29.2.3 圆周角（第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

课题

29.2 圆的有关性质 29.2.3 圆周角（第2课时）圆内接四边形

学科

数学

年级

九年级

教材版本

人教版（2026）

课时

第2课时

课型

新授课

教学目标

（1）了解圆内接四边形和四边形外接圆的概念，掌握圆内接四边形对角互补的性质；

（2）能运用圆周角定理及推论和圆内接四边形的性质进行简单的证明和计算，发展抽象思维、数学运算和推理能力；

（3）经历圆的性质综合应用的过程，培养抽象能力、几何直观、数学运算和推理能力。

教学重点

圆内接四边形的概念和性质及圆周角定理推论的应用。

教学难点

圆的性质的综合应用（垂径定理、圆心角、圆周角等定理的关联运用与辅助线、分类讨论）。

教学方法

讲授法、启发探究法、合作交流、演示法

教学准备

多媒体课件、圆规、直尺、量角器

课后练习

必做：P131练习第1、2、3题；探究性作业：习题29.2第10题。

板书设计

见板书设计部分

教学环节

教学内容与教师活动

学生活动

设计意图

一、创设情景
引入新课

【创设情景，引入新课】

复习提问：①在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等；②圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；③圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

教师过渡：前面我们研究了圆中的角——圆心角、圆周角。如果一个四边形的顶点都在同一个圆上，这样的四边形会有什么特殊性质呢？这就是本节课要研究的圆内接四边形（板书课题）。

（设计意图：复习圆心角、圆周角知识，类比引出圆内接四边形的相关概念与性质。）

回顾弧、弦、圆心角关系与圆周角定理及其推论，思考顶点都在圆上的四边形有何性质。

以旧引新，衔接圆周角知识，自然过渡到圆内接四边形性质的研究。

二、探究点1
 

【探究点1】圆内接四边形和四边形外接圆的概念

观察下图：

观察四边形各顶点与圆的位置关系，归纳圆内接四边形、四边

通过直观图形抽象概念，明确“内接

圆内接四边形和外接圆的概念

追问1：图中四边形ABCD的顶点和⊙O的位置关系？

四边形的所有顶点都在⊙O上。

追问2：这个四边形ABCD和⊙O的位置关系是什么？一个多边形呢？

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆。如果多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

归纳：“内接”“外接”是指四边形与圆的位置关系，是一个图形相对于另一个图形而言的。

（设计意图：借助图形认识圆内接四边形和四边形外接圆的概念及其相互关系。）

形外接圆的定义。

”与“外接”的位置关系，为研究性质打基础。

三、典型例题
例1（正方形内接圆求角）

【典型例题】例1（圆内接正方形求角）

例1　正方形ABCD内接于⊙O，P是劣弧AB上任意一点，则∠CPD等于（　　）

A．45°　B．60°　C．75°　D．90°

【分析】本题主要考查圆内接四边形以及圆周角定理的应用。由圆内接正方形将圆分成四等分，得⌒CD所对圆心角∠COD=90°，再由圆周角定理可求出∠CPD。

【详解】连接OC、OD。∵ 正方形ABCD内接于⊙O，　∴ ⌒CD所对的圆心角 ∠COD==90°。

∴ ∠CPD=∠COD=×90°=45°，故选A。

由正方形内接圆确定⌒CD所对圆心角为90°，再用圆周角定理求∠CPD=45°，选择正确答案。

综合圆内接正方形与圆周角定理求角，落实“圆周角—弧—圆心角”的转化应用。

【讲评要点】把顶点在圆周上的角与圆心角、弧联系起来：先找角所对的弧，再找该弧所对的圆心角，用“圆周角是圆心角一半”求解。

（设计意图：应用圆内接多边形与圆周角定理求角，强化对角与其所对弧的相互转化。）

四、探究点2
圆内接四边形的性质

【探究点2】圆内接四边形的性质

如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆。

追问1：图中∠A与∠C、∠B与∠D之间有什么关系？你能猜想出结论吗？

∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。

追问2：如何证明你的猜想呢？请试一试。

分析：∠A和∠C是一对圆周角，可以连接OB、OD，利用它们所对的圆心角之和是周角来证明。

证明：连接OB、OD。

∵ ⌒BCD和⌒BAD所对的圆心角的和是周角（即∠BOD+∠BOD=360°，这里指两条弧所对的圆心角之和为360°）,则两条弧所对的圆周角之和为其一半，

∴ ∠A+∠C=∠BOD+∠BOD=×360°=180°，同理 ∠B+∠D=180°。

归纳总结　圆内接四边形的对角互补。

追问3：图中∠A与∠DCE（CE是BC延长线上的角）的大小有何关系？并说出理由。

∠A=∠DCE。理由如下：∵ ∠A+∠C=180°，∠BCD+∠DCE=180°，而∠C即∠BCD，　∴ ∠A=∠DCE。

追问4：你能把这个结论用一句话总结归纳一下吗？

总结归纳　圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。

（设计意图：通过猜想与推理得出圆内接四边形对角互补、外角等于内对角两条性质。）

猜想对角关系，通过连接OB、OD并用圆周角定理证明对角互补，进而总结外角等于内对角。

经历猜想—证明—归纳的过程，用圆周角定理推导圆内接四边形性质，突破性质探究的难点。

五、典型

【典型例题】例2（圆内接四边形求角度）

由圆内接四边形对角互补，用180°减去已

落实圆内接四边形对角