第2章实数提优卷2026-2027学年数学八年级上册北师大版

**基本信息** 本卷为北师大版八年级上册第2章实数单元提优卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，覆盖无理数识别、二次根式运算等核心知识，适配单元复习，培养抽象能力与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|无理数判断、平方根立方根概念、二次根式性质|第7题结合数轴与正方形面积，体现几何直观；第10题新定义运算，培养数学思维| |填空题|6题|二次根式有意义条件、无理数估算、非负性应用|第16题引入海伦-秦九韶公式，渗透文化传承与模型意识| |解答题|6题|二次根式混合运算、整体代换、分母有理化|22题通过规律探究考查运算能力，21题整体代换思想提升推理意识|

第2章实数提优卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024） 一、单选题 1．在实数0，，（每相邻两个1之间依次多一个0）中，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 3．下列实数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．立方根等于它本身的数是（   ） A．0 B．1 C． D．0或 6．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 8．已知是正整数，并且，则的值为（   ）． A． B． C． D． 9．a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 10．对于实数，，规定一种新运算：，例如，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若式子有意义，则的取值范围是_____． 12．写出一个比大且比小的整数________． 13．若有理数a满足，则a的值可为__________．（写出一个即可） 14．已知有理数a，b满足，则的值是_________． 15．对于，规定，例如：，所以，记，，则y与x之间的数量关系式为____． 16．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．若，，，其面积S的小数部分为m，则m的值为___________． 三、解答题 17．计算： (1) (2) 18．设．求和的值． 19．求的值： (1)； (2)． 20．已知的立方根是2，的平方根是，c是的整数部分．求的平方根． 21．【问题情境】整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，求的值．我们将作为一个整体代入，则原式． 【灵活运用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，则的值为___________； (2)解方程：； (3)求． 22．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简． （一）； （二）； （三）． 类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)化简：______，______，______，______． (2)已知：，求的值． (3)计算：． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《第2章实数提优卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B D D D B C A 1．C 【分析】无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：是整数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； （每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，属于无理数； 综上，无理数共有3个． 2．D 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，需根据相关定义逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根， ∴4的平方根是，选项A错误； ∵负数没有平方根，0只有一个平方根， ∴选项C错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴1的立方根是1，选项B错误， 任何实数都有一个立方根，选项D正确； 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则比较即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵正数大于，负数小于，正数大于一切负数， ∴最小的数在和中， ∵，， ∴， 又∵两个负数比较大小，绝对值大的反而小， ∴， ∴最小的数是， 故选：． 4．B 【分析】本题考查同类二次根式的判定，需先明确同类二次根式的定义，再将各选项中的二次根式化为最简形式，对比被开方数是否与的被开方数相同即可． 【详解】∵同类二次根式的定义是：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式． ∴对各选项化简： A选项：，被开方数为5，与的被开方数2不同，不是同类二次根式． B选项：，被开方数为2，与的被开方数相同，是同类二次根式． C选项：，被开方数为6，与的被开方数2不同，不是同类二次根式． D选项：，被开方数为5，与的被开方数2不同，不是同类二次根式． 故选：B． 5．D 【分析】本题考查立方根的定义，需根据立方根的定义找出立方根等于自身的数． 【详解】解：∵， ∴0的立方根是0，即0的立方根等于它本身． ∵， ∴1的立方根是1，即1的立方根等于它本身． ∵， ∴的立方根是，即的立方根等于它本身． 综上，立方根等于它本身的数是0或， 故选：D． 6．D 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，根据同类二次根式的加减法则及二次根式的乘除法则逐一判断选项即可． 【详解】解：∵同类二次根式才能合并，与不是同类二次根式，不能直接相加为 ∴A选项错误． ∵==≠ ∴B选项错误． ∵===≠ ∴C选项错误． ∵==，= ∴D选项正确． 故选：D． 7．D 【分析】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，熟记实数和数轴的关系是解题的关键． 根据正方形的面积求出的长，再根据勾股定理求得，再结合数轴确定点E表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为1， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，（点E在点A的左侧）， ∴， ∵点A表示的数是1， ∴点E所表示的数为． 故选：D． 8．B 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数大小是解题关键． 先判断的取值范围，再判断的取值范围，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的值为． 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，化简绝对值等知识点，解题的关键是正确从数轴得到的大小关系以及符号． 由数轴可得，则可化为，再化简绝对值进行整式的加减计算即可． 【详解】解：由数轴可得 ∴ ， 故选：C． 10．A 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的运算，理解新定义运算和掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据定义将给定的实数代入规定的新运算公式，再利用二次根式的化简法则计算即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故选：A． 11． 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数得出，解一元一次不等式即可． 【详解】解：要使二次根式 有意义，则被开方数， 解得． 故答案为：． 12．2 【分析】此题主要考查了实数的大小的估算，其中“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．先估算无理数，，然后即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，, ∴比大且比小的整数是． 故答案为：． 13．1.5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查无理数的估算，根据题意可得，得到可以为2.25，即，进而求出a的值． 【详解】解：∵a为有理数， ∴为有理数， ， ∴， ∴可以为2.25，即， ∴， ∴a的值可为1.5． 故答案为：1.5（答案不唯一）． 14．16 【分析】本题主要考查算术平方根与绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根与绝对值的非负性是解题的关键；根据算术平方根和绝对值的非负性，得出和，即可求解． 【详解】解：∵，且，， ∴，即且， ∴，， ∴ ； 故答案为16． 15． 【分析】本题考查实数的运算的新定义问题。根据新定义，将和转化为指数形式，再利用同底数幂的乘法性质建立与的关系 【详解】解：由，得. 由，得. ∵， ， . 16．/ 【分析】本题主要考查了二次根式性质，无理数的估算，先计算半周长，再代入海伦-秦九韶公式求面积S，然后估算S的整数部分，最后求小数部分即可． 【详解】解：由题意得： ， ， ∵，即， ∴S的整数部分为， 小数部分为． 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算， （1）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可求解； （2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．，4 【分析】本题主要考查二次根式的加减与乘除，解题的关键是能够熟练地运用二次根式的运算法则以及熟练地运用完全平方公式． 分别将a，b代入中计算；先利用完全平方公式整理，再将a，b代入计算即可． 【详解】解： 19．(1) ， (2) 【分析】本题考查了平方根与立方根的求解，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，通过移项、系数化为1等步骤，将方程转化为可直接开方的形式． （1） 先移项，将常数项移到等号右边，再把二次项系数化为1，最后根据平方根的定义开方求解； （2） 先把方程两边同时除以2，将三次项系数化为1，再根据立方根的定义求出的值，进而解得． 【详解】（1）解： 即 （2）解： 20． 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的估算，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，以及用夹逼法估算无理数的方法和步骤． 先根据立方根和平方根的定义，求出a和b的值，再估算的值，最后将a、b、c的值代入，利用平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵的立方根是，的平方根是， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， ∴的整数部分是， ∴， ∴， ∴的平方根是． 21．(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查整体代换思想在代数式求值、一元一次方程求解及二次根式运算中的应用，核心是通过将复杂的重复出现的式子设为一个整体，简化计算过程． （1）将原式变形为含的形式，利用整体代入直接求值； （2）设为整体，将原方程转化为简单的一元一次方程，求解后回代得到的值； （3）设重复出现的为整体，将复杂的乘积运算转化为多项式乘法，消去同类项后得到结果． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：． （2）解：设，则原方程可化为：， 解得：， ∴， 解得； （3）解：设， 则，，， 原式 ． 22．(1)；；； (2)16 (3)2024 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，解题关键是熟练掌握如何把二次根式分母有理化． （1）各个算式分别把分子和分母乘以分母的有理化因式，把分母中的根号去掉进行化简即可； （2）先根据已知条件，把x，y化简，再利用完全平方公式把所求代数式分解因式，然后直接把化简后的x，y代入进行计算即可； （3）把括号内的每个分式进行分母有理化，然后进行简便计算，最后再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：；；；； （2）解：， ， ； （3）解： ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $