第2章 实数 单元检测 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 2026年北师大版数学八年级上册实数单元提高卷，90分钟100分，覆盖无理数、平方根等核心知识，通过基础-能力-创新梯度设计，培养抽象能力、运算能力与推理意识，适配单元复习巩固与提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|无理数识别、平方根表示、实数性质|基础概念辨析，如第1题无理数判断，第3题平方根性质| |填空题|5/15|实数比较、几何直观（数轴表示）、剪拼问题|结合几何情境，如第11题数轴上用长方形对角线表示实数| |解答题|7/61|分母有理化、双重二次根式化简、实际应用|阅读材料引导探究，如第17题分母有理化，第20题正方形花圃面积问题，体现模型意识与推理能力|

2026年北师大版数学八年级上册 实数 单元检测（提高） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．在…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键． 无理数是无限不循环小数，常见类型包括含的式子、开方开不尽的数、以及有规律但无限不循环的小数，据此逐一判断即可． 【详解】∵ 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 是含的式子，是无理数； ，是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 开方开不尽，是无理数； （每两个2之间依次多一个1）是无限不循环小数，是无理数； ∴ 无理数有、、（每两个2之间依次多一个1），共3个． 故选：C． 2．“6的平方根”可用数学式子表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：6的平方根表示为， 故选：A． 3．下列说法正确的是（  ） A．的平方根是 B． C． D．的平方根是 【答案】B 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义，逐项分析即可得解，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、的平方根是，故原选项错误，不符合题意； B、，故原选项正确，符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、负数没有平方根，故原选项错误，不符合题意； 故选：B． 4．下列结论正确的是（    ） A． B．的平方根是 C．若，则 D．64的立方根是 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键．根据立方根、平方根、算术平方根的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故此选项结论正确，符合题意； B、没有平方根，故此选项结论不正确，不符合题意； C、若，则或，故此选项结论不正确，不符合题意； D、64的立方根是4，故此选项结论不正确，不符合题意； 故选：A． 5．在和之间的整数共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的大小估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 首先确定和的近似值，再找出两者之间的所有整数即可． 【详解】解：，， 比大的最小整数是，比小的最大整数是， 因此，区间内的整数为，共4个， 故选：C． 6．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 7．下列算式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的加减、乘除运算以及完全平方公式的应用．对于每个选项，需要根据相应的运算法则进行计算，然后判断其正确性．本题主要考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则和完全平方公式的形式是解题的关键． 【详解】解：选项A：，此选项错误． 选项B：∵，， ∴，此选项错误． 选项C：∵ ，此选项正确， 选项D：∵，此选项错误． 故选：C． 8．若（为两个连续奇数，），则下列对的描述中正确的是（   ） A．总是偶数 B．总是奇数 C．总是无理数 D．可能是有理数，可能是无理数 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，设，，进而得到，整体代入中求出，进行判断即可． 【详解】解：∵为两个连续奇数，， ∴设，，且为整数， ∴， ∴ ； ∵为偶数， ∴为奇数且总是有理数； 故选B． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．比较大小______ 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握“分母相同的分数，分子大的分数值大”以及二次根式的估值方法是解题的关键． 两个分数分母相同，只需比较分子的大小，即可确定分数的大小关系． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即． ∴． 10．的算术平方根是_____，﹣2的绝对值是_____，的倒数是_____． 【答案】 9 ﹣2 【分析】利用算术平方根定义，绝对值的代数意义，以及倒数的定义判断即可． 【详解】解：=|-81|=81，81的算术平方根是9； -2的绝对值是-2； 的倒数是， 故答案为9；-2；. 【点睛】此题考查了实数的性质，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 11．如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与实数，涉及到勾股定理，首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据A点表示，可得点E表示的实数． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， 在，由勾股定理可得： ∴， ∵A点表示， ∴点E表示的实数是． 故答案为：． 12．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， （1）则大正方形的边长是 _____cm； （2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，_____（填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【答案】 6 否 【分析】本题考查了算术平方根的应用，能根据题意正确列出算式是解题关键． （1）大正方形的边长就是小正方形的对角线，求小正方形对角线即可； （2）根据长方形长宽之比为和面积求出长和宽，与正方形边长进行比较即可． 【详解】解：（1）由大正方形的面积， 得大正方形的边长； 故答案为：6； （2）设长方形纸片长为，宽为， 则， 得， 故， 故不能使剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 故答案为：否． 13．若，则______． 【答案】2027 【分析】首先根据二次根式的意义确定m的取值范围，进而确定出的符号，然后对条件中的等式化简整理即可得解． 【详解】由 有意义，得， ， . ， 可化简为， ，即． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，乘方，零次幂，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别算出乘方，绝对值，零次幂，再运算加减法，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简，再运算乘除法，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 15．已知，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次根式的非负性、算术平方根的定义，立方根的定义，无理数的估算，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）根据二次根式的非负性、立方根的定义，无理数的估算，分别求得a，b，c的值； （2）代入a、b、c的值，根据求一个数的平方根进行计算即可求解． 【详解】（1）∵， ∴，， 则， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，         ∴的平方根是. 16．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，．    (1)化简M； (2)当，时，求M的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、二次根式的混合运算，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴可得，，从而得出，，，再根据二次根式的性质化简即可； （2）将，代入（1）中化简的式子计算即可得解． 【详解】（1）解：由数轴可得：，， ∴，，， ∴ ； （2）解：当，时，原式． 17．阅读下列材料，然后回答问题． 【思维启迪】 【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 【材料2】∵，即， ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 【学以致用】 (1)化简； (2)已知的整数部分为a，小数部分为b， ①求a、b的值． ②求的值． 【答案】(1) (2)①3，；② 【分析】本题考查分母有理化，与无理数整数部分有关的计算： （1）根据分母有理化进行化简即可； （2）先进行分母有理化，再根据无理数的估算方法，确定的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：； （2）①， ∵， ∴， ∴， ∴，； 故答案为：3，； ②∵，， ∴． 18．素材1：在进行二次根式比较大小时，“平方法”是非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方． ∵，，，∴． 素材2：我们可以用在方格纸中构造线段的方法来比较无理数的大小．如在图1的方格纸中，，，显然，∴． 根据以上素材，解决下面问题： (1)比较大小：______8； (2)小明在比较与的大小时，想出了以下两种方法： ①从“数”的角度：利用平方法，证明“”； ②从“形”的角度”：在图2的方格纸中画出图形，证明“”． 【答案】(1)＞； (2) ①证明：∵， ，而， ∴， ∴． ②如图，，，． ∵， ∴． 【分析】本题考查二次根式的大小比较，实数的乘方，三角形的三边关系，掌握知识点是解题的关键． （1）分别求出两个数的平方，再比较大小即可； （2）①根据平方法比较大小的步骤，逐步求解即可；②画出三角形，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：>． （2）①略 ②略 19．【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果工次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例知：；． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． (2)把下列各式的分母有理化： ①； ②． (3)化简：． 【答案】(1)（答案不唯一）；（答案不唯一） (2)①；② (3)2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，正确计算是解题的关键． （1）根据有理化因式定义求解； （2）①分子分母同乘以，再计算即可； ②分子分母同乘以，再计算即可； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是（答案不唯一）；的有理化因式是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）； （2）解：①； ② （3）解： ． 20．【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如： ，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简； 例如：化简； 且， ， ， 由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： 【方法运用】 （1）填空：①__________；②__________； 【方法应用】 （2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 【迁移运用】 （3）已知为常数（），满足，求的值． 【答案】（1）①；②；（2）新正方形花圃的边长为米；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，掌握相应的运算法则是关键． （1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案； （2）得到新正方形花圃面积为，根据题意计算边长即可； （3）将转化为，计算即可解答． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：；； （2）由题可知，新正方形花圃面积为（平方米）， ， 则新正方形花圃的边长为米； （3）∵， ∴， ∴， ∴． ， ∴的值为． 试卷第12页（共13页） 试卷第13页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北师大版数学八年级上册 实数 单元检测（提高） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．在…（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．“6的平方根”可用数学式子表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（  ） A．的平方根是 B． C． D．的平方根是 4．下列结论正确的是（    ） A． B．的平方根是 C．若，则 D．64的立方根是 5．在和之间的整数共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 7．下列算式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 8．若（为两个连续奇数，），则下列对的描述中正确的是（   ） A．总是偶数 B．总是奇数 C．总是无理数 D．可能是有理数，可能是无理数 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．比较大小______ 10．的算术平方根是_____，﹣2的绝对值是_____，的倒数是_____． 11．如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是______． 12．如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， （1）则大正方形的边长是 _____cm； （2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，_____（填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 13．若，则______． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．计算： (1)； (2)． 15．已知，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 16．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，．    (1)化简M； (2)当，时，求M的值． 17．阅读下列材料，然后回答问题． 【思维启迪】 【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 【材料2】∵，即， ∴． ∴的整数部分为1． ∴的小数部分为． 【学以致用】 (1)化简； (2)已知的整数部分为a，小数部分为b， ①求a、b的值． ②求的值． 18．素材1：在进行二次根式比较大小时，“平方法”是非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方． ∵，，，∴． 素材2：我们可以用在方格纸中构造线段的方法来比较无理数的大小．如在图1的方格纸中，，，显然，∴． 根据以上素材，解决下面问题： (1)比较大小：______8； (2)小明在比较与的大小时，想出了以下两种方法： ①从“数”的角度：利用平方法，证明“”； ②从“形”的角度”：在图2的方格纸中画出图形，证明“”． 19．【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果工次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例知：；． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． (2)把下列各式的分母有理化： ①； ②． (3)化简：． 20．【背景介绍】我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如： ，那么，那么如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数，（，），使得即，且使即，那么，双重二次根式得以化简； 例如：化简； 且， ， ， 由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，（，）使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： 【方法运用】 （1）填空：①__________；②__________； 【方法应用】 （2）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长； 【迁移运用】 （3）已知为常数（），满足，求的值． 试卷第2页（共5页） 试卷第3页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $