1.5.1 全称量词与存在量词 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦全称量词与存在量词，系统讲解其概念、符号表示及命题真假判断，通过“探究一”“探究二”对比含变量陈述句与加量词后的命题，从已有命题知识自然过渡，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，结合数学眼光抽象量词概念，通过素数是否为奇数、方程解的存在性等实例培养数学思维中的推理能力，用∀、∃符号强化数学语言表达。小结梳理核心内容，帮助学生构建知识体系，教师使用可提升教学针对性与学生参与度。

1.5 全称量词与存在量词 1.5.1 全称量词与存在量词 在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题. 但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词. 本节将学习全称量词和存在量词，以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定. 我们知道，命题是可以判断真假的陈述句. 全称量词 下列语句是命题吗? (1)x＞3 (2)2x＋1是整数 (3)对所有的x∈R，x＞3 (4)对任意一个x∈Z，2x＋1是整数 是 是 不是 不是 (3)在(1)的基础上，用量词“所有的”对变量x进行限定； (3)(4) 全称量词命题 (4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定. 命题：可以判断真假的陈述句 探究一 (1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系? 一、全称量词命题 1、全称量词及表示: 定义：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫全称量词。 表示：用符号“∀”表示 2、全称量词命题及表示: 定义：含有全称量词的命题，叫全称量词命题。 常见的全称量词还有“一切”， “每一个” “任给”等 . 例如：(1)对任意的n∈Z，2n＋1是奇数； (2)所有的正方形都是矩形. 一、全称量词命题 2、全称量词命题及表示: 定义：含有全称量词的命题，叫全称量词命题。 全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为:∀x∈M，p(x). 读作：“对任意x属于M，有p(x)成立”。 通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么， 例1、判断下列全称量词命题的真假. (1) 所有的素数都是奇数; (2)∀x∈R，|x|＋1≥1； (3) 对每一个无理数x，x2也是无理数 解: (1)∵2是素数，但不是奇数. ∴全称命题(1)是假命题 (2)∵∀x∈R，|x|≥0，从而|x|＋1≥1 ∴全称命题(2)是真命题 (3)∵ 是无理数，但 是有理数 ∴全称命题(3)是假命题 思考：如何判断全称量词命题的真假？ 以“对M中任意一个x，有p(x)成立 ”为例，方法: 若判断其为真命题，则需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立. 若判断其为假命题，则只需在集合M中找到一个元素x, 使得p(x)不成立即可（举反例）. 探究二 存在量词 下列语句是命题吗? (1)2x＋1＝3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x∈R，使2x＋1＝3； (4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除. (3)在(1)的基础上，短语“存在一个”对变量x的取值进行限定，使(3)变成了可以判断真假的语句; 不是 不是 是 是 (4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使(4)变成了可以判断真假的语句. (3)(4) 存在量词命题 (1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系? 二、存在量词命题 1、存在量词及表示： 定义： 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词。 表示：用符号“∃”表示 2、存在量词命题及表示： 定义：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. 例如：(1)有一个素数不是奇数； (2)有的平行四边形是菱形 常见的存在量词还有 “有些”，“有一个”， “对某个”，“有的”等 . 二、存在量词命题 2、存在量词命题及表示： 定义：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. 存在量词命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为 ∃x∈M，p(x). 读作：“存在一个x属于M，使p(x)成立”. 通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么， 下列语句是不是全称量词命题或存在量词命题 (1) 有一个实数a，a不能取倒数； (2) 所有不等式的解集A，都是A⊆R； (3) 有的四边形不是平行四边形。 存在量词命题 全称量词命题 存在量词命题 例3、判断下列存在量词命题的真假 (1)有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0; (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线; (3)有些平行四边形是菱形. 解:(1)由于△＝22－4×3＝-8<0，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在. (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线是互相平行的，因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线. 所以，存在量词命题(1)是假命题. 所以，存在量词命题(2)是假命题. (3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。 思考：如何判断存在量词命题的真假？ 以“存在M中的一个x，使p(x)成立 ”为例，方法: 若判断其为真命题，则只需在集合M中找到一个元素x，使得p(x) 成立即可 （举例说明）. 若判断其为假命题，则需要证明集合M中，使p(x)成立的元素x不存在. 课堂练习 2、(P28T2)判断下列存在量词命题的真假 (1)存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直； (2)至少有一个整数n，使得n2＋n为奇数； (3)∃x∈{y|y是无理数}，x2是无理数. 1、(P28T1)判断下列全称量词命题的真假 (1)每个四边形的内角和都是360°； (2)任何实数都有算术平方根； (3)∀x∈{y|y是无理数}，x3是无理数. 真 假 假 真 假 真 课堂练习 3、判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假. (1)存在实数x使x2＋1＜0； (2)有些菱形是正方形； (3)正数的绝对值是它本身； (4)若x＞1，则2x＞3. 存在量词命题，假 存在量词命题，真 全称量词命题，真 全称量词命题，假 课堂小结 1、全称量词与全称量词命题，存在量词与存在量词命题的概念； 2、如何判定全称量词命题与存在量词命题的真假性． 作业：1、金版对应练习 2、预习1.5.2 $