精品解析：江苏高邮市2026-2027学年度第一学期高三期初学情调研数学试卷

2026-2027学年度第一学期高三期初学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为集合，，所以. 2. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据属于关系、相等关系及包含关系的定义判断可得. 【详解】选项A：空集的定义是不含任何元素的集合，因此，该关系错误； 选项B：是包含元素的非空集合，和不含任何元素的空集不可能相等，该关系错误； 选项C：是以空集作为唯一元素的集合，和元素为数字的集合元素完全不同，不可能相等，该关系错误； 选项D：因为规定：“空集是任意集合的子集”，因此，该关系正确. 3. 对于实数a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】若，，则，故A错误； 若，则，故B错误； 因为，所以，即，故C正确； 因为，所以，所以，故D错误． 故选：C. 4. “函数的定义域为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由函数的定义域为可得，再根据充分必要条件的定义判断可得. 【详解】因为函数​的定义域为，所以对任意实数x恒成立， 对于二次函数，其开口向上，要恒成立， 则， 解得. 若“函数定义域为”成立，即，必然满足，因此充分性成立； 若成立，比如取，不满足，对应存在小于的取值， 所以函数定义域不为，因此必要性不成立. 综上所述，“函数的定义域为”是“”的充分不必要条件. 5. 已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找出与的关系，再将问题转化为求上某点的纵坐标即可. 【详解】函数是函数向左平移1个单位得到， 因函数的周期，则周期也为4， A选项：对应中的值，由图象知，错误； B选项：对应中的值，由图象知，错误； C选项：，则，又对应中的值， 由图象知，即，正确； D选项：，则，错误． 故选：C． 6. 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意知：，，由零点判定定理知在区间内原函数有零点. 故选B 考点：零点判定定理. 7. 已知函数（，且）在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，则， 因为，所以在上是增函数， 根据复合函数的单调性知需为减函数，所以. 又在上需满足恒大于0，所以，即. 综上，实数的取值范围是. 8. 已知函数的定义域为，且满足：，，；，，.则下列说法中一定正确的是（ ） A. 在区间上有最小值 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上有最小值 D. 在区间上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】由，，得，即，，再根据，，，得，从而求出的范围,再逐一验证即可. 【详解】因为，，得，  令， 则上式变为对所有非零实数成立， 说明是常数，设(为常数）， 因此得 , 原式时，可得，该式也满足，因此对全体实数成立。 因为，，， 令，得，即，又，所以. 即对称轴. 当时，单调递减，没有最小值，故A错误； 当时，单调递减，故B错误； 当时，因为对称轴，所以有最小值，故C正确； 当时，因为对称轴，当时在单调递减，在单调递增，故D错误. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，是全集的两个非空子集，如果且，那么下列说法中正确的有（ ） A. ，有 B. ，使得 C. ，有 D. ，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】根据且确定正确选项. 【详解】由于是全集的非空子集，且， 所以是的真子集， 所以，使得、，有，即BC选项正确. 故选：BC 10. 已知，，，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为16 B. 的最小值为9 C. 的最小值为25 D. 的最小值为128 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式，结合“1”的代换方法，逐一分析各个选项，即可得答案 【详解】选项A：因为，，所以，解得， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为16，故A正确； 选项B： ， 当且仅当，即时等号成立，的最小值为9，故B正确； 选项C：由变形得，则， 而， 所以不存在满足条件的使得，故C错误； 选项D：因为，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 11. 定义在上的函数满足，函数在区间内有26个零点.则下列结论正确的有（ ） A. 函数的一个周期为5 B. 函数在内有26个零点 C. 函数在内有6个零点 D. 函数在内有10个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得，根据周期的定义即可判断A；对于B，令，即可得函数在区间内有26个零点，即可判断B；由A,B可得函数在内有4个零点，即可判断C；求出函数在内的零点个数，即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，即函数的周期为5，故A正确； 对于B，令，因为，所以， 因为函数在区间内有26个零点，所以函数在区间内有26个零点， 即函数在区间内有26个零点，故B正确； 对于C，因为函数在区间内有26个零点，且周期为5， 区间可分为共7个区间， 因为函数在每个长度为5的区间上零点个数相同， 所以函数在这6个区间上各4个零点，在上有2个零点，故C错误； 对于D，由C可知函数在上有4个零点，在上有2个零点， 又因为函数的周期为5， 所以函数在上的零点个数与函数在上有的零点个数相等，即为2个， 所以函数在上有2个零点， 由函数的周期性可知函数在上各有4个零点， 所以函数在内共有个零点，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知且，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，，得， 故实数的取值范围是. 13. 设集合，，若的真子集个数是1，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据，分别求出的范围，再根据或即可求出. 【详解】， 因为的真子集个数是1，所以的元素个数是， 若，则，得； 若，则，得； 若，则或，得； 若，则或，得； 综上，实数的取值范围是. 14. 已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集，结合韦达定理可得，，然后代入目标不等式化简即可得解. 【详解】不等式的解集为， 则，且分别为方程的两根， 由根与系数的关系，得即. 将代入不等式， 化简得，即. 容易判断或时，均不符合题意，所以. 所以原不等式即为， 依题意应有且，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）. （1）当时，解不等式； （2）当时，解不等式. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）代入参数，因式分解二次不等式，利用开口方向直接写出解集； （2）先因式分解找到两根，再比较两个根与的大小，分三类讨论求解集. 【小问1详解】 当时，不等式为， 即，所以 所以不等式的解集为； 【小问2详解】 方程的两个实数根是，， 当①即时，不等式的解为或； ②即时，不等式恒成立； ③即时，不等式的解为或. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16. 已知函数（）是奇函数. （1）求实数的值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义求解； （2）先根据复合函数单调性法则判断函数的单调性，再由单调性求解即可. 【小问1详解】 设定义域为 因为是奇函数，所以对，恒成立， 所以，即：， 所以，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）， 因为在上单调递减，在定义域上单调递减， 则根据复合函数单调性可得在上单调递增. 又函数是奇函数， 所以由，可得 . 所以，解得：， 所以原不等式的解集为. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点. （1）求点到平面的距离； （2）若点在上，且平面. ①求的值； ②求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）①， ② 【解析】 【分析】（1）以，，方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为，利用空间中点到面的距离公式求解即可； （2）①设，由向量的线性运算可得，根据，求出的值即可得答案； ②由题意可得平面的一个法向量，根据直线与平面所成角的公式求解即可. 【小问1详解】 在直三棱柱中，，，两两垂直， 以为空间直角坐标原点，以，，方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系. ，， 则，， 设平面的法向量为， 则，则有， 所以， 又， ， 所以，点到平面的距离为； 【小问2详解】 ①，，则， 设， 则， 因为平面， 所以，，即 ， 得， 所以，得， 所以； ②平面的一个法向量， 又， 得 所以，与平面所成角的正弦值为. 18. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 （1）根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； （2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）无关联 （2） 1 2 3 （3）875 【解析】 【分析】（1）计算的值，将其与对应的小概率值比较即得； （2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得； （3）分析得出，利用二项分布概率公式得出再利用作商法分析得时，事件“”的概率最大. 【小问1详解】 零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联； 则， 故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立， 因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联； 【小问2详解】 依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 合格产品有件，不合格产品有2件， 而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有1，2，3． 则，，， 故的分布为： 1 2 3 则； 【小问3详解】 依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为， 故，则， 由， 故由可解得， 因，故当时，； 故由可解得， 即当时，； 故当事件“”的概率最大时，． 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若，，对任意的，恒成立，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1) 求导算切点处导数值得到切线斜率，结合切点直接写出切线方程； (2) 存在增区间等价于导数大于 0 有解，分离参数后转化为求右侧函数最小值； (3) 先利用二阶导数判断一阶导数单调，找到最大值点；再把转化为单变量函数，求这个函数的最小值. 【小问1详解】 当时，，函数定义域为， 故，， 又，所以切线方程为； 【小问2详解】 由题意得，（） 因为存在单调增区间，所以在上有解， 即使得能成立， 令，，由，得 0 减 极小值 增 所以，所以即， 因此所求实数的取值范围为； 【小问3详解】 由（2）知，设， ，所以在单调递减，即在单调递减， ，， 设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以时，取得最小值，所以，所以， 所以， 所以必存在正数，使得， 即， 由上可知在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即，因为 所以 令， 因为 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期高三期初学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于实数a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. “函数的定义域为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的为(　　) A. B. C. D. 7. 已知函数（，且）在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且满足：，，；，，.则下列说法中一定正确的是（ ） A. 在区间上有最小值 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上有最小值 D. 在区间上单调递增 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，是全集的两个非空子集，如果且，那么下列说法中正确的有（ ） A. ，有 B. ，使得 C. ，有 D. ，使得 10. 已知，，，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小值为16 B. 的最小值为9 C. 的最小值为25 D. 的最小值为128 11. 定义在上的函数满足，函数在区间内有26个零点.则下列结论正确的有（ ） A. 函数的一个周期为5 B. 函数在内有26个零点 C. 函数在内有6个零点 D. 函数在内有10个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知且，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 13. 设集合，，若的真子集个数是1，则实数的取值范围是______. 14. 已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）. （1）当时，解不等式； （2）当时，解不等式. 16. 已知函数（）是奇函数. （1）求实数的值； （2）解关于的不等式. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点. （1）求点到平面的距离； （2）若点在上，且平面. ①求的值； ②求与平面所成角的正弦值. 18. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 （1）根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； （2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； （3）若，，对任意的，恒成立，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $