29.2.3 圆周角 第2课时 圆内接四边形-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（人教版·新教材）

该教案聚焦“圆内接四边形”核心知识点，通过回顾圆周角定理及推论，以“同弦所对圆周角是否相等”为问题链导入，搭建从旧知到新知的学习支架，梳理圆内接四边形概念及性质脉络。 以探究为主线引导学生观察猜想验证归纳，培养数学思维与推理能力，反证法证明四点共圆条件发展几何直观，例题练习结合提升应用意识，助力学生构建逻辑体系，为教师提供清晰教学流程与互动设计。

29.2 圆的有关性质 29.2.3 圆周角 第2课时 圆内接四边形 课题 圆内接四边形 课型 新授课 教学内容 教材第130-131页的内容 教学目标 1.了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念； 2.掌握圆内接四边形的概念及其性质定理，通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力； 3.熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明，进一步提高学生的应用能力和思维能力．  教学重难点 教学重点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法。 教学难点：论证圆内接四边形对角互补。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【回顾】 什么是圆周角？你还记得圆周角定理及其推论吗？ 预设答案：顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 【师生活动】引导学生回顾上节课的内容，教师追问直径是特殊的弦，它所对的圆周角相等，都是90°，那对于一般的弦，它所对的圆周角是否也相等呢？也就是说，同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？ 2.类比探究，学习新知 【合作探究】 接下来我们以同弦为例进行探究. 【问题1】BD是⊙O的弦(不是直径)，则它所对的圆周角都相等吗？ 猜想：∠A∠E，∠C∠F. 【追问1】能否验证你的猜想呢？ 预设答案：∵∠A，∠E所对的弧都是； ∠C，∠F所对的弧都是； 根据同弧所对的圆周角相等，得： ∠A∠E，∠C∠F. 【师生活动】教师PPT展示，任意作出弦BD所对的4个圆周角，引导学生发现，根据角的顶点在弦的上方还是下方，把4个角归为两类，让学生提出猜想，并验证，最终教师PPT展示验证的过程. 【追问2】∠A∠C吗？ 预设答案：不一定相等. 【师生活动】教师提出问题后，引导学生先观察图形： 不难发现，∠A是锐角，∠C是钝角.显然不相等.并进一步引导学生发现，若BD是直径，则它所对的圆周角∠A∠C，从而得出结论：∠A∠C不一定相等. 【追问3】∠A和∠C有什么数量关系呢？ 【师生活动】教师引导学生把问题转化为四边形的一组对角的数量关系，进一步让学生观察这个四边形有什么特点，引导学生发现四边形的四个顶点都在圆上，从而引出圆内接多边形的概念. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形.这个圆叫作这个多边形的外接圆. 如上图中，四边形ABCD是⊙O的内接四边形；⊙O是四边形ABCD的外接圆. 【追问3】就转化为了：圆内接四边形的一组对角有什么关系？ 猜想：互补. 证明：如图，连接OB，OD. ∵，. 又∵∠1∠2360°， ∴∠A∠C180°. 同理：∠ABC∠ADC180°. 【师生活动】教师引导学生猜想，然后学生自主验证、小组交流后，尝试用语言归纳总结出所得结论.教师汇总并补充. 圆内接四边形的对角互补. 【追问4】现在，你能回答课程刚开始的问题了吗？同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？ 预设答案：同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补. 【师生活动】教师提出问题，引导学生回顾刚才探究的过程，然后得出结论，需要提醒的是，前面只探究了同弦所对的圆周角，对于同圆或等圆中等弦的情况，学生可自行探究. 【思考】 【问题2】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形；∠A与∠DCE有什么关系？ 预设答案：相等. 证明：∵∠DCE∠DCB180°，∠A ∠DCB180°. ∴∠A∠DCE. 【师生活动】教师引导学生自主探究，小组交流后，尝试用语言总结出所得结论，选代表回答，教师补充. 圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. 【归纳】 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角. 【做一做】 1.如图在圆内接四边形ABCD中， (1)若∠B=30°，则∠D=＿＿. (2)若∠A∶∠C5∶4，则∠A＿＿. 答：(1)150°；(2)100°. 【延伸】 【问题3】所有的圆都有内接四边形，反过来，所有的四边形都有外接圆吗？ 【师生活动】教师提出问题后，先引导学生独立思考，然后适当提醒，比如，以四边形ABCD为例(如下图)，可以先假设四边形ABCD有外接圆⊙O.也就是说，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.则应满足AC180°， BD180°.这显然与已知图形相矛盾，故假设不成立，四边形ABCD没有外接圆. 结论： 所有的圆都有内接四边形，但是四边形不一定有外接圆. 【追问】什么样的四边形才有外接圆呢？ 【师生活动】教师引导学生从“圆内接四边形的对角互补”入手，提出猜想“对角互补的四边形有外接圆”，并尝试让学生仿照前面用反证法进行验证，若学生没有思路，教师适当提醒. 已知：如图，四边形ABCD中，AC180°， BD180°. 求证：四边形ABCD内接于一个圆. 证明：如图，过点A，B，D作⊙O ，假设C不在⊙O上，点C在圆外或圆内，若点C在圆外，设BC交圆O于点C'，连接DC'， 根据圆内接四边形的性质得： ADC'B180° . ∵AC180°， ∴DC'BC. 这与三角形外角定理矛盾， 故点C不可能在圆外. 类似地可证点C不可能在圆内. ∴点C在⊙O上，也即A，B，C，D四点共圆. 【归纳】 1.所有的圆都有内接四边形，但是四边形不一定有外接圆. 2.对角互补的四边形有外接圆.这也是证明四点共圆的一种常用方法. 3.学以致用，应用新知 【例】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若BOD100°，求A与C的度数. 解：∵在⊙ O中，∠ A 与∠ BOD 所对的弧都是弧BD，∴ABOD×100°=50°. 又四边形ABCD 为⊙ O 的内接四边形， ∴∠ C+ ∠ A ＝ 180°. ∴∠ C ＝ 130°. 4.随堂训练，巩固新知 （1）若四边形ABCD为圆内接四边形，下列可能成立的是( ) A. A∶B∶C∶D 1∶2∶3∶4 B. A∶B∶C∶D 4∶3∶2∶1 C. A∶B∶C∶D 4∶1∶3∶2 D. A∶B∶C∶D 4∶3∶1∶2 答案：D （2）已知：四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD//BC，AC与BD相交于点P，APB20°，求四边形各个角的度数. 解：∵ BC是⊙O的直径，∴BDC90°. ∵AD//BC，∴=， ∴ADBCAD. 又APBADBCAD20°， ∴ADBCAD10°. ∴ADCADBBDC10°90°100°， BCD180°100°80°. 同理可得：DAB100°，ABC80°. （3）证明：圆内接平行四边形是矩形. 已知：▱ABCD是⊙O的内接四边形. 求证：▱ABCD是矩形. 证明：∵▱ABCD是⊙O的内接四边形. ∴AC，AC180°. ∴AC90°.即▱ABCD是矩形. （4） 在圆内接四边形ABCD中，A，B，C的度数之比是2 3 6，求这个四边形各角的度数. 解：设A，B，C的度数分别等于2x°，3x°，6x°. ∵四边形ABCD内接于圆， ∴ACBD180°. ∵2x6x180，∴x22.5， ∴A45°，B67.5° ，C135°， D180°67.5°112.5°. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）圆内接四边形有哪些性质？ 6.布置作业 教材P131练习第1-3题，P131习题29.2第10题. 先复习回顾已学知识，在此基础上提出问题，引导学生思考新知识，建立起新旧知识之间的联系，便于学生理解和接受. 让学生经历观察、猜想、验证、归纳总结等过程.充分理解圆内接四边形的性质，培养学生大胆猜想，勇于探究的数学精神. 探究圆内接四边形性质的推论. 及时巩固所学知识. 通过思考、猜想、验证，归纳等过程，使学生明白所有的圆都有内接四边形，但是四边形不一定有外接圆.进一步得出四点共圆的条件. 通过例题讲解，巩固本节课所学知识. 培养学生解决问题的能力，进一步提高学生分析能力和有条理的表达能力. 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 圆的内接多边形 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $