精品解析：江苏省扬州市高邮市2025-2026学年高三上学期期初考试数学试卷

2025－2026学年度第一学期高三期初学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. ，，，则的最小值是（ ） A. 12 B. 13 C. 16 D. 18 6. 倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一种新的废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为，首次净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度为，第次净化后所排放的废水中的污染物的浓度（单位：），依据当地环保要求，企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过，为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次数至少为（ ） （参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上奇函数，函数的图象关于点对称，且满足，则（ ） A. 2 B. －4 C. 2026 D. －4052 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为全集，若是两个不相等的非空集合，且，则（ ） A. B. C D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 设，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，方程有两个实数根 C. 当时，函数存最大值 D. 当时，函数在区间上单调递增 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 若“”为真命题，则实数的取值范围是______. 13. 若关于的一元二次不等式的解集为，则______. 14. 对于函数，若在其定义域内存在实数，满足，则称函数为“局部奇函数”，称点和点是函数的一对“局部对称点”，请写出函数的一对“局部对称点”：______；若函数为“局部奇函数”，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，且. （1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数取值范围. 16. 已知函数. （1）若函数为增函数，求实数的取值范围； （2）若函数，求函数的单调区间. 17. 已知四边形为直角梯形，其中，，，，为垂足（如图1）.将沿折起，使点移至点的位置，得到四棱锥（如图2），且满足，点分别为的中点. （1）证明：平面平面； （2）若平面，试问：棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 为了解居民体育锻炼情况，某市区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中岁的400名居民体育锻炼的次数，得到如下的频数分布表： 年龄 次数 每周次 75 55 32 58 每周次 20 34 40 30 每周次及以上 8 8 24 16 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据所给数据填写下列列联表，并根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 （2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用分层抽样，抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求的分布列与数学期望； （3）小明每周星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球三种运动项目中选择一种.已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，那么星期天选择跑步的概率分别为，若小明星期天选择跑步，则他星期六也选择跑步的概率为多少？ 参考公式：. 附： 0.10 0.05 0.01 0005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数且. （1）求函数的最大值； （2）若，求的值； （3）求证：（其中是自然对数的底数）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期高三期初学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意解一元二次不等式，求出集合的元素，根据交集的概念求出结果即可. 【详解】由题意得，解得，即， 则； 故选：C. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合“中间数”比较大小即可. 【详解】，，， 所以. 故选：B 3. 下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可. 【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误； 选项B：定义域不是，值域为，故错误； 选项C：定义域和值域均为，故正确； 选项D：不满足函数的定义，故错误； 故选：C. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】若，则，而，故， 所以“”是“”的充分条件. ，则成立，但， 故“”不是“”的必要条件. 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 5. ，，，则的最小值是（ ） A. 12 B. 13 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式中“1”的应用直接计算即可求得结果. 【详解】因为，则； 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值是16. 故选：C 6. 倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为了使排放的废水中含有的污染物的浓度下降，某造纸企业引进了一种新的废水净化技术，已知净化前所排放的废水中含有的污染物的浓度为，首次净化后所排放的废水中含有的污染物的浓度为，第次净化后所排放的废水中的污染物的浓度（单位：），依据当地环保要求，企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过，为了使该企业所排放的废水中含有的污染物的浓度达标，则废水净化的次数至少为（ ） （参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由，，代入计算得，再根据题意列不等式计算即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得， 即， 设第次净化后企业所排放的废水中含有的污染物的浓度不能超过， 则，即，， 所以， 因为，所以废水净化的次数至少为次. 故选：D 7. 已知函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定函数定义域、对称性、单调性，则根据题意可得，解不等式即可. 【详解】由，得，所以函数的定义域为， 又， ， 则，所以函数的图象关于直线对称， 当时，， 由于函数与在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为，所以， 即，解得，或. 所以使得成立的的取值范围是. 故选：C 8. 已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足，则（ ） A. 2 B. －4 C. 2026 D. －4052 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的对称性得出，结合奇偶性得出是的一个周期，再利用赋值法和奇偶性求出，最后结合周期性即可求出. 【详解】函数的图象关于点对称，则， 即，则当时， 又，则对任意恒成立①， 又是定义在上的奇函数，则②，则， 即， 则，得，即是的一个周期， 由②可得，；由①可得，； 因，则，则， 则， 则. 故选：A 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为全集，若是两个不相等的非空集合，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由得，利用集合的并集、补集运算判断. 【详解】因为，所以，A正确，B错误； 因为，且是两个不相等的非空集合，所以，所以， 又因为，所以，C正确； 因为，所以，D错误； 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据反例可判断A的正误，根据不等式的性质可判断BC的正误，利用作差法结合不等式的性质可判断D的正误. 【详解】对于A：取，则，故A错误. 选项B：因为，而，故，故B正确. 选项C：由，可得， 则不等式两边均乘以可得，故C正确. 选项D： 又，则， 则，则，故D正确. 故选：BCD. 11. 设，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，方程有两个实数根 C. 当时，函数存在最大值 D. 当时，函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】分段分析函数的单调性，求得函数值的取值范围，可判断ACD的真假；直接求解方程的根，可判断B的真假. 【详解】选项 A：代入 ，函数为： 当  时，，故 ； 当  时，（等号在  时成立）； 当  时，（因为 ，故 ），故选项 A 正确. 选项 B：当  时，，解得 ； 由于 ，有 ，故 ，满足条件，是一个根； 当  时，，即 ， 由于 ，有 ，故 ，无实数解； 当  时，，即 ，解得 ， 但 ，而 ，不满足条件，故选项 B 错误. 选项 C：当  时，，值域是； 当  时，，这是一个开口向下的抛物线， 在  处取最大值 ； 当  时，，因为 ，所以； 比较各段：在  段，（因为  时 ）； 在  段，；在  段，. 因此，的最大值在  处取，值为 ，故选项 C 正确. 选项 D：当  时，，故函数在区间上单调递增； 当  时，，这是一个开口向下的抛物线，对称轴为： ， 故函数在区间上单调递增； 考虑分段点 ：当时，， 因此，函数在  上单调递增，故选项 D 正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 若“”为真命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据特称命题证明方法，构造函数，根据定义域，对函数解析式进行参变分离，求出参数范围. 【详解】设， ，即，在上有解， 则，由变形得， 当时，，根据有解，得. 故答案为：. 13. 若关于的一元二次不等式的解集为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，得到判别式的值和的正负，从而解出和的值，得到的值. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以对应的一元二次方程有且仅有一个解，且， 所以，解得， 代入一元二次方程得，解得，所以， 所以， 故答案为：. 14. 对于函数，若在其定义域内存在实数，满足，则称函数为“局部奇函数”，称点和点是函数的一对“局部对称点”，请写出函数的一对“局部对称点”：______；若函数为“局部奇函数”，则实数的取值范围为______. 【答案】 ①. 和 ②. 【解析】 【分析】根据给定定义列出方程求解；求出函数图象关于原点对称的函数图象解析式，再建立方程，利用导数求出方程有解的范围即可. 【详解】设函数的一对“局部对称点”为， 则，即，解得或， 所以函数的一对“局部对称点”为和； 根据局部奇函数的定义，需存在使得， 不妨设，则，可得方程，即， 问题转化为方程在上有解. 令，求导得 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， ，当时，， 当，且时，， ，当时，，当时， 因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为：和； 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，且. （1）若“”是“”必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由不等式的解法，求得，根据题意，得到，列出不等式组，即可求解； （2）由，得到或，结合，即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：由不等式，解得，即， 因为是的必要条件，所以， 又因为且，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 解：由（1）知：集合，且， 因为，则或，解得或， 又因为，所以实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）若函数为增函数，求实数的取值范围； （2）若函数，求函数的单调区间. 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 分析】（1）对函数求导，由题设有恒成立，结合判别式列不等式求参数范围； （2）对函数求导，分类讨论参数，研究导数符号确定对应单调区间即可. 【小问1详解】 因为为增函数，所以在上恒成立， 所以，则，可得. 【小问2详解】 ， 所以， 当时，则增区间为，无减区间； 当时，令，则或，令，则， 所以增区间为和，减区间为； 当时，令，则或，令，则， 所以增区间为和，减区间； 综上： 当时，增区间为和，减区间为； 当时，增区间为，无减区间； 当时，增区间为和，减区间为. 17. 已知四边形为直角梯形，其中，，，，为垂足（如图1）.将沿折起，使点移至点的位置，得到四棱锥（如图2），且满足，点分别为的中点. （1）证明：平面平面； （2）若平面，试问：棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）法一：根据折叠前后的线线垂直关系结合线面垂直判定定理可得平面，从而得，，再根据线面垂直的判定定理得平面，从而得平面平面； 法二：分别以作为轴的正方向建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解平面和平面的法向量，根据法向量的关系可得平面平面； （2）分别以作为轴的正方向建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解平面的法向量，设，从而得直线的方向向量，再根据直线与平面所成角的正弦值与空间向量的坐标关系计算即可得结论. 【小问1详解】 （方法一）由题知，即，且， 因为平面，所以平面. 因平面，所以， 又由是所在棱的中点，得，所以； 易知四边形是正方形，可知，所以； 又由，且面，所以平面， 因为平面，所以面平面； （方法二）由知，可以分别以 作为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 不妨记，设， 可得，， 记平面的法向量为，可得， 取得，即； 同理可得平面的法向量为； 因为，所以，所以平面平面； 【小问2详解】 由知，可以分别以 作为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系， 不妨记，设， 可得， 则， 因为面面，所以， 故，解得，即； ， 记平面的法向量为，可得 ，取得，即； 假设棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设，则， 由题知， 解得或4（舍去），即，所以. 18. 为了解居民体育锻炼情况，某市区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中岁的400名居民体育锻炼的次数，得到如下的频数分布表： 年龄 次数 每周次 75 55 32 58 每周次 20 34 40 30 每周次及以上 8 8 24 16 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据所给数据填写下列列联表，并根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 体育锻炼频率高 合计 （2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用分层抽样，抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求的分布列与数学期望； （3）小明每周星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球三种运动项目中选择一种.已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，那么星期天选择跑步的概率分别为，若小明星期天选择跑步，则他星期六也选择跑步的概率为多少？ 参考公式：. 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，认为体育锻炼频率的高低与年龄有关； （2）分布列见解析，； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知完善列联表，求出卡方值，结合独立检验的基本思想得结论； （2）由分层抽样确定区间人数，再应用超几何概率的求法求对应概率，写出分布列，进而求期望； （3）记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球分别为事件，星期天选择跑步为事件，根据已知确定对应概率，应用全概率公式、贝叶斯公式求目标概率. 【小问1详解】 提出假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关， 由题得列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 130 90 220 体育锻炼频率高 70 110 180 合计 200 200 400 ， 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关. 【小问2详解】 由数表知，利用分层抽样的方法抽取的7人中，年龄在与内的人数分别为1、2， 依题意，的所有可能取值分别为0、1、2， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为. 【小问3详解】 记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球分别为事件，星期天选择跑步为事件， 则，， . . 19. 已知函数且. （1）求函数的最大值； （2）若，求的值； （3）求证：（其中是自然对数的底数）. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用导数求出函数最大值. （2）利用导数分类讨论求出函数的最小值，再建立不等式，结合（1）求出的值. （3）由（1）的信息，结合赋值法推导得，再赋值即可计算得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得最大值. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， ①当时，恒成立，在单调增，而，不符合题意； ②当时，由，得；由得，， 函数上单调递减，在上单调递增，， 由恒成立，得，由（1）知，则，解得， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，即，则，即， 因此，即，则（当且仅当时取等号）， 取，得，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $