21.1二次函数（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数定义，通过围网面积、销售额增长、排球高度等实际问题引入函数关系，对比共同点抽象出y=ax²+bx+c（a≠0）的定义，搭建从具体情境到抽象概念的学习支架，衔接一次函数等前期知识。 其亮点在于以实际问题培养数学眼光，通过定义辨析、参数计算发展数学思维，结合应用建模强化数学语言。如用围网问题引入，练习题覆盖定义、系数等考点，解析详细易错点突出。帮助学生夯实基础，教师可用于课堂巩固与查漏补缺。

沪科版九年级上册21.1二次函数专项练习 本次专项练习紧扣沪科版九年级上册21.1二次函数核心考点，涵盖二次函数的定义辨析、系数识别、解析式求解、参数取值及简单实际应用，题型贴合课本重难点与中考基础题型，适配课堂巩固、课后刷题与知识点查漏补缺，所有题目均附详细解析，帮助夯实基础、理清解题思路。 一、核心知识点回顾 一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数。其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。核心判定要点：自变量最高次数为2、二次项系数不为0、解析式为整式函数。 二、专项练习题（含解析） （一）选择题（每题5分，共20分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（） A. y=3x-1 B. y=3x²+5 C. y=1/x² D. y=2(x+1)-3 解析：选B。A、D为一次函数，自变量最高次数为1；C为分式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义；B符合y=ax²+bx+c（a≠0）的形式。 2. 已知函数y=(m-2)x²+mx+1是二次函数，则m的取值范围是（） A. m≠2 B. m=2 C. m≠0 D. 任意实数 解析：选A。二次函数要求二次项系数不为0，即m-2≠0，解得m≠2。 （二）填空题（每题6分，共24分） 3. 二次函数y=2x²-5x+1的二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______。 解析：依次填2、-5、1。紧扣二次函数各项定义，注意一次项系数包含符号，常数项为不含自变量的常数。 4. 若函数y=(m²-1)x²+(m-1)x+3是二次函数，则m的取值范围是______。 解析：m≠±1。由二次项系数m²-1≠0，可得m²≠1，即m≠1且m≠-1。 （三）解答题（共56分） 5.（16分）已知函数y=(m-1)x+3x-2。（1）当m为何值时，函数为二次函数？（2）当m为何值时，函数为一次函数？ 解析：（1）二次函数需满足自变量最高次数为2，且二次项系数不为0，即|m|+1=2且m-1≠0，解得|m|=1，m≠1，故m=-1；（2）一次函数需自变量最高次数为1，分两种情况：|m|+1=1，解得m=0，此时函数为y=-x+3x-2=2x-2，是一次函数；或二次项系数为0，即m-1=0，m=1，此时函数为y=3x-2，是一次函数。综上，m=0或m=1。 6.（20分）根据题意列二次函数解析式：（1）一个正方形的边长为5cm，若边长增加x cm，面积增加y cm²，求y与x的函数解析式；（2）某商品原价200元，连续两次降价，每次降价百分率为x，求两次降价后的价格y（元）与x的函数解析式。 解析：（1）原面积为25cm²，边长增加后面积为(5+x)² cm²，y=(5+x)²-25=x²+10x（x≥0）；（2）第一次降价后价格为200(1-x)，第二次降价后y=200(1-x)²=200x²-400x+200（0<x<1）。 7.（20分）已知二次函数y=ax²+bx+c，当x=0时，y=3；x=1时，y=0；x=2时，y=-1，求该二次函数解析式。 解析：代入数值列方程组：x=0时，c=3；x=1时，a+b+3=0；x=2时，4a+2b+3=-1。化简得a+b=-3，2a+b=-2，两式相减得a=1，代入得b=-4。故解析式为y=x²-4x+3。 三、易错点总结 1. 判定二次函数时，容易忽略二次项系数不为0的条件，仅关注自变量次数为2；2. 识别各项系数时，遗漏一次项、二次项的负号；3. 实际问题中，需结合场景确定自变量取值范围，不可忽略隐含条件；4. 参数类题型需分类讨论，避免漏解、错解。 本次练习覆盖21.1全部基础考点，通过定义辨析、参数计算、解析式求解和实际建模四类题型，全面巩固二次函数入门知识，为后续学习二次函数图像、性质及综合应用筑牢基础。日常练习中需重点牢记二次函数的核心定义，规避基础易错点，熟练掌握待定系数法求解析式的基本步骤。 沪科版（新教材）数学九年级上册 21.1二次函数 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/10 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第21章 二次函数与反比例函数 问题1 某水产养殖户用长 40 m 的围网，在养鱼塘中围一块矩形的水面投放鱼苗. 要使围成的水面面积最大，它的边长应是多少米？ 二次函数的定义 1 解 设围成的矩形水面的一边长为 x m，面积为 S m²，则有 S = x(20 - x) S = - x2 + 20x 对于 x 的每一个值，S 都有唯一确定的对应值，即 S 是 x 的函数. 追问：S 与 x 是函数关系吗？ 问题2 某公司今年 1 月销售额为 100 万元. 公司制订销售目标，计划每月销售额增长率为 x. 按此计划，3 月的销售额是多少万元？ 解 按题意，2 月的销售额为 100(1 + x) 万元. 设 3 月的销售额为 y 万元，则有 y = 100(1 + x)2 y = 100x2 + 200x + 100 对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数. 追问：y 与 x 是函数关系吗？ 问题3 在一次排球比赛中，排球从靠近地面处被垫起后，排球离地面的高度 h m 与被垫起后的时间t s 满足 h = 10t - ×10t2 + 0.2. 排球离地面的最大高度是多少？ h = -5t2 + 10t + 0.2. 追问：h 与 t 是函数关系吗？ 对于 t 的每一个值，h 都有唯一的一个对应值，即 h 是 t 的函数. 问题 1~3 中的函数关系式有什么共同点? 函数都是用 自变量的二次整式表示的 S = - x2 + 20x y = 100x2 + 200x + 100 h = -5t2 + 10t + 0.2. 想一想 二次函数的定义： 一般地，表达式形如 y = ax² + bx + c (a，b，c 是常数，且 a ≠ 0) 的函数叫做 x 的二次函数. 其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 温馨提示： （1）等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； （2）a，b，c 为常数，且 a ≠ 0； （3）等式右边的自变量最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 知识要点 名师点金 1.判断一个函数是二次函数时应注意的三点：（1）函数表达 式是一个关于自变量的整式；（2）自变量的最高次数是2； （3）二次项系数不为0,尤其是含有字母系数的函数. 2.求实际问题中的二次函数表达式的步骤：（1）审清题意, 找到实际问题中的已知量和未知量,分清它们之间的关系,找 出等量关系；（2）根据等量关系,列出二次函数表达式；（3） 根据实际意义及所列函数的表达式，确定自变量的取值范围.#1.2 举一反三 7 知识点1 二次函数的定义 1. 下列关于 的函数一定为二次函数的 是____（填序号）. ①；② ； ③；④ ； ⑤;⑥ . ⑤ 返回 举一反三 8 2. 下列函数关系中，是二次函数的是( ) D A. 生产100吨钢材，工作效率和工作时间 之间的关系 B. 当速度为时，汽车行驶的距离与时间 之间的 关系 C. 长方形的周长一定时，长方形的长与宽 之间的关系 D. 高为的圆柱形储油罐的体积为 ,底面圆的半径为 返回 举一反三 9 例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？(x 是自变量) ① y = ax2 + bx + c； ② y = 3 - 2x²； ③ y = x2； ④ ； ⑤ y = x² + x³ + 25； ⑥ y = (x+3)² - x². 不一定是，缺少 a≠0 的条件. 不是，右边是分式. 不是，x 的最高次数是 3. y = 6x + 9 典例精析 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断. 另外，二次函数除了有一般形式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 外，还有其特殊形式，如 y = ax2，y = ax2 + bx，y = ax2 + c 等. 方法归纳 解： （1）由题意知 解得 （2）由题意知 解得 m = 3. 第 (2) 问易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件，从而得出 m = ±3 的错误答案，需要引起重视. 注意 例2 (1) 当 m 取何值时，此函数是 正比例函数？(2) 当 m 取何值时，此函数是二次函数？ 典例精析 知识点2二次函数的一般形式及函数值 3. 关于函数 ,下列说法不正确的是 ( ) C A. 是的二次函数 B. 二次项系数是 C. 一次项是100 D. 常数项是20 000 返回 举一反三 13 4. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为,经过 时 球距离地面的高度适用公式 ,那么球弹起 后又回到地面所花的时间是( ) D A. B. C. D. 【解析】令，得，解得 （舍去）或 ， 球弹起后又回到地面所花的时间是 .故选D. 返回 举一反三 14 思考：在问题1 中，所得出 S 关于 x 的函数关系式 S = - x2 + 20x，其自变量 x 的取值有什么限制吗？ x＞20 【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围还应符合实际情况，使实际问题有意义. 例3 如图，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙 (墙的长度不限) 的矩形菜园 ABCD，设 AB 边长为 x 米，求菜园的面积 y (单位：平方米) 与 x (单位：米) 的函数关系式. 解：∵ AB 边长为 x 米， ∴ y＝ (30－x)x＝ ∴ AD 边长为 (30－x) 米. (0＜x＜30). 在根据实际问题列二次函数关系式时，要注意自变量的取值范围. 注意 二次函数的值 例4 已知二次函数 (k 为常数). （1）求 k 的值； （2）当 x = 0.5 时，y 的值是多少？ 解： （1）由题意，得 解得 k = 2. 将 x = 0.5 代入函数关系式，得 （2）当 k = 2 时， 2 此类型题目考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为 0 及自变量最高次数为 2 这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再将 x 的值代入其中，求出对应的 y 的值. 归纳总结 【练一练】某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 (最低档次) 产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元. 每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. (1) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元 (其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式； 解：依题意知生产第 x 档次的产品，提高了(x－1)档，利润增加了 2(x－1) 元. 则有 y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]. 即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整数，且1≤x≤10). (2) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1120 元，求该产品的质量档次. 解：由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120， 整理得 x2－18x＋72＝0， 解得 x1＝12 (舍去)，x2＝6． 所以，该产品的质量档次为第 6 档． 【方法总结】解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型． 5. 如图，它是一个运算程序示意图，若第 一次输入1，则输出的结果是____. 11 返回 举一反三 21 6. 已知二次函数 . （1）将二次函数化为一般形式,并指出相应的,, 的值； 【解】,其中, , . （2）当时,求 的值； 当时， . （3）当时,求 的值. 当时，,解得或 . 返回 举一反三 22 知识点3 建立二次函数模型 7. [2026合肥包河区模拟] 据安徽省统计局公布的数据，初步 核算2024年安徽省生产总值为5.06万亿元，若设2026年安徽 省生产总值为万亿元，平均年增长的百分率为，则关于 的函数表达式是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 23 8. 2026年4月24日，第十一个“中国航天 日”主场活动在成都启动，主题为“七秩问天路 携手探九霄”. 某航天文创店采购了一批空间站主题钥匙扣，进货价为7.5元 /件，在一段时间里，销售单价是13.5元，销售量是500件， 而销售单价每降低1元就可多售出200件，当销售单价为 元 时，获取利润为元，则与 之间的函数关 系式为__________________________. 返回 举一反三 24 易错点 忽略二次项系数不为0而出错 9. 若函数是二次函数,则 的取值情况是 ________. 【解析】求二次函数中待定字母的值时，要根据二次函数的 定义，在保证函数中含自变量的式子是整式的前提下，还必 须满足自变量的最高次数是2和二次项系数不为0. . . . . 返回 举一反三 25 10. [2026淮南期末] 如图， 中， ，，.点从点 开始沿边向以的速度移动，点 从 点开始沿边向点以 的速度移动.如 果点，分别从点，同时出发，经过的时间为 ， 的面积为 . 举一反三 26 （1）与 满足的函数关系式为____________， 的取值范围为__________； 【解析】由题意得 , , . 举一反三 27 （2）当时， ______. 2或4 当时，,解得, 当 时， 或4. 返回 举一反三 28 二次函数 定 义 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0, a, b, c 是常数) 一般形式 右边是整式； 自变量的最高指数是 2； 二次项系数 a ≠ 0. 特殊形式 y = ax2； y = ax2 + bx； y = ax2 + c. (a ≠ 0，a，b，c 是常数) 课堂小结 谢谢观看 THANKS $