14.2 三角形全等的判定 第一课时 用“HL”判定两个三角形全等 同步练习 2026—2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本同步练以“HL”判定全等为核心，通过三级分层设计，实现从概念辨析到综合应用的递进，强化推理能力与几何直观，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |★☆☆（基础）|HL判定概念及直接应用|8道选择聚焦“斜边+直角边”条件辨析，如第1题考查HL条件识别，强化符号意识| |★★☆（提升）|HL与其他判定综合应用|12道解答题结合图形推理，如第10题通过垂直条件构建直角三角形，培养逻辑推理| |★★★（拓展）|多知识点综合与探究|1道综合题融合SAS、HL及角度计算，如第21题猜想线段关系，发展创新意识与空间观念|

第十四章 三角形 14.2 三角形全等的判定 第四课时 用"HL"判定两个三角形全等 难度：★☆☆ 1. 下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ） A. 两条直角边分别相等 B. 一个锐角相等 C. 斜边相等 D. 斜边和一条直角边分别相等 2. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C = ∠F = 90°，AB = DE，BC = EF，则△ABC≌△DEF的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. HL 3. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C = ∠F = 90°，AC = DF，∠A = ∠D，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. HL 4. 下列说法正确的是（ ） A. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B. 斜边对应相等的两个直角三角形全等 C. 直角边对应相等的两个直角三角形全等 D. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 5. 如图，已知AB=AC，AD=AE，AF⊥BC于点F，则图中全等三角形共有多少对？（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. HL 7. 如图，在∠AOB的两边上，分别取点M、N，过M、N分别作OA、OB的垂线，两线相交于点P，画射线OP。若添加条件______，则可用“HL”判定△OMP≌△ONP。 A. OM = ON B. PM = PN C. ∠MOP = ∠NOP D. OP平分∠AOB 8. 下列说法错误的是（ ） A. 两个直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等 B. 两个直角三角形中，一条直角边和一个锐角对应相等，则这两个直角三角形全等 C. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，则这两个直角三角形全等 D. 两个直角三角形中，两条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等 难度：★★☆ 9. 如图，EC⊥BD，垂足为C，A是EC上一点，且AC=CD，连接AB，ED，AB=DE。若AC=4，BD=12，则CE的长为______。 10. 已知，如图，点 A、E、F、B 在同一条直线上，CA⊥AB，DB⊥AB，AE = FB，CF = DE。 （1）求证：△CAF ≌ △DBE； （2）若∠AFC = 30°，求∠D 的度数。 11. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，EC⊥BC于点C，且AB=BE，CD=CE。求证：Rt△ABD≌Rt△BEC。 12. 如图，AD 是 △ABC 的高，AD = BD，∠DAB = ∠DBA，BE = AC，∠BAC = 80°，求 ∠DBE 的度数。 13. 如图，D是∠MAN内部一点，DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，且DE=DF，点B是射线AM上一点，AB=9，BE=3，在射线AN上取一点C，使得DC=DB，求AC的长度。 14. 已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF。求证：△ABC是等边三角形。 15. 如图，CD，AE为△ABC的两条高，CD=AD，求证：AE=BC+EF。 16. 如图，∠C=∠D=90°，BC与AD交于点E，AD=BC。求证：AC=BD。 17. 如图，在△ABC中，∠A=90°，D为BC上一点，AB=BD，过点D作ED⊥BC，交AC于点E，若AC=10，CD=3，求△CDE的周长。 18. 如图，已知在△ABC和△DAE中，点E在AB边上，∠C=∠AED=90°，BC=AE，AB=DA，求证：△ABC≌△DAE。 19. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F。连接EF。若DE = 2，DF = 3，求EF的长。 20. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在△ABC外，连接AD，作DF⊥AB于点E，交BC于点F，AD=AB，AE=AC，连接AF。求证：DF=BC+CF。 难度：★★★ 21. 如图，在△ABC与△ADE中，AB = AD，AC = AE，且∠EAC = ∠DAB = 60°，过点A作AF⊥DE，垂足为F，AE交BC于点O，延长CB交DE于点G，连接AG。 （1）求证：△ABC ≌ △ADE. （2）∠CGE的度数为______. （3）猜想线段GF，DF，BG之间的数量关系，并说明理由. 参考答案 1. D 解析：HL定理要求斜边和一条直角边对应相等。 2. D 解析：斜边AB=DE，直角边BC=EF，∠C=∠F=90°，符合HL。 3. C 4. A 解析：A正确；B缺少直角边条件；C缺少斜边条件；D只能判定相似，不能判定全等。 5.D 6. D 解析：∵ PM⊥OA，PN⊥OB， ∴ ∠OMP = ∠ONP = 90°。 在Rt△OMP和Rt△ONP中： OM = ON（已知）， OP = OP（公共边）， ∴ Rt△OMP ≌ Rt△ONP（HL）。 ∴ ∠MOP = ∠NOP（全等三角形的对应角相等）， 即 OP 平分 ∠AOB。 7. B 解析：∵ 过M、N分别作OA、OB的垂线， ∴ ∠OMP = ∠ONP = 90°。 在Rt△OMP和Rt△ONP中，已有公共斜边 OP = OP。 若添加 PM = PN，则满足“斜边和一条直角边分别相等”， ∴ Rt△OMP ≌ Rt△ONP（HL）。 8. B 解析：一条直角边和一个锐角对应相等，但斜边不一定相等，不能判定全等。A是HL，C是AAS，D是SAS。 9. 8 解析：∵ EC⊥BD， ∴ ∠ACB = ∠DCE = 90°。 在Rt△ABC和Rt△DCE中： AB = DE（已知）， AC = CD（已知）， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△DCE（HL）。 ∴ BC = CE。 又 ∵ BD = BC + CD = CE + AC， ∴ CE = BD − AC = 12 − 4 = 8。 10. （1）证明： ∵ CA⊥AB，DB⊥AB， ∴ ∠CAF = ∠DBE = 90°。 ∵ 点 A、E、F、B 在同一条直线上，且 AE = FB， ∴ AE + EF = FB + EF，即 AF = BE。 在 Rt△CAF 和 Rt△DBE 中： CF = DE（已知）， AF = BE（已证）， ∴ △CAF ≌ △DBE（HL）。 （2）解： 由（1）知 △CAF ≌ △DBE， ∴ ∠AFC = ∠BED（全等三角形对应角相等）。 ∵ ∠AFC = 30°， ∴ ∠BED = 30°。 在 Rt△DBE 中，∠DBE = 90°，∠BED = 30°， ∴ ∠D = 180° − 90° − 30° = 60°。 11. ∵ AB = AC，AD平分∠BAC， ∴ AD⊥BC，BD = CD（等腰三角形三线合一）。 ∵ EC⊥BC， ∴ ∠ADB = ∠BCE = 90°。 ∵ CD = CE，且 BD = CD， ∴ BD = CE。 在Rt△ABD和Rt△BEC中： AB = BE（已知）， BD = CE（已证）， ∴ Rt△ABD ≌ Rt△BEC（HL）。 12. ∵ AD 是 △ABC 的高， ∴ AD⊥BC，即 ∠ADB = ∠ADC = 90°。 又 ∵ AD = BD， ∴ △ABD 是等腰直角三角形， ∴ ∠DAB = ∠DBA = 45°。 ∵ ∠BAC = 80°， ∴ ∠DAC = ∠BAC − ∠DAB = 80° − 45° = 35°。 在 Rt△BDE 和 Rt△ADC 中： ∠BDE = ∠ADC = 90°， BD = AD（已知）， BE = AC（已知）， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△ADC（HL）。 ∴ ∠DBE = ∠DAC（全等三角形对应角相等）。 ∴ ∠DBE = 35°。 13. ∵ DE⊥AM，DF⊥AN，且 DE = DF， ∴ AD 平分 ∠MAN（角平分线性质）。 在 Rt△ADE 和 Rt△ADF 中： AD = AD（公共边）， DE = DF（已知）， ∴ Rt△ADE ≌ Rt△ADF（HL）， ∴ AE = AF。 ∵ 点 A、B、E、M 在同一直线上，且 AB = 9，BE = 3， ∴ AE = AB + BE = 9 + 3 = 12。 ∴ AF = AE = 12。 在 Rt△DBE 和 Rt△DCF 中： DB = DC（已知）， DE = DF（已知）， ∴ Rt△DBE ≌ Rt△DCF（HL）， ∴ CF = BE = 3。 由图可知，点 C 在点 A 和点 F 之间， ∴ AC = AF − CF = 12 − 3 = 9。 14. 连接BD。 ∵ DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，且DE=DF， ∴ 点D到AB和BC的距离相等， ∴ BD平分∠ABC（角平分线的判定）。 ∴ ∠ABD=∠DBC。 又∵ D是AC的中点， ∴ AD=DC。 ∴ S△ABD = S△CBD（等底AD=DC，同高）。 又∵ S△ABD = × AB × DE，S△CBD = × BC × DF，且DE=DF， ∴ AB=BC。 又已知AB=AC， ∴ AB=BC=AC。 ∴ △ABC是等边三角形。 15. ∵ CD，AE为△ABC的两条高 ∴ ∠ADC = ∠CDB = 90°，∠AEB = 90° ∵ ∠EAB + ∠B = 90°，∠DCB + ∠B = 90° ∴ ∠EAB = ∠DCB（同角的余角相等） ∵ 在△ADF和△CDB中 ∴ △ADF ≌ △CDB（ASA） ∴ AF = BC ∵ AE = AF + EF ∴ AE = BC + EF 16.在 Rt△ADB 和 Rt△BCA 中： ∵ ∠D = ∠C = 90°， AB = BA（公共边）， AD = BC（已知）， ∴ Rt△ADB ≌ Rt△BCA（HL）。 ∴ AC = BD（全等三角形的对应边相等）。 17. 解： 连接BE。 ∵ ∠A = 90°，ED⊥BC， ∴ ∠A = ∠BDE = 90°。 在Rt△ABE和Rt△DBE中， ∵ AB = BD，BE = BE， ∴ Rt△ABE ≌ Rt△DBE（HL）。 ∴ AE = DE。 ∴ △CDE的周长 = CD + DE + CE = CD + AE + CE = CD + AC。 ∵ AC = 10，CD = 3， ∴ △CDE的周长 = 3 + 10 = 13。 18. 证明：∵ ∠C = ∠AED = 90°， ∴ △ABC 和 △DAE 都是直角三角形。 在 Rt△ABC 和 Rt△DAE 中： AB = DA（已知，斜边相等）， BC = AE（已知，一条直角边相等）， ∴ Rt△ABC ≌ Rt△DAE（HL）。 19. 证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴ ∠BEO = ∠CDO = 90°。 在△BOE和△COD中： ∠BEO = ∠CDO = 90°（已证）， ∠BOE = ∠COD（对顶角相等）， OB = OC（已知）， ∴ △BOE ≌ △COD（AAS）。 ∴ OE = OD（全等三角形对应边相等）。 ∵ CE⊥AB，BD⊥AC， ∴ ∠AEO = ∠ADO = 90°（即△AOE和△AOD都是直角三角形）。 在Rt△AOE和Rt△AOD中： OE = OD（已证，直角边相等）， AO = AO（公共斜边）， ∴ Rt△AOE ≌ Rt△AOD（HL）。 ∴ ∠1 = ∠2（全等三角形对应角相等）。 20.证明：∵ DF⊥AB，∠ACB=90°， ∴ ∠AED = ∠ACB = 90°。 在Rt△ADE和Rt△ABC中： AD = AB（已知）， AE = AC（已知）， ∴ Rt△ADE ≌ Rt△ABC（HL）。 ∴ DE = BC，∠D = ∠B。 连接AF。 在Rt△AEF和Rt△ACF中： AE = AC（已知）， AF = AF（公共边）， ∠AEF = ∠ACF = 90°， ∴ Rt△AEF ≌ Rt△ACF（HL）。 ∴ EF = CF。 ∴ DF = DE + EF = BC + CF。 21. （1）∵ ∠EAC = ∠DAB = 60°， ∴ ∠BAC = ∠DAE = 60° + ∠BAE. 又 ∵ AB = AD，AC = AE， ∴ △ABC ≌ △ADE（SAS）. （2）∵ △ABC ≌ △ADE， ∴ ∠E = ∠C. 又 ∵ ∠AOC = ∠BOE， ∴ ∠CGE = ∠CAE = 60°. （3）理由如下： 如图，作 AH⊥CG 于点 H，则 ∠AHG = 90°. ∵ AF⊥DE， ∴ ∠AFD = ∠AFG = 90°， ∴ ∠AHG = ∠AFD = ∠AFG. 由（1）知：△ABC ≌ △ADE（SAS）， ∴ ∠ABC = ∠ADE. 又 ∵ AD = AB， ∴ △AFD ≌ △AHB（AAS）， ∴ AF = AH，DF = BH. 在 Rt△AFG 和 Rt△AHG 中，AF = AH，AG = AG， ∴ Rt△AFG ≌ Rt△AHG（HL）， ∴ FG = HG. ∵ HG = BG + BH， ∴ GF = BG + DF. 学科网（北京）股份有限公司 $