21.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过画y=x²图象（列表、描点、连线）引入抛物线概念，对比y=-x²探究a正负对开口方向的影响，构建从具体操作到抽象特征的学习支架。 其亮点是采用探究式教学，结合动态演示（双击操作）和对比归纳（a>0与a<0的图象特征、|a|与开口大小关系），培养数学眼光（几何直观）和数学思维（推理能力）。例题融入图形面积计算，方法总结结构化，助力学生掌握性质应用，教师可提升教学效率。

沪科版九年级上册21.1二次函数专项练习 本次专项练习紧扣沪科版九年级上册21.1二次函数核心考点，涵盖二次函数的定义辨析、系数识别、解析式求解、参数取值及简单实际应用，题型贴合课本重难点与中考基础题型，适配课堂巩固、课后刷题与知识点查漏补缺，所有题目均附详细解析，帮助夯实基础、理清解题思路。 一、核心知识点回顾 一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数。其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。核心判定要点：自变量最高次数为2、二次项系数不为0、解析式为整式函数。 二、专项练习题（含解析） （一）选择题（每题5分，共20分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（） A. y=3x-1 B. y=3x²+5 C. y=1/x² D. y=2(x+1)-3 解析：选B。A、D为一次函数，自变量最高次数为1；C为分式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义；B符合y=ax²+bx+c（a≠0）的形式。 2. 已知函数y=(m-2)x²+mx+1是二次函数，则m的取值范围是（） A. m≠2 B. m=2 C. m≠0 D. 任意实数 解析：选A。二次函数要求二次项系数不为0，即m-2≠0，解得m≠2。 （二）填空题（每题6分，共24分） 3. 二次函数y=2x²-5x+1的二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______。 解析：依次填2、-5、1。紧扣二次函数各项定义，注意一次项系数包含符号，常数项为不含自变量的常数。 4. 若函数y=(m²-1)x²+(m-1)x+3是二次函数，则m的取值范围是______。 解析：m≠±1。由二次项系数m²-1≠0，可得m²≠1，即m≠1且m≠-1。 （三）解答题（共56分） 5.（16分）已知函数y=(m-1)x+3x-2。（1）当m为何值时，函数为二次函数？（2）当m为何值时，函数为一次函数？ 解析：（1）二次函数需满足自变量最高次数为2，且二次项系数不为0，即|m|+1=2且m-1≠0，解得|m|=1，m≠1，故m=-1；（2）一次函数需自变量最高次数为1，分两种情况：|m|+1=1，解得m=0，此时函数为y=-x+3x-2=2x-2，是一次函数；或二次项系数为0，即m-1=0，m=1，此时函数为y=3x-2，是一次函数。综上，m=0或m=1。 6.（20分）根据题意列二次函数解析式：（1）一个正方形的边长为5cm，若边长增加x cm，面积增加y cm²，求y与x的函数解析式；（2）某商品原价200元，连续两次降价，每次降价百分率为x，求两次降价后的价格y（元）与x的函数解析式。 解析：（1）原面积为25cm²，边长增加后面积为(5+x)² cm²，y=(5+x)²-25=x²+10x（x≥0）；（2）第一次降价后价格为200(1-x)，第二次降价后y=200(1-x)²=200x²-400x+200（0<x<1）。 7.（20分）已知二次函数y=ax²+bx+c，当x=0时，y=3；x=1时，y=0；x=2时，y=-1，求该二次函数解析式。 解析：代入数值列方程组：x=0时，c=3；x=1时，a+b+3=0；x=2时，4a+2b+3=-1。化简得a+b=-3，2a+b=-2，两式相减得a=1，代入得b=-4。故解析式为y=x²-4x+3。 三、易错点总结 1. 判定二次函数时，容易忽略二次项系数不为0的条件，仅关注自变量次数为2；2. 识别各项系数时，遗漏一次项、二次项的负号；3. 实际问题中，需结合场景确定自变量取值范围，不可忽略隐含条件；4. 参数类题型需分类讨论，避免漏解、错解。 本次练习覆盖21.1全部基础考点，通过定义辨析、参数计算、解析式求解和实际建模四类题型，全面巩固二次函数入门知识，为后续学习二次函数图像、性质及综合应用筑牢基础。日常练习中需重点牢记二次函数的核心定义，规避基础易错点，熟练掌握待定系数法求解析式的基本步骤。 沪科版（新教材）数学九年级上册 21.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/10 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第21章 二次函数与反比例函数 二次函数 y = ax2 的图象 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 例1 画出二次函数 y = x2 的图象. 9 4 1 0 1 9 4 1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值： 1 探究新知 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象． 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y 2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面内描点 (x，y)； 双击演示操作 探究新知 -3 3 o 3 6 9 当取更多个点时，函数 y = x2 的图象如下： x y 二次函数 y = x2 的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于 y 轴 对称，y 轴就是它的 对称轴. 对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点 探究新知 练一练：画出函数 y = -x2 的图象. y 2 4 -2 -4 O -3 -6 -9 x 双击演示操作 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = -x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 探究新知 根据你以往学习函数图象的经验，说说二次函数 y = x2 的图象有哪些特征，并与同伴交流. x o y = x2 1. y＝x2 是一条抛物线； 2. 图象开口向上； 3. 图象关于 y 轴对称； 4. 顶点 (0，0)； 5. 图象有最低点. y 议一议 探究新知 说说二次函数 y = -x2 的图象有哪些特征，与同伴交流. o x y y = -x2 1. y＝-x2 是一条抛物线； 2. 图象开口向下； 3. 图象关于 y 轴对称； 4. 顶点 (0，0)； 5. 图象有最高点． 探究新知 1. 顶点都在原点； 3. 当 a＞0 时，开口向上； 当 a＜0 时，开口向下. 二次函数 y = ax2 的图象特征： 2. 图象关于 y 轴对称； 知识要点 探究新知 名师点金 比较二次函数值的大小的方法： 1.直接代入函数表达式求函数值，再比较大小. 2.利用函数的增减性比较函数值的大小.若两点分布在对称轴 左、右两侧，应先利用对称性将它们转化在对称轴的同侧， 再利用函数的增减性比较. 举一反三 9 知识点1 二次函数 的图象 1. 关于二次函数 的图象，下列说法错误的是( ) C A. 点在二次函数 的图象上 B. 它的开口向上，且关于 轴对称 C. 它的顶点是抛物线的最高点 D. 它与的图象关于 轴对称 返回 举一反三 10 2. 如图，二次函数 的图象是( ) C A. ① B. ② C. ③ D. ④ 返回 举一反三 11 观察图象，说说抛物线 y = ax2 与 y = -ax2 (a＞0) 有什么关系. 二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于 x 轴对称. x y O y = ax2 y = -ax2 想一想 探究新知 二次函数 y = ax2 的性质 问题1：观察图象，y 随 x 的变化如何变化？ (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) 2 探究新知 对于抛物线 y = ax2 (a＞0)： 当 x＞0 时，y 随 x 取值的增大而增大； 当 x＜0 时，y 随 x 取值的增大而减小. 知识要点 探究新知 (-2,-4) (-1,-1) (2,-4) (1,-1) 问题2：观察图象，y 随 x 的变化如何变化？ 探究新知 对于抛物线 y = ax2 (a＜0)： 当 x＞0 时，y 随 x 取值的增大而减小； 当 x＜0 时，y 随 x 取值的增大而增大. 知识要点 探究新知 解：分别填表，再画出它们的图象，如图所示. x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象. 双击演示操作 探究新知 思考1：从抛物线 来看，开口大小与 a 的大小有什么关系？ x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 当 a＞0 时，a 越大，开口越小. 探究新知 练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 探究新知 思考2 从抛物线 来看，开口大小与 a 的大小有什么关系？ x y O -2 2 -2 -4 -6 4 -4 -8 当 a＜0 时，a 越小（即 a 的绝对值越大），开口越小. 对于抛物线 y = ax2 ，| a | 越大，抛物线的开口越小． 探究新知 y＝ax2 a＞0 a＜0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上，在 x 轴上方 开口向下，在 x 轴下方 a 的绝对值越大，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当 x = 0 时，y最大值 = 0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 探究新知 例1 已知 y = (m + 1)x 是二次函数，且其图象开口向上，求 m 的值和函数解析式. m2 + m 解：依题意有 m + 1＞0， ① m2 + m = 2， ② 解②得 m1 = -2，m2 = 1. 由①得 m＞-1， ∴ m = 1. 此时，二次函数为 y = 2x2. 典例精析 探究新知 3. 二次函数 与一次函数 在同一坐标系中的大致图象可能是( ) D A. B. C. D. 举一反三 23 【点拨】由可知一次函数的图象必过点 ， 故A，B错误.当时， 的图象开口向下， 的图象经过第二、三、四象限；当 时， 的图象开口向上， 的图象经过第一、二、 三象限，故C错误，D正确. 举一反三 24 在同一坐标系中确定两个函数图象是否同时成立时， 先确定一个基础函数图象，再根据这个基础函数图象的位置 确定待定系数的取值范围，然后再看求出的待定系数的范围 是否满足另一个函数图象. 返回 举一反三 25 4. 画出函数 的图象. 略. 返回 举一反三 26 例2 已知二次函数 y = x2. （1）判断点 A (2，4) 是否在该二次函数图象上； 解：当 x = 2 时，y = x2 = 4， 所以 A (2，4) 在该二次函数图象上. 探究新知 27 （2）请分别写出点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标，关于 y 轴的对称点 C 的坐标； 解：点 A (2，4) 关于 x 轴的对称点 B 的坐标为 (2，-4)， 关于 y 轴的对称点 C 的坐标为 (-2，4). （3）点 B、C 在二次函数 y = x2 的图象上吗？在二次函数 y = -x2 的图象上吗？ 解：当 x = 2 时，y = -x2 = -4， 所以点 B (2，-4) 在二次函数 y = -x2 的图象上； 当 x = -2 时，y = x2 = 4， 所以点 C (-2，4) 在二次函数 y = x2 的图象上. 探究新知 28 例3 已知二次函数 y = 2x2. (1) 若点 (－2，y1) 与 (3，y2) 在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2 (填“＞”“＝”或“＜”)； ＜ (2) 如图，此二次函数的图象经过点 (0，0)，长方形 ABCD 的顶点 A、B 在 x 轴上，C、D 恰好在二次函数的图象上，B 点的横坐标为 2，求图中阴影部分的面积之和． 探究新知 (2) 解：∵ 二次函数 y＝2x2 的图象经过点 B(2，0)， ∴ 当 x＝2 时，y＝2×22＝8. ∵ 抛物线和长方形都是轴对称图形，且 y 轴为它们的对称轴， ∴ OA＝OB. ∴ 在长方形 ABCD 内，左边阴影部分 面积等于右边空白部分面积. ∴ S阴影部分面积之和＝2×8＝16. 探究新知 二次函数 y＝ax2 的图象关于 y 轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象上的点具有对称性转化到同一变化区域中 (全部为升或全部为降)，根据对应点的高低去比较函数值的大小；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解． 方法总结 探究新知 知识点2 二次函数 的性质 5. [2026滁州期末] 若二次函数 的图象经过点 ，则该图象必经过点( ) A A. B. C. D. 6. 已知二次函数，当时，随 的增大而 增大，则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 32 7. 若点，， 都在二次函数 的图象上，则，, 的大小关系为( ) A A. B. C. D. 举一反三 33 【点拨】方法1：,, 都在二次函数 的图象上,,,, . 方法2：二次函数的图象的对称轴是轴，点 关于轴对称的点是，即与 时函数值相 等，,,,都在函数 的对 称轴的右侧图象上， . 举一反三 34 方法2利用了对称性的性质，先将三点转化到对称 轴的同侧，再利用函数的增减性比较大小. . . . . 返回 举一反三 35 8. 如图，的半径为2，是函数 的图象，是函数 的图象，则图中 阴影部分的面积是____. 【点拨】是函数的图象， 是函 数的图象，,关于轴对称. 轴下方的阴影部分的面积等于 轴上方圆内空白处的面积. 阴影部分的面积为半个圆的面积，即为 . 返回 举一反三 36 9. 已知函数 是关于 的二次函数,则 的值为_______；若该函数图象的开口向下， 则的值为____；若该函数有最小值，则 的值为___. 或1 1 返回 举一反三 37 二次函数 y = ax2 的图象及性质 画法 描点法 根据对称性对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 课堂小结 谢谢观看 THANKS $