1.4.2 充要条件 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“充要条件”，通过逆命题对比（如平行四边形对角线问题）和实例辨析（三角形全等、周长等）引出概念，结合集合包含关系（A与B的图示）构建从具体到抽象的学习支架，衔接充分、必要条件知识。 亮点在于以数学思维为核心，通过分类讨论表格（四种条件类型）和充要条件证明（直线与圆相切）培养逻辑推理，用集合语言和符号表达（p⇔q）强化数学语言。小结采用分支结构梳理知识，助力学生提升辨析能力，教师可借助实例和流程高效教学。

1.4.2充要条件 人教A版2019数学 必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 本章知识框图 集合的概念 集合基本关系 集合运算 充分条件与必要条件 全称量词与存在量词 集合的概念 集合的表示方法 子集 真子集 相等 交集 并集运算 集合的补集运算 充分必要条件 充要条件 全称量词与存在量词 含量词命题的否定 课标要求 通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。 通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定 理与充分条件的关系 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系. 常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提高交流的严谨性与准确性。 03 01 02 感受数学逻辑语言严谨性，体会等价转化的数学思想，养成条理清晰、有理有据的推理习惯，感受逻辑知识在数学问题中的应用价值. 理解充要条件的定义，能够准确判断条件与结论之间是否互为充要条件，掌握充要条件的证明思路，会结合集合关系分析充要问题，发展逻辑推理素养 课时教学目标 通过实例辨析充分、必要、充要条件的区别与联系，学会转化命题语言，借助集合直观理解逻辑关系，提升归纳辨析与转化分析能力. 问题1：观察下列两个“若p,则q”形式的命题，你能发现什么？ 环节一 新课导入 （1）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分 （2）若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形 命题(1)的条件是命题(2)的结论，命题(1)的结论是命题(2)的条件 命题(1)：若p,则q 命题(2)：若q,则p 原命题 逆命题 互为逆命题 将命题 “若p,则q” 中的条件和结论互换，就得到一个新的命题 “若q,则p”，称这个命题为原命题的逆命题． 环节一 新课导入 下列“若,则”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程有两个不相等的实数根，则； (4)若是空集，则与均是空集. 思考: 逆：若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等； 逆：若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； 逆：若，则一元二次方程有两个不相等的实数根； 逆：若均是空集，则是空集. 环节一 新课导入 不难发现，上述命题中的命题(1),(4)和它的逆命题都是真命题； 命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题; 命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题. 命题(1),(4): 原命题:“若,则”为真，即p⇒q，也就是说p是q的充分条件，q是p的必要条件； 逆命题:“若,则p”为真，即q⇒p，也就是说q是p的充分条件，p是q的必要条件； p是q的充分条件，也是q的必要条件；q是p的充分条件，也是p的必要条件 p与q互为充分必要条件， 简称充要条件 环节二 新课探究 充要条件的概念 一般地，若果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即 既有 ，又有 ，就记作： ． 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． 概括地说，如果 ，那么p与q互为充要条件． 问题2：如何判断p是q的充要条件？在所有命题中，p是q的什么条件可以分为几类？ 环节一 新课导入 “若,则”为真 “若,则p”为真 p⇒q且q⇒p p是q的充要条件 “若,则”为真 “若,则p”为假 p⇒q且qp p是q的充分不必要条件 “若,则”为假 “若,则p”为真 pq且 p是q的必要不充分条件 “若,则”为假 “若,则p”为假 pq且qp p是q的既不充分也不必要条件 环节二 新课探究 可以发现，“四边形的两组对角分别相等”，“四边形的两组对边分别相等”， “四边形的一组对边平行且相等”，“四边形的对角线互相平分” 既是 “四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件， 所以它们都是 “四边形是平行四边形”的充要条件． 环节二 新课探究 一般地，数学中的每一条定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件. 另外，我们再看平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形， 它表明 “四边形的两组对边分别平行”也是 “四边形是平行四边形” 的一个充要条件． 问题4：如果设，，你能从集合的角度如何理解充要条件吗？ 环节一 新课导入 记法 关系 图示 结论 p是q的 充分不必要条件 p是q的 必要不充分条件 p，q互为 充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 环节三 新知应用 例1 下列各题中，是的什么条件？ (1)：四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直且平分； (2)：两个三角形相似，两个三角形三边成比例； (3)：， (4)：是一元二次方程的一个根，. (1)p⇒q且qp,故是q的充分不必要条件； (2)p⇒q且q⇒p,故是q的充要条件； (4)p⇒q且q⇒p,故是q的充要条件； (3)pq且q⇒p,故是q的必要不充分条件； 环节三 应用新知 例2 已知：的半径为，圆心到直线的距离为. 求证：是直线与相切的充要条件. 证明：设：直线与相切. (1)充分性()：如图，作于点，则 若则点在上.在直线上任取一点(异于点),连接 在中， 所以，除点外直线上的点都在的外部，即直线与仅有一个公共点. 所以直线与相切. (2)必要性()：若直线与相切，不妨设切点为，则因此，. 由(1)(2)可得，是直线与相切的充要条件. 变式训练 环节三 应用新知 答案：C 答案：A 变式训练 环节三 应用新知 答案：BD 答案：B 例3 环节三 应用新知 例3 环节三 应用新知 例3 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 例4 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 环节五 归纳小结 环节六 作业布置 (1)课本P22的练习1-3题； (2)课本P22的习题1.4的3、4、5题. 感谢聆听 问题3：通过上面的学习，你能给出 “四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 问题3：通过上面的学习，你能给出 “四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 【练习1】若 ，则“”是“ ”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【练习2】已知 ，， ，则“ ”是“ ”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【练习3】（多选）已知 ，，则下列说法正确的是（　　） A．q是p的充分不必要条件 B．p是q的充分不必要条件 C．q的必要不充分条件是p D．p的必要不充分条件是q 【练习2】设 ，是两个实数，命题：“ ， 中至少有一个数大于 ”成立的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 已知 (1)当为何值时，是的充要条件？ (2)当为何值时，是的充分不必要条件？ (3)当为何值时，是的必要不充分条件？ 解：(1)∵是的充要条件， ∴，此时 ∴当时，是的充要条件. 已知 (2)当为何值时，是的充分不必要条件？ 解：(2)∵是的充分不必要条件， ∴，∴. ∴当时，是的充分不必要条件 已知 (3)当为何值时，是的必要不充分条件？ 解：(3)∵是的必要不充分条件， ∴，此时 ∴当时，是的必要不充分条件. 【练习1】已知 ，，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【详解】因为p是q的充分不必要条件， 所以 是的真子集， 则 ，且两个等号不同时成立，得 ， 故实数m的取值范围是 . 【练习2】已知 ，（其中 ），若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围． 【详解】根据题意，设集合 ，集合，其中 ， 因为 是 的必要不充分条件， 所以 是 的充分不必要条件，即集合 是集合 的真子集， 其次满足 ，解得 ， 综上所述，实数 的取值范围为 . 证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． ①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 已知，证明：“”是“”的充要条件 先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. $