江苏省苏州2026-2027学年高三上学期数学期初考模拟卷

**基本信息** 2026-2027学年苏州高三数学期初考模拟卷，覆盖集合、函数、数列等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，适配开学学情检测，考查数学抽象、运算能力与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|简易逻辑、集合、函数性质|基础巩固，考查抽象能力| |多选题|3/18|不等式、统计概率、高斯函数|结合数学文化，考查推理意识| |填空题|3/15|三角求值、切线问题、函数单调性|小综合，考查运算能力| |解答题|5/77|三角综合、导数极值、数列、立体几何、导数应用|分层设计，如立体几何存在性问题考查空间观念，导数题考查创新意识|

2026-2027学年 苏州高三数学期初考模拟卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，则集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 3. 已知函数，则函数在区间上的最大值与最小值之和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8 B. 若随机变量服从正态分布，，则 C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则 D. 若随机变量，且，则 11. 高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号．称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法错误的是（ ） A. 在上单调递增 B. 若，则的值域为 C. D. 若，则的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为____________． 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 14. 已知且，若函数在上单调递增，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知角α的终边上一点，（），求． （2）若，且，求的最小值； （3）若，的最大值． 16.已知函数存在两个极值点. （1）求的取值范围； （2）求的最小值. 17. 已知数列是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； 18.如图，已知是边长为2的正方形所在平面外一点，是等边三角形. （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，试问在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角为60°？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 19. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若在有两个零点，求的取值范围； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年 苏州高三数学期初考模拟卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 答案：B 解析： 解答过程：全称量词命题的否定为将量词更改，命题否定， 因此命题“，”的否定为命题“，”. 故选：B. 2. 已知集合，则集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 答案：D 解析： 解答过程：由已知集合， 联立和，可得或或， 则， 故集合的子集个数为个， 故选：D 3. 已知函数，则函数在区间上的最大值与最小值之和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 答案：D 解析： 解答过程：函数在上单调递增， 当时，，， 所以最大值与最小值之和为7. 故选：D 4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析： 解答过程：，． 因为指数函数单调递增，且， 所以． 又，． 所以． 故选：B. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析： 解答过程：由题意得，所以.故A正确. 故选：A. 6. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 答案：D 解析： 解答过程：，，， ， ， ， ． 故选：D． 7. 抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是 A. B. C. D. 答案：B 解析： 解答过程：解：如图， 可得圆心也是抛物线的焦点， 过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得 故的周长， 由可得，. 的取值范围为 的周长的取值范围为 故选：. 8. 已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析： 解答过程：与图象关于直线对称，， ，； 设，则由得：， 均在函数图象上； 假设，在上单调递增，，即，与假设矛盾； 假设，在上单调递增，，即，与假设矛盾； ，即在上有解，即； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 又，，，解得：， 即实数的取值范围为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 答案：BCD 解析： 解答过程：对于A选项，当时，，A错； 对于B选项，若，由不等式的性质可得，，则，B对； 对于C选项，若，则，则， 又因为，由不等式的性质可得，C对； 对于D选项，若且，则，所以，，D对. 故选：BCD. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8 B. 若随机变量服从正态分布，，则 C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则 D. 若随机变量，且，则 答案：BC 解析： 解答过程：对于选项A，5，6，7，7，8，8，8，9中位数为7.5，所以A不正确； 对于选项B，因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于对称， 所以，所以B正确； 对于选项C，因为回归直线一定经过样本中心点，所以， 即，所以C正确； 对于选项D，因为，且，所以，即， 所以，所以D不正确． 故选：BC． 11. 高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号．称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法错误的是（ ） A. 在上单调递增 B. 若，则的值域为 C. D. 若，则的值域为 答案：ACD 解析： 解答过程：对于A：由题意，故A错； 对于B：， ，当时，；当时，， 所以的值域为，故B正确； 对于C：因为当时，，所以，故C错； 对于D：， 当时，；当时，， 所以的值域为，故D错. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的值为____________． 答案： 解析： 解答过程：由正弦的和差角公式得： ， ， 代入方程：， 得， 得， 解得：， 利用倍角公式得： ，  代入得： . 故答案为： 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 答案： 解析： 解答过程：由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 14. 已知且，若函数在上单调递增，则的最大值为___________． 答案： 解析： 解答过程：根据题意，可得对任意的恒成立． 设，则． 若，则在上单调递增， 当且时，，不符合题意． 若，令，得， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以，所以． 设，（），则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，即的最大值为， 此时． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知角α的终边上一点，（），求． （2）若，且，求的最小值； （3）若，的最大值． 答案：（1）答案见解析；（2）18；（3） 解析： 解答过程：（1）当时， 当时． （2）由，得， ，当且仅当时取等号 故当，取最小值18． （3）若，则 当且仅当时取等号， ． 即若，的最大值为． 16. 已知函数存在两个极值点. （1）求的取值范围； （2）求的最小值. 答案：（1） （2） 解析： （1）由题意知：定义域为，； 令，则有两个不等正根， ，解得：，实数的取值范围为. （2）由（1）知：，是的两根，则； ； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； ， 即的最小值为. 17. 已知数列是公差不为0的等差数列，若，且，，成等比数列． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和； 答案：（1） （2）． 解析： （1）设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列， 所以． 即， 即，又，且，解得 所以． （2）由（1）知：， 则， 即． 18.如图，已知是边长为2的正方形所在平面外一点，是等边三角形. （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，试问在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角为60°？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 答案：（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 解析： （1）证明：设与交于点，连接. 因为底面为正方形，所以. 又是等边三角形，是的中点，所以. 因为，所以平面. （2）由（1）知，，所以是二面角的平面角，则. 因为，所以，又是等边三角形，所以，，所以，所以. 因为，，所以，， 因为，底面，所以底面. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，. 设满足条件， 则，，. 设平面的法向量为，则即 取，则. 设平面的法向量为，则即 取，则. 所以，化简得，无实根， 所以在线段上不存在点，使得平面与平面的夹角为60°. 19. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若在有两个零点，求的取值范围； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 答案：（1） 当时，在上递减，当时，在上递减，在上递增． （2） （3） 解析： （1）∵，∴， 当时，恒成立，在上递减， 当时，令得，，∴在上递减， 令得，，∴在上递增． （2）由（1）可知时，不合题意； 时，在上递减，在上递增， 若在有两个零点，则定有，解得， 此时，所以在上一定有一个零点， 当时，在上一定有一个零点， 综上：． （3）由，得， 故在上恒成立， 设， 则， 设，则， 当时，单调递增； ∴在上单调递增. 所以在上，，且， 当，即时，在上单调递减， 则，不符合题意，舍去， 当，即时， （i）若，即， ，使得，当时，，在内单调递减， ，不符合题意，舍去， （ii）若，即恒成立， 在上单调递增，则，符合题意， 综上，实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $