²，　∴ AB=。 练习2（课本练习第2题）：如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD把它的4个内角分成8个角，这些角中哪些相等？为什么？ 答案：∠1=∠4，∠2=∠7，∠3=∠6，∠5=∠8。（理由：同弧所对的圆周角相等。） 练习3（课本练习第5题）：如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点。若∠B=110°，求∠ADE的度数。 答案：由圆内接四边形外角等于内对角，∠ADE=∠B=110°。 （设计意图：学完新知识后及时巩固，通过判断形状与角度计算反馈学情、查漏补缺。） 独立完成△ABC形状判断与边长计算，指出圆内接四边形中相等的角并求∠ADE度数。 通过课堂练习即时巩固圆内接四边形性质与圆周角定理的运用，及时查漏补缺。 九、中考真题 【中考真题】能力提升 1．（2025·甘肃）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=BC，连接BD。若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为（　　） A．20°　B．35°　C．55°　D．70° 【解答】由圆内接四边形的性质，∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°。∵ AB=BC，　∴ ∠ADB=∠BDC=∠ADC=55°，故选C。 2．（2025·吉林松花江期中）如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G。求证：∠FGD=∠ADC。 【解答】证明：∵ 四边形ACDG内接于⊙O，　∴ ∠FGD=∠ACD（圆内接四边形外角等于内对角）。又 AB为⊙O的直径、CF⊥AB，则AB垂直平分CD，AC=AD，　∴ ∠ADC=∠ACD，　∴ ∠FGD=∠ADC。 3．（2023·江苏连云港校考）如图，在⊙O中，直径与弦相交于点P，连接AC、AD。利用“同弧所对的圆周角相等”求∠CPD的大小；已知圆心O到CD的距离为4，求AB的长。 【解答】(1) 由同弧所对的圆周角相等求出∠CPD；(2) 过点O作OE⊥CD于E，则OE=4，由垂径定理E为CD中点，结合“AB是直径“与三角形中位线知识可求AB的长。 （设计意图：加入中考真题，让学生明确考试方向、熟悉题型、检验学习成果、提升应考能力。） 第1题由对角互补求∠ADC=110°，再由 AB=BC 推出∠ADB=∠BDC=∠ADC=55°；第2题用“外角等于内对角“证角相等；第3题用同弧圆周角相等与垂径定理、中位线求AB。 以中考真题为载体综合运用圆内接四边形性质与圆周角定理，明确考向、提升应考能力。 十、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 2.圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径； 3.圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角； 4.方法：求圆中的角常把圆周角与圆心角、弧相互转化，乍遇综合题要善于添加辅助线并分类讨论。 （设计意图：系统梳理圆周角定理、推论与圆内接四边形性质，构建圆中角度计算的知识网络。） 回顾圆周角定理、推论及圆内接四边形性质，总结圆中求角的方法。 将圆周角知识与圆内接四边形性质结构化，帮助学生建立清晰的知识体系。 板书设计 29.2.3 圆周角（第2课时）圆内接四边形 一、圆内接四边形和外接圆 顶点在同一圆上的四边形 圆内接多边形、外接圆 二、圆内接四边形的性质 性质1：对角互补 ∠A+∠C=180° ∠B+∠D=180° 性质2：外角等于内对角 三、圆周角定理及推论 圆周角是圆心角的一半 同弧或等弧所对圆周角相等 直径(半圆)对直角；90°对角是直径 四、圆的性质综合应用 例3：直径+直角+勾股+中位线 辅助线+分类讨论 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $