第二章 实数（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 第二章实数单元提升卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，考查无理数概念、二次根式运算等核心知识，融入文化传承与实际应用，适配单元复习，发展抽象能力、运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数判断、二次根式计算等|第4题结合数轴与勾股定理，体现几何直观| |填空题|6/18|同类二次根式、杨辉三角文化题等|第14题引用杨辉三角，渗透数学文化| |解答题|9/72|规律探究、新定义运算、实际应用等|第20题规律探究发展推理意识，第19题文化长廊问题培养模型意识|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二章实数（高效培优单元自测·提升卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 B A C B B C A A Y 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 7 11.18 12.1 3 13.2 14.3V3+9 46 15.45 16.±25 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17. 【详解】（解：原武2 22544 =V2×45+√2-12V3) =2×(V2-85) =2-8V6 3分 (2)解：原式=9-5-(3-25+) 119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =9-5-3+25-1 =25 .6分 18, 【详解】(d)解：根据题意，得S=(5+V2=(5+2-V52+(2=5+2W而+2=7+20 S,=(N5-2}=(W5-25.2+(2=5-210+2=7-2w10 故8+5，=7+2i0+7-210=14(m) 3分 (2)能围成这两个正方形，理由如下： :两个正方形的周长之和为45+)+4(5-2)-=45+45+45-4W5=85(m,又 (8V5)2=320202=400320<400 85<20 .用长为20m的铁丝能围成这两个正方形.…… 6分 19, 【详解】（①解：根据恩意可得，这个文化长廊的周长-2(1D+CD) =253+2+V48） =255+V2+45) =2(93+2) =18W5+22 米)· 答：该长方形的文化长廊区域BCD的周长为8,5+2W2)米。 3分 (2)解：(55+2)48-(8- 219 可学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 =60+4v6-18+66-3 =39+10W6 (平方米) 39+10W6 答：刷涂料的面积为 平方米.6分 20 11 +1卫22 x21+11 1+1 【详解】(1)解：，第1个等式： 2 2+31+、1 11 .11 十 第2个等式： 1+2x31+2, 11 32+4=1+ 1 ,11 第3个等式： 3x4=1+34, 1.1 11 第4个等式： 4x51+ 45 ，,1,1 1 11 +5+6=1+ 1+ -=1+ ∴.第5个等式为： 5×656: .2分 1 1+ +1 1 11 =1+ =1+ (2)解：由上规律可得，第n个等式为：(n+1n(n+）中nn+1:4分 (3)解：原式=1+1- 7+1411 11 23+1 11 +…+1+ 34 20252026 =1×2025+1- 1 2026 1 =2026- 2026 =2025 2025 20266分 21. 11 【详解】(1)解：：V93, 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 服对的生装对安层同 42分 (2)解：：数对a,b)的“衍生数对”是5,32)】 =5,历=3 a 5.6=s, =3,b=18 :.a 1 a=3: ∴ab=，x18=6 1 3 4分 (3)解：m+n>mn,理由如下： 由题意得：a>1,b>0, a,b) m,n） 数对 的“衍生数对”是 1 m= a,n=√b, .∴.m+n-mn a =1+/a/B-VB a 1+b(a- a 6分 :a>1,b>0. :a>1v6>0 :v6-1小0 419 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :1+6(a-小0， ..m+n-mn 1+Ba-,0 Va mtn>mn 8分 22 【详解】(1)解：2x=V2-V5 2 .r-B 2 _2-3 2 4 1-=1-252+g 4 4… 2分 -F-2,552525E1 2×V4=V4x4=V16=4, +E-+1g11 .1-x2 x xv1-x2 xi-rW-F了=4 4分 （②)解：设m=45+,n=45-,则a=m-a, m-m-[45+可-[45-可=45+-45--8 m:n=4(5+1×45-）=4(5+小水4(5-）=64=4,6分 .(m-m八=m3--3mn(m-）】 ∴.a3=8-3×4a, 519 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a3+12a=8 8分 23. 【详解】（山）解：由题意得m=祈=ln=4=-2 ·数对04列 的开方对称数对为 1,-2),(-2,1) 2分 ②解，数对6的-个牙方对将数对是(2 ①m=a=-2,n=-V6= 2 此时b=-无意义，故舍去一 3分 ②m=6=分a=历=-2 86=4: 解得a 8b=4 综上，a 5分 (3)解：数对a,0）的一个开方对称数对是1-) om=a=-山n=万=-5 解得a=-1,b=25, a+b=-1+25=24, 7分 @m=a=-5,n=6=-1 解得a=-125,b=1: .a+b=-125+1=-124: 综上，+b的值为24或-124.8分 24. 【详解】1)解：：36<37<49， 619 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷6<[37]<7 :[37]=6 2分 2解：：[]=，0<i<2<5<4=2,且为整数， .x=1或x=2或x=3(答案不唯一，符合题意即可)。… 4分 (3)解：：点A表示1，点B表示V2,点A是BC的中点， 点C表示的数为=2-V2 :k-+1-25=p-2-+1-22=2-1+1-22=-2 5分 :1<2<2 :2<2<1 :[]=-2, 即-1+1-25]的值为-2. 7分 ④解，[]-[]+[]-1-1+1=1.[4]+[5]-[6]+[]-[8]-2+2-2+2-2=2 []-[io]+[V]-[2]+[i3]-[4]+[V]=3-3+3-3+3-3+3=3 ,…,9分 442-1936,452=2025, :[]-[V2]+[5]-[4]+-[v2o24]+[2025 =1-2+3-4+5-6+…+43-44+45 =(1-2)+(3-4)+…+(43-44)+45 =(-1)×22+45 =23 .12分 25. 719 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：103=1000,1003=1000000,1000<3375<1000000 3375 是两位数， .53=125 .337 的个位数字应是5， 将3375的小数点向前移动3后约为3， 13=1,23=8 .3375 的十位数字应为， .3375=15 -3375=-15 依据“负数的立方根是负数”得到： ;2分 :5-4x=-x+10 (2)解： ∴.5-4x=-（x+10) 解得：x=5: 4分 x-2+2=x (3)解： x-2=x-2 .(x-2)=x-2 x-2=0或1或-1， .X=2或3或1,6分 当=1时，可得： 1-2x=-1=-1 :3y-可与-2x互为相反数， .3y-1=1 8/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：y=3 x=1 2 即y有8分 当=2时，可得： 1-2x=3=-5 :3y-与-2x互为相反数， 3y-1=祁 即3y-1=3, 4 解得：y= 3 x=2 4 pyg10分 当=3时，可得： 1-2x=5=-5 :3y可与-2x互为相反数， 3y-1=5 即3y-1=5. 解得：y=2 …12分 9/9 第二章 实数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列实数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于选项A：，是整数，不是无理数，故A错误； 对于选项B：是无限不循环小数，属于无理数，故B正确； 对于选项C：是分数，不属于无理数，故C错误； 对于选项D：是整数，不属于无理数，故D错误． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，该选项计算正确，符合题意； B、和不能直接合并，该选项计算错误，不符合题意； C、和不能直接合并，该选项计算错误，不符合题意； D、，该选项计算错误，不符合题意． 3．规定新运算：，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由新运算规则得，． 4．如图，在数轴上点A所对应的实数是2，过点A作且，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C对应的实数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点所对应的实数是2， ， ， ， 在 中，，， 由勾股定理可得， 以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点， 点对应的实数为． 5．将1、、、按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：表示第排第个数， 由图中规律可知前排有个数， 到第排第个数共有个数， ， 表示的数是， 表示第排第个数， 前排有个数， 到第排第个数共有个数， ， 表示的数是， 与表示的两数之积是. 6．若，则值为（     ） A． B． C． D．无理数 【答案】B 【详解】解：设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴． 7．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，，根据规律，计算以下式子的值：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵观察已知算式可得规律：（为正整数）， ∴，，…，， ∴原式， ， 从3到2028共2026个数，可分为组，每组结果为， ∴原式． 8．若，，则（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【详解】解： ∵， ∴， 将，代入得： 原式． 9．设的整数部分为，小数部分为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴，则， ∴，即， ∴的整数部分，小数部分为， ∴ ． 10．已知代数式，，且，，其中a，b，c，d，m，n，x均为正整数，且x是开方开不尽的数，下列说法： ①若，则； ②若，，则存在两组m，n满足条件； ③当时，存在满足条件的a，b，c，d使． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】①，，若， ，整理得， 均为正整数，开方开不尽，是无理数， ，即 ，， ，可得， 故不存在正整数同时满足和，故①错误． ②若，，代入得，整理得， 左边是正整数乘无理数，结果为无理数，右边是正整数的和，结果为有理数， 无理数不等于有理数， 不存在满足条件的，故②错误． ③当时，，展开得， ， ， 是正整数， ，得，同理， ，不存在正整数满足等式，故③错误． 综上，三个说法均错误，正确个数为． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．计算：_____． 【答案】 【详解】解： ． 12．如图，依据其呈现的运算关系，则的值为______________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 13．若最简二次根式与是同类二次根式，则_______． 【答案】 【详解】解：∵ 最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ，解得 ， ∴ ． 14．【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．对于实数，，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ∴， ，， ， 和为两个连续正整数， ，， ． 16．已知，为实数，且，则的平方根是_____． 【答案】 【详解】解：设，，则，，，， ∴，， 代入原方程可得， 整理，得， 变形，得， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，，符合题意， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ；             3分 （2）解：原式 ． 6分 18．已知边长分别为，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【详解】（1）解：根据题意，得， ， 故． 3分 (2)能围成这两个正方形，理由如下： ∵ 两个正方形的周长之和为，又∵ ，，， ∴ ， ∴ 用长为的铁丝能围成这两个正方形． 6分 19．实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长 （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； 3分 （2）解： （平方米） 答：刷涂料的面积为平方米． 6分 20．观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：_______； (2)用含的式子表示出第个等式：_______； (3)计算：． 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式为：； 2分 （2）解：由上规律可得，第个等式为：； 4分 （3）解：原式 6分 21．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”． 例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是______； (2)若数对的“衍生数对”是，求的值； (3)若数对的“衍生数对”是，当时，比较和的大小关系，并说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴数对的“衍生数对”是． 2分 （2）解：∵数对的“衍生数对”是， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 4分 (3)解：，理由如下： 由题意得：，， ∵数对的“衍生数对”是， ∴，， ∴ ， 6分 ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8分 22．根据已知条件化简并求值： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 2分 ∴， ∴； 4分 （2）解：设，，则，，， 6分 ∵， ∴， ∴． 8分 23．【定义】用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和． 【运用】 (1)直接写出数对的开方对称数对______； (2)若数对的一个开方对称数对是，求a，b的值； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【详解】（1）解：由题意得， ∴数对的开方对称数对为； 2分 （2）解：数对的一个开方对称数对是， ①， 此时无意义，故舍去； 3分 ②， 解得； 综上，； 5分 （3）解：数对的一个开方对称数对是， ①， 解得， ∴； 7分 ②， 解得； ∴； 综上，的值为24或． 8分 24．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：，． (1)计算：________； (2)若，写出一个满足题意的x的整数值________； (3)如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (4)思考并计算，直接写出答案________． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 2分 （2）解：∵，，且x为整数， ∴或或（答案不唯一，符合题意即可）． 4分 （3）解：∵点A表示1，点B表示，点A是的中点， ∴点C表示的数为， ∴， 5分 ∵， ∴， ∴， 即的值为． 7分 （4）解：，， ，…， 9分 ∵，， ∴ ． 12分 25．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； 2分 （2）解：， ， 解得：； 4分 （3）解：， ， ， 或或， 或或， 6分 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 8分 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 10分 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 12分 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列实数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．规定新运算：，则等于（     ） A． B． C． D． 4．如图，在数轴上点A所对应的实数是2，过点A作且，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C对应的实数为（     ） A． B． C． D． 5．将1、、、按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之积是（     ） A． B． C． D． 6．若，则值为（     ） A． B． C． D．无理数 7．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，，根据规律，计算以下式子的值：（    ） A． B． C． D． 8．若，，则（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 9．设的整数部分为，小数部分为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 10．已知代数式，，且，，其中a，b，c，d，m，n，x均为正整数，且x是开方开不尽的数，下列说法： ①若，则； ②若，，则存在两组m，n满足条件； ③当时，存在满足条件的a，b，c，d使． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．计算：_____． 12．如图，依据其呈现的运算关系，则的值为______________． 13．若最简二次根式与是同类二次根式，则_______． 14．【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为________． 15．对于实数，，定义的含义为：当时，，例如：．已知，，且和为两个连续正整数，则的值为_______． 16．已知，为实数，且，则的平方根是_____． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．已知边长分别为，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 19．实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？(2)刷涂料的面积是多少平方米？ 20．观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：， (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：_______； (2)用含的式子表示出第个等式：_______； (3)计算：． 21．我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”． 例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是______；(2)若数对的“衍生数对”是，求的值； (3)若数对的“衍生数对”是，当时，比较和的大小关系，并说明理由． 22．根据已知条件化简并求值： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 23．【定义】用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和． 【运用】 (1)直接写出数对的开方对称数对______； (2)若数对的一个开方对称数对是，求a，b的值； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 24．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：，． (1)计算：________； (2)若，写出一个满足题意的x的整数值________； (3)如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (4)思考并计算，直接写出答案________． 25．小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $