29.2.3圆周角定理及其推论教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦圆周角定理及其推论，通过足球射门情境引出张角问题，结合圆心角知识回顾，搭建从生活实例到圆周角定义的学习支架，梳理前后知识脉络。 其特色在于引导学生经历测量、分类证明（圆心位置三种情况）的探究过程，培养推理能力与几何直观，通过同弧等弧辨析及直径构造直角辅助线的例题，强化应用意识，助力学生规范推理书写，帮助教师精准把握教学重难点。

第29章圆 圆的有关性质第三课时：29.2.3圆周角定理及其推论教学设计 一、素养目标 1.认识圆周角，掌握圆周角定理及其推论，能进行角度计算与简单证明； 2.经历分类证明定理过程，体会分类、转化思想，提升几何推理能力； 3.会利用直径所对圆周角为直角构造辅助线，规范书写解题步骤. 二、教学重点、难点 重点：理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题. 难点：理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. 三、教学过程 1、知识回顾 如图，在⊙O中，若＝，则AD＝____，AC＝____，AB⊥____，∠AOD＝______. 足球场有句顺口溜：“冲向球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好.”在射门游戏中(如图)，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关. 在上图中，当球员在B，D，E处射门时他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC， ∠AEC. 这三个角的大小有什么关系？ 参考答案： 依次为：BD，BC，OD，∠BOD，相等。 2、圆周角 对于与圆有关的角，除了圆心角，还有一种特殊位置的情形：角的顶点在圆上，并且两边都与圆相交. 如右图，在⊙O中，∠A的顶点在圆上，点B，C是∠A的两边与圆的交点.像这样，顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫作圆周角. (圆周角：①顶点在圆上；②两边都与圆相交.) 下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. 如图，连接BO，CO，得到圆心角∠BOC.可以发现，圆周角∠BAC与圆心角∠BOC对着同一条弧，它们之间是否存在一定的关系？ 3、合作探究 分别测量图中所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系？ 利用信息技术工具，改变，测量∠BAC，∠BOC的大小，上述关系是否仍然成立？ 拉动A、B、C三点，观察圆周角(∠BAC)和圆心角 (∠BOC)是如何变化的，及它们之间有何关系？ 可以发现，一条弧所对圆周角的度数等于这条弧所对圆心角的度数的一半. 即∠BAC＝∠BOC 如下图，为了证明上面发现的结论，在⊙O上任取一个圆周角∠BAC，可以发现圆心O与圆周角∠BAC的位置关系有三种： (1)圆心O在∠BAC的一条边上； (2)圆心O在∠BAC的内部； (3)圆心O在∠BAC的外部. ( 符号 “ ” 读作 “ 推出 ” ， “ A B ” 表示由条件A推 出结论B. )分析第(1)种情况： 对于情况(2)(3)，可以通过添加辅助线验证， 情况(2)∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝(∠BOD＋∠COD)＝∠BOC 情况(3)∠BAC＝∠CAD－∠BAD＝(∠COD－∠BOD)＝∠BOC 这样，我们就得到圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 几何符号语言：∵ ＝ ∴ ∠BAC＝∠BOC 4、思考与总结 上节课我们学习了一个反映圆心角、圆心角所对的弧、圆心角所对的弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ 在同圆(或等圆)中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等. 那么，圆周角与圆周角所对的弧、弦有什么关系吗？ (1)同弧()所对的圆周角(∠C与∠D)相等吗？ (2)等弧(＝)所对的圆周角(∠E与∠F)相等吗？ 进一步，我们还可以得到圆周角定理的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等. 几何符号语言： ∵ ＝ ∵ ＝ ∴ ∠C＝∠D ∴ ∠E＝∠F 思考：下列说法是否正确，为什么？ “在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等”. 如图，一条弦所对的圆周角有两个方向. 显然，∠C与∠D所对应的圆心角和为 360°，所以根据圆周角定理可知∠C＋∠D＝ 180°. 因此，在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角可能相等，也可能互补. 半圆(或直径)所对的圆周角有什么特殊性？ 所对应的圆心角为 180°， 则对应的圆周角为 90° . 圆周角定理的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 几何符号语言： ∵ AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB＝90° ∵ ∠ACB＝90° ∴ AB是⊙O的直径 4、例题讲解 例3 如图，⊙O的直径AB为10，弦AC为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC、AD、BD的长. 解：如图，连接OD. ∵ AB是⊙O的直径，∴ ∠ACB＝∠ADB＝90° ∵ 在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6 ∴ ∵ CD平分∠ACB，∴ ∠ACD＝∠BCD ∵ 在⊙O中，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD ∴ ∠AOD＝∠BOD ∴ AD＝BD 又 在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2 ∴ AD＝BD＝AB＝5 四、课堂练习 1. 判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由. 2.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC，求证∠ACB＝2∠BAC 3.如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方法？与同学交流一下. 参考答案： 1、 图（3）中的角是圆周角，其余各角都不是圆周角，理由：图（1）（2）中的两个角的顶点不在圆周上，图（4）中角的两边不与圆相交，图（5）中角的两边不全与圆相交。 2、 证明;∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB＝2∠BOC，∴∠ACB＝∠BOC，∵∠BOC＝２∠BAC，∴∠ACB＝2∠BAC 3、 能。常用方法至少有两种；（１）利用三角尺的直角可以找出两条直径（90°的圆周角所对的弦是直径.） 两条直径的交点就是圆心，（２）先任意作两条不平行的弦，再分别作这两条弦的垂直平分线，交点就是圆心。 五、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 六、教学反思 本节课通过对比圆心角引入圆周角，引导学生经历猜想、分类证明得出圆周角定理及其推论。课堂中学生基本掌握角度二倍关系，但不少学生做题忽略同弧这一前提条件，直径构造直角辅助线不会灵活运用，几何推理书写不够规范。今后教学要增加易错题型辨析，强化识图训练，引导学生找准同弧对应的圆周角与圆心角，提升综合解题能力。 学科网（北京）股份有限公司 $