1.4.2 充要条件 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“充要条件”核心知识点，通过回顾“若p则q”的充分必要条件及逆命题定义，结合三角形全等、方程根等实例引出新知，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以实例引导学生用数学眼光观察命题关系，通过原命题与逆命题的真假推理培养数学思维，用符号语言和集合关系表述充要条件发展数学语言。例题练习结合定理定义，小结表格化对比条件关系，助力学生系统掌握逻辑推理，也为教师提供从实例到应用的完整教学路径。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.4.2 充要条件 授课：小叶比格椰 傻逼学科网 垃圾审核 “若，则”为真命题 是的充分条件 是的必要条件 的一个充分条件是 的一个必要条件是 知识回顾 逆命题 逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件. 那么把这样的两个命题叫做互逆命题. 其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题. 原命题：若，则 逆命题：若，则 符号语言 3 新知探索 思考 下列“若，则”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ （1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则； （4）若是空集，则与均是空集. 原命题：，是真命题. 逆命题：，是真命题. 原命题：，是真命题. 逆命题：不一定，，是假命题. 原命题：，是假命题. 逆命题：，是真命题. 原命题：，是真命题. 逆命题：，是真命题. 4 充要条件 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，就记作 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件. 显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件. 概括地说，如果，那么与互为充要条件. 5 题目 例3：下列各题中，哪些是的充要条件？ 解析 （1）：四边形是正方形， ：四边形的对角线互相垂直且平分； （2） ：两个三角形相似， ：两个三角形三边成比例； （3） ： ， ： ， ； （4） ： 是一元二次方程的一个根， ： . 判断原命题和逆命题的真假 充分性和必要性同时满足 6 题目 解析 例3：下列各题中，哪些是的充要条件？ （1）：四边形是正方形， ：四边形的对角线互相垂直且平分； （2） ：两个三角形相似， ：两个三角形三边成比例； （3） ： ， ： ， ； （4） ： 是一元二次方程的一个根， ： . 解：（如菱形），不是的充要条件. 解：（判定定理），是的充要条件. 解：时，， 不是的充要条件. 解：，是的充要条件. 7 新知提升 思考 通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 分析 四边形的两组对边分别相等 四边形的两组对角分别相等 四边形的两条对角线互相平分 四边形的一组对边平行且相等 四边形是平行四边形 为的充要条件，但不唯一. 8 新知提升 思考 已知判定定理和充分条件的关系，性质定理和必要条件的关系，那么充要条件和什么有关系呢？ 分析 一般地，数学中的每一条定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件. 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 它表明“四边形的两组对边分别平行”是“四边形是平行四边形”的一个充要条件. 9 题目 例4：已知：的半径为，圆心到直线的距离为.求证： 是直线与相切的充要条件. 解析 10 证明：设：直线与相切. （1）充分性（）：如图，作于点，则. 若，则点在上. 在直线上任取一点（异于点），连接. 在中， . 所以除点外直线上 的点都在的外部，即直线与仅有一个公共点.直线与相切. 题目 解析 例4：已知：的半径为，圆心到直线的距离为.求证： 是直线与相切的充要条件. 分别证充分性（ ）和必要性（ ） 11 证明：设：直线与相切. （2）必要性（）： 若直线与相切，不妨设切点为，则. 因此，. 由（1）（2）可得，是直线与相切的充要条件. 题目 解析 例4：已知：的半径为，圆心到直线的距离为.求证： 是直线与相切的充要条件. 分别证充分性（ ）和必要性（ ） 12 题目 练习1：下列各题中，哪些是的充要条件？ 解析 （1）：三角形为等腰三角形， ：三角形存在两角相等； （2） ：☉内两条弦相等， ： ☉内两条弦所对的圆周角相等； （3） ： 为空集， ： 与之一为空集. 13 题目 解析 练习1：下列各题中，哪些是的充要条件？ （1）：三角形为等腰三角形， ：三角形存在两角相等； （2） ：☉内两条弦相等， ： ☉内两条弦所对的圆周角相等； （3） ： 为空集， ： 与之一为空集. 解：“若，则”“若，则”均为真命题， ，所以是的充要条件. 解： ☉内两条弦相等，则它们所对的圆周角相等或互补， ，所以不是的充要条件. 解：取，，则，但与均不为空集， ，所以不是的充要条件. 14 题目 练习2：分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件. 解析 15 题目 解析 练习2：分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件. 解：“两个三角形全等”的充要条件： （1）两个三角形三边对应相等（SSS）. （2）两个三角形的两边及夹角对应相等（SAS）. （3）两个三角形的两角及夹边对应相等（ASA）. （4）两个三角形的两角及其中一角的对边对应相等（AAS）. 16 题目 解析 练习2：分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件. 解：“两个三角形相似”的充要条件： （1）两组对应角相等. （2）两个三角形两组对应边成比例且夹角相等. （3）两个三角形三组对应边成比例. 17 题目 练习3：证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件为. 解析 18 题目 解析 练习3：证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件为. 证明：设：梯形为等腰梯形，： . （1）充分性：作于，于. ，. 又，. ， 又. ，即梯形为等腰梯形. 分别证充分性（）和必要性（ ） 19 题目 解析 练习3：证明：如图，梯形为等腰梯形的充要条件为. 证明：设：梯形为等腰梯形，： . （2）必要性： 在等腰梯形中， 又， （SAS). . 综上，梯形为等腰梯形的充要条件为. 分别证充分性（）和必要性（ ） 20 新知提升 证明”是的充要条件“ 充分性为”“，必要性为”“. 证明”的充要条件是“ 充分性为”“，必要性为”“. 易混淆点： 21 新知提升 思考 设，如何从集合的角度理解充要条件？ 文字语言 是的充要条件 是的充分不必要条件 是的必要不充分条件 是的既不充分也不必要条件 符号语言 且 且 且 集合语言 且 图形语言 或 A（B） A B B A A B A B 22 课堂小结 若，则 若，则 关系 结论 真 真 是的充要条件 真 假 且 是的充分不必要条件 假 真 且 是的必要不充分条件 假 假 且 是的既不充分也不必要条件 题目 巩固1：设，是两个集合，则“”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 巩固2：“”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 24 题目 解析 巩固1：设，是两个集合，则“”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：由可知. 反过来由可知. C 25 题目 解析 巩固2：“”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：由得. 由得. ， 而 ， ∴””是“”的充分不必要条件. A 小范围大范围 以小推大 26 题目 巩固3：已知：： .若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 解析 27 题目 解析 巩固3：已知：： .若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 解：，即，解得. ： ，即，解得. 28 题目 解析 巩固3：已知：： .若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. ，. ∴. 且两个等号不同时成立，解得. 因此，所求实数的取值范围是解得. 29 每天进步1%，一年后你将进步 1%的力量 $