13.3三角形的内角与外角 自测2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以“基础巩固-模型应用-探究拓展”分层，通过自测题与微专题结合，覆盖三角形内角与外角性质、角平分线模型等，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|内角和、外角性质单一应用|选择题直接考查外角等于不相邻内角和，填空题强化内角和计算| |提升层|角平分线、平行线综合应用|微专题1通过折叠、直尺三角板情境训练角度计算变形，微专题2构建双角平分线模型| |拓展层|动态探究与规律推导|微专题3以折叠为载体，探究角度关系并推广至四边形，培养创新意识|

《三角形的内角与外角》自测 (时间:30分钟,满分:100 分) 一、选择题(每题6分，共36 分) 1.(2026 安徽期末)如图,∠A=40°,∠CBD是△ABC的外角,∠CBD=120°,则∠C的大小是( ) A.90° B.80° C.60° D.40° 2.如图,已知直线l₁,l₂,l₃两两相交,且l₁⊥l₃,若α=40°,则β的度数为( ) A.120° B.130° C.140° D.150° 3.如图,已知AB∥CD,∠EBA=45°,∠E+∠D 的度数为( ) A.30° B.60° C.90° D.45° 4.(2026湖北模拟改编)如图,△ABC 的三个顶点在一组平行线上,∠ACB =90°,∠BAC=60°,若∠1=α,则∠2=( ) C.90°-α D.60°-α 5.如图,∠A,∠1,∠2的大小关系是( ) A.∠A>∠1>∠2 B.∠2 >∠1>∠A C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1 6.如图,在△ABC 中,∠ABC,∠ACB 的平分线BE,CD 相交于点 F,∠ABC =42°,∠A =60°,则∠BFC 等于( ) A.118° B.119° C.120° D.121° 二、填空题(每题6分，共24分) 7.如图,在△ABC中,∠B=40°,∠BAC=50°,且AD是△ABC的角平分线,则∠ADC= °. 8.在△ABC中,如果∠C=55°,∠B-∠C=10°,那么∠A= ,∠B= . 9.如图,∠ACD=120°,x的值为 . 10.(2026郑州期中)如图,∠1=100°,∠2=145°,则∠3= . 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题(每题10分，共40分) 11.(人教8上P13)如图,在△ABC中,∠A=40°,求∠B+∠C+∠ADE+∠AED 的度数. 12.如图,直线a∥b,∠1=130°,∠2=70°,求∠3 的度数. 13.(人教8上P22)如图,∠B=42°,∠A 比∠1小10°,∠ACD=64°.求证:AB∥CD. 14.(思维能力)如图,∠ACD 是△ABC 的外角,∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点 A₁, 的平分线与∠A₁CD 的平分线交于点A₂,…,∠Aₙ₋₁BC的平分线与∠Aₙ₋₁CD 的平分线交于点 An.设∠A=θ. (1)求∠A₁的度数; (2)求∠An的度数. 第十三章 三角形 数 学17 学科网（北京）股份有限公司 微专题 川 三角形中的角度计算变形记(运算能力) 变形一 利用平行线的性质求角度 1.【例1】如图,AB∥CD,EF⊥DB,垂足为点E,∠1=50°,则∠2 的度数是 . 7.(2026 沈阳期末)如图,AB ∥EF,∠ABC =75°,∠CDF =135°,则∠BCD= . 变形二 利用三角形内外角的性质求角度 2.【例2】如图,点 D 在 BC的延长线上,DE⊥AB 于点E,交AC 于点 F.若∠A=35°,∠D=15°,则∠ACB的度数为 . 8.如图，有一张直角三角 形纸片，记作△ABC，其 中∠B =90°.按如图方 式剪去它的一个角(虚 线部分),在剩下的四边形 ADEC 中,若∠1 =165°,则∠2 的度数为 . 变形三 利用角平分线、高的性质求角度 3.【例3】(2026 山东期末)如图, 在△ABC 中,∠BCD =30°, ∠ACB = 80°,CD 是边 AB 上的高,AE 是∠CAB 的平 分线,则∠AEB 的度数是 . 9.如图,在△ABC中,∠B=60°,AD 是△ABC 的外角的平分线,DE⊥AC,则∠γ=( ) A.120°-∠β D.2∠β-60° 变形四 利用直尺、三角板的特征求角度 4.【例4】(2026 济南模拟)一块含 30°角的直角三角板和直尺如图放置，若∠1 =146°33',则∠2 的度数为( ) A.64°27′B.63°27′C.64°33′D.63°33′ 10.(2026 德阳模拟)一副 直角三角板按如图所 示的方式摆放，点E 在 AB的延长线上，当 DF ∥AB时,∠EDB 的度数为( ) A.10° B.15° C.30° D.45° 变形五利用方程思想巧求角度 5.【例5】在△ABC中,∠A=20°,∠B=4∠C,则∠C等于( ) A.32° B.36° C.40° D.128° 11.(2026 上海模拟)若三角形的一个内角α是另一个内角β的3 倍，我们称此三角形为“特异三角形”，其中β称为“特异角”.若一个“特异三角形”为直角三角形，则这个“特异角”的度数为 . 变形六利用折叠的性质求角度 6.【例 6】如图,∠A =75°,∠B=65°,将纸片的一角折叠,使点 C 落在△ABC外,若∠2 = 35°,则∠1= . 12.如图,将△ABC沿DE,HG,EF 翻折,三个顶 点均落在点 O 处， 且EA 与 EB 重合于 线段 EO,若∠DOH =78°,则∠FOG的 度数为 . 学科网（北京）股份有限公司 微专题2>三角形中的双角平分线模型(模型思想) 模型解读 模型训练 模型一 双内角平分线模型 模型来源：人教8上 P17. 条件:如图,在△ABC中,BD,CD分别为∠ABC,∠ACB 的平分线. 结论： 解析：易得 所以 1. 如图,在△ABC 中,BD,CE 分别是∠ABC,∠ACB 的平分线,BD,CE 交于点 O,∠A =70°,则∠BOE= . 2.如图，将三角形纸片ABC沿 DE 折叠，点A 落在点A'处,恰好满足 BA'平分∠ABC,CA'平分∠ACB,A'D∥AE,若∠1 =122°,则∠2 的度数为 . 模型二 双外角平分线模型 条件:如图,BD,CD 分别为△ABC 的外角∠EBC,∠FCB 的平分线. 结论： 解析：易得 所以 3.(2026 兰州期末改编)如图,在△ABC中,BD,CD 分别是∠ABC,∠ACB 的平分线,BP,CP分别是∠ABC,∠ACB 的外角平分线. (1)当∠A =40°时,∠D 的度数为 ,∠P 的度数为 ; (2)当∠A 的大小变化时,试探究∠D +∠P的度数是否变化?如果不变化，求∠D+∠P的度数；如果变化，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 20 八年级上册 高分突破·我就喜欢 模型三内外角平分线模型 模型来源：人教8上P17改编. 条件:如图,在△ABC 中,BD 为∠ABC 的平分线,CD 为外角∠ACE 的平分线. 结论： 解析：易得 又∠DCE=∠DBC+∠D,∠ACE=∠ABC+∠A, 所以 所以 4.如图,在△ABC 中,∠ABC与∠ACB 的平分线相交于点 D，BD 与∠ACB 的外角平分线相交于点 E,∠BDC=130°. (1)∠A 的度数为 ; (2)∠E 的度数为 . 5.(2026四川期末)如图,BP 是△ABC 中∠ABC的平分线，CP 是△ABC 的外角的平分线，若∠ABP =20°,∠ACP=50°,则∠A 等于( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 模型四 对顶三角形内角平分线的夹角模型 模型来源：人教8上P17 改编. 条件:如图,AC,BD 相交于点O,BP,CP 分别平分∠ABD,∠ACD,且相交于点 P. 结论： 解析：根据对顶角相等易得 ∠A+∠ABF=∠P+∠PCF, ∠D+∠DCP =∠P+∠DBP, 所以 ∠A + ∠ABF + ∠D + ∠DCP = 2∠P +∠PCF+∠DBP(等式的性质). 又∠ABF=∠DBP,∠DCP=∠PCF, 所以∠A+∠D=2∠P, 所以 6.如图1,已知线段AB,CD 相交于点 O,连接AC，BD，我们把形如图1 的图形称之为“对顶三角形”.如图2,∠ACO 和∠DBO 的平分线CP 和 BP 相交于点 P,并且与AB,CD 分别相交于点M,N. (1)仔细观察，在图2 中有 个以线段OC 为边的“对顶三角形”； (2)如图2,若∠A=40°,∠D=50°,求∠P 的度数. 学科网（北京）股份有限公司 微专题3与三角形内角和有关的探究问题(一题一课) 扫码批改+错题本 母题:(苏教7上P201 改编)现有一张△ABC纸片,D,E分别是AB,AC边上两点,沿直线DE折叠. 母题变式 解题方法 (1)若折成图1的形状,使A 点落在 CE上,探究∠1 与∠A的数量关系. (1)根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论. (2)若折成图2 的形状，探究∠1+∠2与∠A 的数量关系. (2)根据折叠得∠ADE = ∠A'DE,∠AED=∠A'ED,由两个平角∠ADB 和∠AEC得∠1+∠2 等于360°与四个折叠角的差，化简得结果. (3)若折成图3 的形状，探究∠1，∠2与∠A 的数量关系. (3)利用两次外角定理得出结论，或利用三角形内角和、平角定义得出结论. (4)将以上问题进行推广，如图4，将四边形ABCD 纸片沿MN折叠，使点 A，B 落在四边形 NMCD 的内部时，探究∠1+∠2与∠A，∠B 之间的数量关系.(提示：四边形四个内角的和为360°) (4)与(2)类似,先由折叠得∠BMN=∠B'MN,∠ANM = ∠A'NM,再由两平角的和为 360°得∠1 +∠2 =360°-2∠BMN-2∠ANM,根据提示得∠BMN + ∠ANM =360°-∠A −∠B，代入前式可得结论. 《三角形的内角与外角》自测 1. B 2. B 3. D 4. C 5. B 6. C 7.65 8.60°65° 9.40 10.65° 11.解:∵∠A=40°, ∴在△ABC中,∠B+∠C=180°-40°=140°,在△ADE中,∠ADE+∠AED=180°-40°=140°,∴∠B+∠C+∠ADE+∠AED=140°+140°=280°. 12.解:如图,∵∠1=130°,∠2=70°,∴∠4=∠1-∠2=60°,∵a∥b,∴∠3=∠4=60°. 13.证明:在△ABC中,∠A+∠B+∠1=180°, 又∵∠A+10°=∠1,∠B=42°, ∴∠A+42°+∠A+10°=180°, ∴∠A=64°. 又∵∠ACD=64°,∴∠A=∠ACD,∴AB∥CD. 14.解:(1)∵BA₁是∠ABC的平分线,CA₁是∠ACD的平分线, 又∵∠ACD=∠A+∠ABC,∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁, (2)同理可得 微专题1 三角形中的角度计算变形记(运算能力) 1.【例1】40°2.【例2】70°3.【例3】100° 4.【例4】B 5.【例5】A 6.【例6】115° 7.30°8.105° 9. C 10. B 11.22.5°或30°12.102° 微专题2 三角形中的双角平分线模型(模型思想) 1.55°2.64° 3.解:(1)110°70° (2)∠D+∠P的度数不变. 由题意可证 ∴∠D+∠P=180°,∴∠D+∠P的度数不变,为180°. 4.(1)80°(2)40°5. D 6.解:(1)4 (2)∵∠ACO和∠DBO的平分线CP和BP相交于点 P, ∴∠ACP=∠DCP,∠ABP=∠DBP, ∵∠ACP+∠A=∠ABP+∠P,∠DCP+∠P=∠DBP+∠D, 微专题3 与三角形内角和有关的 探究问题(一题一课) (1)解:由折叠得∠A=∠DA'A, ∵∠1=∠A+∠DA'A,∴∠1=2∠A. (2)解:由折叠得∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED, ∵∠ADB+∠AEC=360°, ∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A'DE-∠AED-∠A'ED=360°-2∠ADE-2∠AED, ∴∠1+∠2=2(180°-∠ADE-∠AED)=2∠A. (3)解:∵∠2=∠AFE+∠A,∠AFE=∠A'+∠1, ∴∠2=∠A'+∠1+∠A, 由折叠得∠A=∠A',∴∠2=2∠A+∠1,∴∠2-∠1=2∠A. (4)解:由折叠得∠BMN=∠B'MN,∠ANM=∠A'NM, ∵∠AND+∠BMC=360°, ∴∠1+∠2=360°-2∠BMN-2∠ANM, ∵∠BMN+∠ANM=360°-∠A-∠B, ∴∠1+∠2=360°-2(360°-∠A-∠B)=2(∠A+∠B)-360°. 学科网（北京）股份有限公司 $