16.3.2 完全平方公式 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件围绕完全平方公式展开，通过复习多项式乘法及添括号法则，借助几何图形面积验证和多项式乘法实例推导公式，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于融合数形结合（几何面积验证体现几何直观）、从一般到特殊的探究（学生活动归纳规律培养推理意识），通过简记口诀和变式梳理强化模型意识。实例丰富如面积法验证公式、例题结合添括号法则，助力学生理解公式本质，教师可高效开展探究教学。

16.3.2完全平方公式 1.会推导完全平方公式，理解公式的结构特征，并能正确利用 公式进行乘法运算； 2.在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解完全平方公 式的几何意义，感知数形结合的思想； 3.在探索完全平方公式的过程中，感悟从一般到特殊的研究问 题的方法； 4.在探究过程中发现规律，并能用符号表示，感受数学的严谨 性，体会数学的简洁美. 完 全 平 方 公 式 学习目标 多项式与多项式相乘的法则 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加. 多项式与多项式相乘 (a+b)(p+g)= ap +aq+bp+ bq 复习回顾 问题 去括号： a+(b+c)= a+b+c; a—(b+c)= a—b—c. 反过来，就得到： a+b+c= a+(b+c); a—b—c= a—(b+c). 从等式左右两边的项数、括号前的符号、括到括号里的各项 的符号等方面观察③和④,你能发现什么? ① ② 添括号法则 归纳 a+b+c=a+(b+c) a—b—c=a—(b+c). (1) 形式上从无括号变为有括号； (2)等式左右两边的项数没变； (3)括号前面的符号没变； (4) 括号前面是正号，括到括号里的各项符号不变； (5) 括号前面是负号，括到括号里的各项符号都改变了. 去括号法则反过来就是添括号法则： a+b+c=a+(b+c); a—b—c=a—(b+c). 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都 不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变 符号. 新知 直接求：总面积=(a+b)(a+b) 间接求：总面积=a²+ab+ab+b² 你发现了什么? (a+b)²=a²+2ab+b² V VYY YYYY Y YYY Y Y YY YYYY k a— YY Y V Y b a Y V k—b—→ 人 人 ( 学生活动【一起探究】 问题1:计算下列多项式的积，你能发现什么规律? (1)(p+1)²=(p+1)(p+1)= p²+2p+1 (2)(m+2)²=(m+2)(m+2)=m²+4m+4 (3)(p-1)²=(p-1)(p-1)= p²-2p+1 (4)(m-2)²=(m-2)(m-2)= m²-4m+4 问题2:根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗? (a+b)²= a²+2ab+b² (a-b)²= a²-2ab+b² 也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加 上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公 式. 完全平方公式 (a+b)²= a²+2ab+b² (a-b)²= a²-2ab+b² . 简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中央” 探索新知 思考 (a + b)² 与( -a- b)² 相等吗?相等 分析一：(- a—b)²=(-a)² —2.( 一a) ·b+b²=a²+2ab+b²=(a+b)² ; 分析二：(—a—b)²=[ 一(a+b)]²= (一1)²(a+b)²=(a+b)²; (a-b² 与(b—a)²相等吗相等 分析一：(b—a)²=b²—2ba+a²=a²—2ab+b²=(a—b)²; 分析二：(b—a)= 一(a—b) ∴(b—a)²=[一(a—b)]²=(一1)²(a—b)²=(a—b)²; (a—b)² 与a²—b²相等吗?不一定相等 只有当b=0 或 a=b 时 ，(a—b)²=a²—b². 探索新知 添括号法则 去括号： a+(b+c)= a + b土c ; a—(b+c)=. a-b-C 把上面两个等式的左右两边反过来，就得到添括号法则： a+b+c=a+(b+c); 添括号时，如果括号前面是正 号，括到括号里的各项都 不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改 变符号. 例题练习 运用完全平方公式计算：(1)(4m+n)²;(2) 例题练习 例 已知x+y=7, xy=2 .求：(1)x²+ y²的值； 解 ∵x+y=7,xy=2, ∴x²+y²=x²+y²+2xy—2xy =(x+y)²—2xy =7²—2×2=49—4=45. (2)(x—y)²的值. 解 (x-y)²=x²+y²—2xy+2xy—2xy =x²+y²+2xy—4xy=(x+y)²—4xy =49—4×2=41. 反思感悟 熟练掌握完全平方公式的变式： x²+y²=(x-y)²+2xy=(x+y)²—2xy,(x—y)²=(x+y)²—4xy. 解：∵ (m+n+1)(m+n- 1) =(m+n)²-1²=63 ∴(m+n)²=64 ∴m+n=±8 灵活运用乘法公式计算： 已 知(m+n+1)(m+n -1)=63, 则m+n= +8 随堂练习 添括号法则： 添括号时，如果括号前面是正 号，括到括号 里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都 改变符号 注意： 有些整式相乘需要先通过添括号作适当变形， 然后再灵活运用乘法公式计算. 添 括 号 法 则 1.根据完全平方公式填空： (1)(x+1)²=x²+2·x·1+1²= x²+2x+1 (2)(一x+1)²= ( 一x)²+2 ·(一x)·1+1²= x²—2x+1; (3)(一2a—b)²= ( 一2a)²+2 ·(一2a) ·(一b十(一 b)² =4a²+4ab+b² 2.计算： (1)(5—a)²; 解：原式=25—10a+a². (2)(一2m+3)²; 解：原式= 4m²—12m+9. 解：原式= ③ ■ G 添括号时，如果括号前面是正号，括到 括号里的各项都不变号；如果括号前面是负 号，括到括号里的各项都改变符号(简记为 “负变正不变”). 添括号法则 $