26.3 二次函数与一元二次方程（9大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程的联系这一核心知识点，从二者关系（令y=0得方程，根为抛物线与x轴交点横坐标）出发，通过判别式确定交点个数，延伸到交点坐标、韦达定理、函数值符号判断，构建求交点坐标、方程根、截线长、解不等式等题型的完整学习支架。 该资料以数形结合为特色，9类题型系统覆盖应用，易错点总结（如Δ=0混淆为无交点）和技巧口诀（如“令y为零得方程，Δ定交点数”）培养数学思维与几何直观。课中助力教师分层教学，课后易错点与变式练习帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题26.3二次函数与一元二次方程 【新人教版】 【题型1 求抛物线与坐标轴交点坐标】...............................................................................................................2 【题型2 已知二次函数的函数值求自变量的值】...............................................................................................5 【题型3 抛物线与x轴的交点问题】...................................................................................................................7 【题型4 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】.....................................................................................10 【题型5 求x轴与抛物线的截线长】.................................................................................................................14 【题型6 图象法确定一元二次方程的近似根】.................................................................................................16 【题型7 图象法解一元二次不等式】.................................................................................................................18 【题型8 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】.....................................................................................21 【题型9 根据交点确定不等式的解集】.............................................................................................................25 1.二者联系 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)，令y=0，得到一元二次方程ax2+bx+c=0。 方程的实数根，就是抛物线与x轴交点的横坐标。 2.判别式的三重作用 · >0：方程有两个不等实数根，抛物线与x轴2个交点； · =0：方程有两个相等实数根，抛物线与x轴1个交点（顶点在x轴）； · <0：方程无实数根，抛物线与x轴无交点。 3. 交点坐标 抛物线与x轴交点：(x1,0)、(x2,0)，x1、x2是方程两根； 若交点为(x1,0)(x2,0)，可写交点式：y=a(x-x1)(x-x2)。 4. 韦达定理延伸 若抛物线交x轴于两点:,。 5. 函数值符号判断 · a>0，抛物线开口向上：x<x1或 x>x2时，y>0；x1<x<x2时，y<0； · a<0，抛物线开口向下：x1<x<x2时，y>0；x<x1或 x>x2时，y<0。 易错1：混淆交点与方程根 只会解方程，不懂交点横坐标就是方程的根，数形结合不会用。 易错2：=0说成无交点 =0是只有一个交点，不是没有交点。 易错3：判断y正负不分开口方向 只看区间，忽略a的正负，导致不等号写反。 易错4：忽略前提a≠0 参数题不限制二次项系数，直接用判别式求解。 易错5：不会利用图像解不等式 求ax2+bx+c>0解集，忘记结合抛物线开口和交点。 技巧1：速记口诀 令y为零得方程，定交点数； 两交不等一根等，无交负数无实根； 交点式看两根号，左减右记牢。 技巧2：已知交点求解析式 给两个x轴交点，优先设交点式y=a(x-x1)(x-x2)，代入第三点求a，计算更简单。 技巧3：一元二次不等式解法步骤 · 求方程ax2+bx+c=0的两根； · 判断开口方向； · 图像上方y>0，图像下方y<0，写出x取值范围。 技巧4：图像判断三步法 · 看a定开口； · 算看与x轴交点个数； · 结合两根划分区间，判断函数正负。 题型一 求抛物线与坐标轴交点坐标 【例1】（25-26九年级上·河南周口·期末）已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点（在左侧），与轴交于点． (1)求三点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了求二次函数图象与坐标轴的交点坐标，二次函数的几何应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （）把和代入函数解析式解答即可求解； （）根据三角形的面积公式计算即可求解； 【详解】（1）解：令，则， 解得， ∵在左侧， ∴，， 令，则， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．与y轴交于点 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，由解析式直接判断开口方向，对称轴，顶点坐标，再求出与y轴交点坐标，逐一判断选项即可. 【详解】解：∵二次函数解析式为，其中二次项系数 ∴抛物线开口向上，A错误； 令，得，因此抛物线与y轴交于点，B错误； 对于形如的二次函数，对称轴为直线，因此C正确； 的顶点坐标为，因此D错误. 【变式1-2】（25-26九年级上·云南保山·期末）m是抛物线与x轴交点的横坐标，代数式的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的根，把抛物线与x轴交点的横坐标，转化为方程的根是解题的关键．m是抛物线与x轴交点的横坐标，即m是方程的根，由方程可直接得出的值． 【详解】解：∵m是抛物线与x轴交点的横坐标， ∴m是方程的根，即， ∴． 故答案为：2． 【变式1-3】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A、B两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)直接写出抛物线的对称轴． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴为直线 【分析】本题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点坐标，求抛物线的对称轴， （1）令求出解，即可得出点A，B的坐标，再令可得答案； （2）将抛物线的关系式配方得出顶点式，即可得出答案． 【详解】（1）解： 令，则， 解得． ∵点A在点B左侧， ∴； 令，则， ∴； （2）解：抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线的关系式为， ∴抛物线的对称轴为直线． 题型二 已知二次函数的函数值求自变量的值 【例2】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 【答案】0或 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，根据函数值为1得，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 解得或， 即当函数值为1时，自变量的取值为0或． 故答案为：0或． 【变式2-1】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数，求： (1)当时，函数的值； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）将代入计算即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时， ， ， ， ． 【变式2-2】（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）已知关于的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点． (1)求二次函数的表达式； (2)当该二次函数的函数值为时，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或． 【分析】本题考查的是二次函数的表达式求解及函数值对应的自变量计算，解题关键是利用顶点式设出二次函数表达式，代入已知点求出参数，再代入函数值求解自变量． （1）设二次函数的顶点式，代入点求出，得到表达式． （2）将代入已求的二次函数表达式，解方程得的值． 【详解】（1）二次函数的图象的顶点坐标为， 设二次函数表达式为， 图象过点， ， 解得， 二次函数表达式为． （2）令，代入表达式得， 整理得 解得或 的值为或． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)点在该函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟悉掌握待定系数法是解题的关键． （1）依据题意，将点坐标代入即可得到的值； （2）依据题意，将点坐标代入即可得到的值． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， ； （2）解：由（1）得，二次函数解析式为， 点在这个图象上， ，即， 则， 解得或． 题型三 抛物线与x轴的交点问题 【例3】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查抛物线的性质，抛物线顶点在轴上说明其与轴仅有一个交点，即判别式，通过代入系数计算判别式方程即可求解的值． 【详解】解：抛物线的顶点在轴上， 抛物线与轴仅有一个交点， ，，， ， 整理得：， 两边同除以得：， 因式分解得：， 或． 故选：C． 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知关于的二次函数的图像与轴两交点间的距离为，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握利用抛物线对称性求与x轴交点坐标的方法是解题的关键． 先令函数值为得到关于的一元二次方程，结合抛物线的对称性求出与轴的交点坐标，再代入函数解析式即可求出的值. 【详解】解：令，则，整理得. 二次函数的对称轴为直线，又因其图像与x轴两交点间的距离为2，根据抛物线的对称性，可知两个交点的横坐标分别为和，即两交点坐标为和. 将代入中，得，即， 解得. 故答案为：． 【变式3-2】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）若是抛物线与轴交点的横坐标，则代数式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，利用方程根的定义对高次代数式降次是解题关键，通过将m满足的等式变形后代入待求代数式，逐步降次计算即可得到结果． 【详解】解：∵m是抛物线与x轴交点的横坐标， ∴m是方程的根， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式3-3】（25-26九年级上·江西宜春·期末）已知抛物线，若这两条抛物线与轴共有3个交点，则的值为___________． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的关系，先求抛物线与轴的交点，再分情况讨论与轴的交点情况，使得总交点为个. 【详解】解：， 抛物线与轴交于点和， 情况1：与轴只有一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 可得方程为， 解得：， 交点坐标为，不与交点重合，成立； 情况2：经过点， 代入得， 即， ， 解方程， 可得或， 与轴交点坐标为和， 两条抛物线与轴共有个交点，成立； 情况3：经过点， 代入得， 即， ， 解方程， 可得：或， 与轴的交点坐标为和， 两条抛物线与轴共有个交点． 故答案为：或或． 题型四 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例4】（25-26九年级上·浙江金华·期末）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【答案】A 【分析】本题考查根据图象判断一元二次方程的根的情况，根据二次函数与一元二次方程的关系求解即可． 【详解】解：由图可得与x轴有两个不同的交点， 则该图象向下平移5个单位长度后，所得新图象的解析式为，与x轴也有两个不同的交点， 有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式4-1】（25-26九年级上·海南三亚·期末）如图是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③的两根分别为和；④．其中正确的命题是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 【答案】C 【分析】由抛物线过点，代入得，故①正确；由抛物线对称轴为得，故②错误；由抛物线对称轴及与轴的一个交点，利用对称性得出另一个交点为，故③正确；由抛物线开口方向及与轴交于负半轴判断、，把代入可得，故④错误． 【详解】解：①、由图可知，抛物线过点，把代入解析式得 ， 故①正确； ②、由图可知，抛物线对称轴为， ∴， ∴， 故②错误； ③、由图可知，抛物线对称轴为，与轴的一个交点为， ∴与轴另一个交点为点， ∴的两根分别为和， 故③正确； ④、由图可知，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ∴，， ∴， 由②知， ∴， 故④错误； 综上，正确的命题有：①③． 【变式4-2】（25-26九年级上·广东广州·期末）若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，二次函数图像的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像有下列结论：①且：②：③关于的一元二次方程的两根分别为和；④若点、、均在二次函数图像上，则，其中正确的结论有_____．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键． 根据图象判断①，特殊点判断②，对称性结合图象法求一元二次方程的根，判断③，增减性判断④． 【详解】解：观察图象，可知开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 函数与轴交点在轴正半轴， ∴， 故且，结论①正确； 将点代入， 得，故结论②正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴当时，为或， 故方程的两根分别为和，结论③正确； ∵抛物线对称轴为直线， 点、、到对称轴的水平距离依次为、、， 故到对称轴距离由近到远依次为、、， ∴，故结论④错误； 综上，正确的结论为①②③， 故答案为：①②③． 题型五 求x轴与抛物线的截线长 【例5】（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 【变式5-1】（25-26九年级上·全国·阶段检测）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 【变式5-2】（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题． 直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图可知抛物线与x轴交点间的距离为． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 【答案】③ 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，通过求解每个抛物线与x轴的交点坐标，计算两点之间的距离，比较得出最短距离即可得出结论． 【详解】解：对于抛物线①： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线②： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 对于抛物线③： 令，得， 解得，， 故交点坐标为和，距离为； 因为， 所以两交点之间的距离最短的是抛物线③． 故答案为：③． 题型六 图象法确定一元二次方程的近似根 【例6】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根可能是（    ） x … 1 2 3 4 … y … 3 9 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．根据表格中的数据可得出当时，；当时，，由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 方程的一个近似根可能是， 故选：B． 【变式6-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】解：由表格可得： 当时，； 当时，，当时，， 二次函数图像的对称轴为直线， 当时，， 设一元二次方程的根为，，且， ∴，， 即一元二次方程的根中较大的根的范围是， 故选：D． 【变式6-2】（25-26九年级上·贵州黔南·期末）二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解的含义是解题关键． 应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：A． 【变式6-3】（2026九年级上·河北保定·专题练习）根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的相关概念、二次函数与一元二次方程的联系，明确方程的“目标函数值是”是解题关键． 根据表格数据，函数在和时分别对应函数值和，介于两者之间，且函数连续，据此可判断方程一个解的取值范围． 【详解】解：令， ∵当时，；当时，，且， ∴在和之间，存在使得， 即方程的一个解满足． 故选：． 题型七 图象法解一元二次不等式 【例7】（25-26九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 【变式7-1】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【答案】 ， 或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象法解不等式，利用函数图象在平面直角坐标系中的位置即可求得自变量的取值范围．根据二次函数图象与x轴的交点和分别在轴上方和下方部分的的取值分别填空即可． 【详解】解：由图象可知： 方程的解是，； 不等式的解集是或； 不等式的解集是． 故答案为：，；或；． 【变式7-2】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过求二次函数与x轴的交点坐标，结合抛物线开口方向，确定函数值小于零时自变量的取值范围 【详解】解：由可知，函数图象与x轴交点为和， ∵二次项系数为正，抛物线开口向上， ∴当时，自变量x的取值范围为． 故答案为：． 【变式7-3】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，抛物线交x轴正半轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C，连接，．若的面积为3． (1)求抛物线的解析式． (2)不等式的解集为______． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次不等式的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法． （1）分别令求出点A、B、C的坐标分别为，再根据的面积求出，继而求出函数解析式； （2）的解集化为和的解集的公共部分，借助图象法求解即可． 【详解】（1）解：由题意，令， 或3． 令，则， 点A、B、C的坐标分别为． 又， 解得：． 抛物线的表达式为：． （2）解：不等式即为：， ∴当，则， ∴， ∴， 当时，可知抛物线与轴交点横坐标分别为， 而抛物线开口向上， ∴的解集为， ∴的解集为：且， 故答案为：且． 题型八 利用不等式求自变量或函数值的取值范围 【例8】（2026九年级上·山东青岛·专题练习）将二次函数化成一般式为_____，图像与轴交点坐标为_____，当时，函数的取值范围是_____，若，则自变量取值范围是_____． 【答案】 和 【分析】本题考查二次函数的表达形式变换、图像与坐标轴交点的求解、函数在指定区间内的取值范围，以及根据函数值范围反求自变量的取值范围． 将顶点式展开得一般式；令解方程求交点；根据抛物线开口向下及区间端点求出函数的取值范围；根据，函数取得最大值．确定时自变量取值范围． 【详解】解：二次函数； 当y=0时，解方程，得，，故交点坐标为和； 函数为开口向下的抛物线，顶点，在区间内， 当时，函数取得最大值． 当时：， 当时：， ∵当时，随增大而增大，此时， 当时，随增大而减小，此时， 综上所述：当时，函数的取值范围是， ∵，函数取得最大值． ∴，则自变量取值范围是． 故答案为： ；和；；． 【变式8-1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数与自变量的部分对应值如下表： … 0 3 … … 0 3 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围是________． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）先得到该二次函数图象的开口方向和对称轴，再求得时的x值，然后根据函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵由表格可知该二次函数的图像与轴的交点分别是，． ∴设该二次函数的表达式为． ∵当时，， ∴该二次函数的表达式为． 解得． ∴该二次函数的表达式为，即． （2）解：由得，该二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 解方程得，， ∴当时，或． 【变式8-2】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）二次函数图象的顶点坐标为，与轴的交点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围是 ； (3)若点，在该函数图象上，且，则的取值范围为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，运用数形结合思想将比大小转化为比距离是解题关键． （1）顶点坐标已知可设顶点式，将点代入顶点式求出参数即可； （2）根据二次函数的表达式可判断出图象开口向上，则离对称轴越近，函数值越小，由此计算出最大值和最小值； （3）图象开口向上，则离对称轴越近，函数值越小，用绝对值表示两点到对称轴的距离，构造不等式并求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，二次函数图象的顶点坐标为， ∴设二次函数的表达式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴函数的图象开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小， ∴当时，取得最小值； ∵， ∴当时，取得最大值； ∴的取值范围是； （3）解：∵函数的图象开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小， 又∵， ∴，即， 两边平方，得， 解得． 【变式8-3】（25-26九年级上·北京房山·期中）已知二次函数图象如图所示． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当________时，大于； (3)当时，函数的最大值为________，最小值为________． 【答案】(1) (2)或 (3)； 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是求出二次函数解析式． （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据二次函数图象，直接可以得出结论； （3）根据函数的性质和图象即可得出结论． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 根据题意得： ， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）二次函数图象经过点，对称轴为直线， 二次函数图象还经过点， 由图象得：当或时，， （3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴时，函数取得最大值为 当时，最小值为 ∴当时，函数y的最大值为，最小值为． 故答案为：；． 题型九 根据交点确定不等式的解集 【例9】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，开口向上的抛物线与轴交于点和，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，由抛物线与轴交点知方程根为和，且抛物线开口向上，故不等式解集为两根之间，掌握二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【详解】解：∵开口向上的抛物线与轴交于点和， ∴方程的根为，， ∴当时，，即， ∴不等式解集为， 故答案为：． 【变式9-1】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想是解题的关键．根据抛物线与直线的交点坐标，结合图象即可解答． 【详解】解：二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，即点，点的横坐标分别为，8， 根据图象可得，使成立的的取值范围是或． 故答案为：或． 【变式9-2】（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，根据上方的图象对应的函数值较大，找出x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由图象得当时，， 故选：D． 【变式9-3】（25-26九年级上·河南信阳·期末）二次函数的图象经过点，，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过A，C两点． (1)求该二次函数的解析式及点C的坐标； (2)根据图象，写出满足不等式的解集：________； (3)当时，该二次函数对应的函数值y的取值范围为________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、二次函数的对称性、一次函数与二次函数的不等式解集、二次函数在区间上的最值问题，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，结合对称轴求对称点坐标，通过函数图象分析不等式解集，以及根据二次函数的单调性求区间内的函数值范围． （1）用待定系数法，将点、代入二次函数解析式，求出、，得到二次函数解析式；再根据对称轴公式求出对称轴，利用点关于对称轴的对称性求出点的坐标； （2）观察函数图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的的取值范围，即为不等式的解集； （3）先求出二次函数的顶点坐标，判断在区间\[[1，4]\]上的单调性，再计算区间端点及顶点处的函数值，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵二次函数的对称轴为， 点与点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即 （2）解：由图象可知，当时，二次函数的图象在一次函数的图象下方， 故不等式的解集为． 故答案为：． （3）解：∵二次函数， ∴顶点坐标为， 当时，取得最小值； 当时，； 当时，； ∴当时，函数值的取值范围是． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.3二次函数与一元二次方程 【新人教版】 【题型1 求抛物线与坐标轴交点坐标】...............................................................................................................2 【题型2 已知二次函数的函数值求自变量的值】...............................................................................................3 【题型3 抛物线与x轴的交点问题】...................................................................................................................4 【题型4 根据二次函数图象确定相应方程根的情况】.......................................................................................4 【题型5 求x轴与抛物线的截线长】...................................................................................................................5 【题型6 图象法确定一元二次方程的近似根】...................................................................................................6 【题型7 图象法解一元二次不等式】...................................................................................................................7 【题型8 利用不等式求自变量或函数值的取值范围】.......................................................................................8 【题型9 根据交点确定不等式的解集】...............................................................................................................9 1.二者联系 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)，令y=0，得到一元二次方程ax2+bx+c=0。 方程的实数根，就是抛物线与x轴交点的横坐标。 2.判别式的三重作用 · >0：方程有两个不等实数根，抛物线与x轴2个交点； · =0：方程有两个相等实数根，抛物线与x轴1个交点（顶点在x轴）； · <0：方程无实数根，抛物线与x轴无交点。 3. 交点坐标 抛物线与x轴交点：(x1,0)、(x2,0)，x1、x2是方程两根； 若交点为(x1,0)(x2,0)，可写交点式：y=a(x-x1)(x-x2)。 4. 韦达定理延伸 若抛物线交x轴于两点:,。 5. 函数值符号判断 · a>0，抛物线开口向上：x<x1或 x>x2时，y>0；x1<x<x2时，y<0； · a<0，抛物线开口向下：x1<x<x2时，y>0；x<x1或 x>x2时，y<0。 易错1：混淆交点与方程根 只会解方程，不懂交点横坐标就是方程的根，数形结合不会用。 易错2：=0说成无交点 =0是只有一个交点，不是没有交点。 易错3：判断y正负不分开口方向 只看区间，忽略a的正负，导致不等号写反。 易错4：忽略前提a≠0 参数题不限制二次项系数，直接用判别式求解。 易错5：不会利用图像解不等式 求ax2+bx+c>0解集，忘记结合抛物线开口和交点。 技巧1：速记口诀 令y为零得方程，定交点数； 两交不等一根等，无交负数无实根； 交点式看两根号，左减右记牢。 技巧2：已知交点求解析式 给两个x轴交点，优先设交点式y=a(x-x1)(x-x2)，代入第三点求a，计算更简单。 技巧3：一元二次不等式解法步骤 · 求方程ax2+bx+c=0的两根； · 判断开口方向； · 图像上方y>0，图像下方y<0，写出x取值范围。 技巧4：图像判断三步法 · 看a定开口； · 算看与x轴交点个数； · 结合两根划分区间，判断函数正负。 题型一 求抛物线与坐标轴交点坐标 【例1】（25-26九年级上·河南周口·期末）已知在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点（在左侧），与轴交于点． (1)求三点的坐标； (2)求的面积． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．与y轴交于点 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【变式1-2】（25-26九年级上·云南保山·期末）m是抛物线与x轴交点的横坐标，代数式的值为______． 【变式1-3】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A、B两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)直接写出抛物线的对称轴． 题型二 已知二次函数的函数值求自变量的值 【例2】（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知函数，当函数值为1时，自变量的取值为______． 【变式2-1】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数，求： (1)当时，函数的值； (2)当时，的值． 【变式2-2】（25-26九年级上·河南平顶山·阶段检测）已知关于的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点． (1)求二次函数的表达式； (2)当该二次函数的函数值为时，求的值． 【变式2-3】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)点在该函数的图象上，求的值． 题型三 抛物线与x轴的交点问题 【例3】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3-1】（25-26九年级上·江苏泰州·期末）已知关于的二次函数的图像与轴两交点间的距离为，则的值为___________． 【变式3-2】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）若是抛物线与轴交点的横坐标，则代数式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】（25-26九年级上·江西宜春·期末）已知抛物线，若这两条抛物线与轴共有3个交点，则的值为___________． 题型四 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【例4】（25-26九年级上·浙江金华·期末）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【变式4-1】（25-26九年级上·海南三亚·期末）如图是二次函数的图象的一部分，给出下列命题：①；②；③的两根分别为和；④．其中正确的命题是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 【变式4-2】（25-26九年级上·广东广州·期末）若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 【变式4-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，二次函数图像的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像有下列结论：①且：②：③关于的一元二次方程的两根分别为和；④若点、、均在二次函数图像上，则，其中正确的结论有_____．（填序号） 题型五 求x轴与抛物线的截线长 【例5】（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【变式5-1】（25-26九年级上·全国·阶段检测）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-2】（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图，抛物线与x轴交点间的距离为________________． 【变式5-3】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列抛物线与轴都有两个交点：①；②；③．其中两交点之间的距离最短的是抛物线_______（填题序号即可）． 题型六 图象法确定一元二次方程的近似根 【例6】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表：根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似根可能是（    ） x … 1 2 3 4 … y … 3 9 … A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，一元二次方程的根中较大的根的范围是（    ） 0 0.5 1 1.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·贵州黔南·期末）二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 【变式6-3】（2026九年级上·河北保定·专题练习）根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型七 图象法解一元二次不等式 【例7】（25-26九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式7-1】（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【变式7-2】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）二次函数，当时，自变量x的取值范围是_________ 【变式7-3】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，抛物线交x轴正半轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C，连接，．若的面积为3． (1)求抛物线的解析式． (2)不等式的解集为______． 题型八 利用不等式求自变量或函数值的取值范围 【例8】（2026九年级上·山东青岛·专题练习）将二次函数化成一般式为_____，图像与轴交点坐标为_____，当时，函数的取值范围是_____，若，则自变量取值范围是_____． 【变式8-1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数与自变量的部分对应值如下表： … 0 3 … … 0 3 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围是________． 【变式8-2】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）二次函数图象的顶点坐标为，与轴的交点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围是 ； (3)若点，在该函数图象上，且，则的取值范围为 ． 【变式8-3】（25-26九年级上·北京房山·期中）已知二次函数图象如图所示． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当________时，大于； (3)当时，函数的最大值为________，最小值为________． 题型九 根据交点确定不等式的解集 【例9】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，开口向上的抛物线与轴交于点和，则不等式的解集为______． 【变式9-1】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，二次函数()与一次函数()的图象相交于点，，则使成立的的取值范围是___________． 【变式9-2】（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26九年级上·河南信阳·期末）二次函数的图象经过点，，点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数的图象经过A，C两点． (1)求该二次函数的解析式及点C的坐标； (2)根据图象，写出满足不等式的解集：________； (3)当时，该二次函数对应的函数值y的取值范围为________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $