3.2 函数与方程、不等式之间的关系（第2课时）（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数零点存在定理及二分法，通过猜数字游戏（0-100整数猜数，每次取中间值缩小范围）导入，承接上节课函数零点知识，借助互动探究、图象模型等学习支架，构建从定理理解到二分法应用的知识脉络。 其亮点是互动式导入激发兴趣，通过二分法“不断缩小区间”的迭代过程，让学生体会逼近思想与算法思想。以数学眼光抽象游戏原理，用数学思维推理零点存在条件与二分步骤，结合典型例题和针对训练强化应用，帮助学生提升逻辑推理与数学运算能力，为教师提供清晰教学流程与丰富实例。

第三章 函数 （第二课时） 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 理解函数零点存在定理，会判断零点是否存在；掌握二分法的原理与步骤，能用二分法求函数零点的近似值。 经历二分法“不断缩小区间”的迭代过程，体会逼近思想、算法思想，提升逻辑推理与数学运算能力。感受二分法在实际估算中的价值，体会有限运算逼近无限精确的数学魅力。 猜数字游戏 我们来玩一个猜数字游戏。心里想好一个0～100之间的整数，我来猜，大家只需要告诉我“大了”或“小了”。 （互动示例：我猜50，若小了→范围锁定51~100；再猜75……每次砍掉一半范围，快速逼近答案） 刚刚每次取中间值，把范围缩小一半，这种“对半缩小范围，逐步逼近目标”的思路，就是今天我们要学习的二分法。上节课我们学习了函数零点，很多方程很难求出精确根，我们就可以用这种思路求零点的近似值。 目标一：零点存在定理 认知冲突 知识讲解 互动探究 新课引入 关于𝑥的一元一次方程 𝑘𝑥+𝑏=0 (𝑘≠0) 的求根公式为， 一次函数、二次函数的零点是否存在，并不难判别，这是因为一元一次方程、一元二次方程实数解的情况，都可以根据它们的系数判别出来，而且有实数根的时候，都能够写出求根公式 但是, 对于次数大于或等于 3 的多项式函数 (例如 𝑓(𝑥)=𝑎++𝑐𝑥+𝑑，其中 𝑎≠0)，以及其他表达式更复杂的函数来说，判断零点是否存在以及求零点, 都不是容易的事 (事实上, 数学家们已经证明: 次数大于 4 的多项式方程, 不存在求根公式). 什么情况下一个函数一定存在零点呢？ 5 图象模型 知识讲解 互动探究 新课引入 如图所示, 已知𝐴, 𝐵都是函数𝑦=𝑓(𝑥)图象上的点, 而且函数图象是连接𝐴, 𝐵两点的连续不断的线, 作出3种𝑦=𝑓(𝑥)的可能的图象. 判断 𝑓(𝑥) 是否一定存在零点 总结出一般规律. 可以看出，函数 𝑓(𝑥) 在区间 (𝑎, 𝑏) 中一定存在零点 6 函数零点存在定理 知识讲解 互动探究 新课引入 如果函数 𝑦=𝑓(𝑥) 在区间 [𝑎,𝑏] 上的图象是连续不断的，并且 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)<0 (即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数 𝑦=𝑓(𝑥) 在区间 (𝑎,𝑏) 中至少有一个零点，即 ∃ ∈(𝑎, 𝑏), 𝑓()=0. 一般地，解析式是多项式的函数的图象都是连续不断的. 注意：反比例函数 𝑦=的图象不是连续不断的. 7 [多选题]若函数 𝑦=𝑓(𝑥) 在区间 [𝑎,𝑏] 上的图象是一条连续不断的曲线， 则下列说法中正确的是 （ ） A. 若 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)>0，则一定不存在实数 𝑐∈[𝑎,𝑏]，使得 𝑓(𝑐)=0 B. 若 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)>0，则可能存在实数 𝑐∈ [𝑎,𝑏]，使得 𝑓(𝑐)=0 C. 若 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)<0,则一定存在实数𝑐∈[𝑎,𝑏],使得 𝑓(𝑐)=0 D. 若 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)<0,则存在且只存在一个实数 𝑐∈[𝑎,𝑏],使得 𝑓(𝑐)=0 对点体验 解析 ▶ 如图 所示,当 , 时,函数图象与 轴可以有一个或两个交点,还可以没有交点,故 A 不正确,B 正确. 由函数零点存在定理 可知 C 正确. 如图, 此时 , 但函数 图象与 轴有三个交点, 故 D 不正确. 答案 ▶ BC 求证：函数𝑓(𝑥)=−2𝑥+2至少有一个零点. 对点体验 证明：因为 所以 因此 即结论成立. 此题中的函数在区间(−2,0)中存在零点，但是不难看出，求出的精确值并不容易，那么，能不能想办法得到这个零点的近似值呢？ 知识剖析 1. 利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在,而不能确定零点的个数. 如图 (1)(2),虽然都有𝑓(𝑎)⋅𝑓(𝑏)<0,但图 (1)中的函数在区间(𝑎,𝑏)内有4个零点,图 (2)中的函数在区间(𝑎,𝑏)内仅有1个零点. 对函数零点存在定理的理解 2、若函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象是一条连续不断的曲线,则由函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间(𝑎,𝑏)内存在零点不一定能推出𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)<0. 如图（3）,虽然在区间(𝑎,𝑏)内函数𝑓(𝑥)有零点,但𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)>0. 3、如果单调函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间[𝑎,𝑏]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)<0,那么函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间(𝑎,𝑏)内有唯一的零点.(该结论常用来证明函数在给定区间上零点的唯一性) （3） 目标二：二分法求函数零点近似值 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地, 求的近似值, 可以通过计算区间中点函数值, 从而不断缩小零点所在的区间来实现, 具体计算过程可用如下表格表示. 零点所在区间 区间中点 中点对应的函数值 取中点作为近似值时误差小于的值   操作过程 其中第2行的区间是(−2, −1)，这是因为𝑓(−2)𝑓(−1)<0，其他区间都是用类似方式得到的. 最后一行的函数值没有计算, 是因为不管∈(−2, −], 还是𝑥_0∈(−, −], 我们都可以将−看成的近似值, 而且误差小于 按照类似的方式继续算下去, 可以得到精确度更高的近似值. 上述这种求函数零点近似值的方法称为二分法. 12 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地, 求的近似值, 可以通过计算区间中点函数值, 从而不断缩小零点所在的区间来实现, 具体计算过程可用如下表格表示. 零点所在区间 区间中点 中点对应的函数值 取中点作为近似值时误差小于的值   操作过程 其中第2行的区间是(−2, −1)，这是因为𝑓(−2)𝑓(−1)<0，其他区间都是用类似方式得到的. 最后一行的函数值没有计算, 是因为不管∈(−2, −], 还是𝑥_0∈(−, −], 我们都可以将−看成的近似值, 而且误差小于 按照类似的方式继续算下去, 可以得到精确度更高的近似值. 上述这种求函数零点近似值的方法称为二分法. 13 知识讲解 互动探究 新课引入 对于图象在区间[𝑎,𝑏]上不间断,且满足𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)<0的函数𝑦=𝑓(𝑥),通过不断地把函数𝑓(𝑥)的零点所在的区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 二分法的概念 用二分法求函数零点的近似值的步骤 在函数零点存在定理的条件满足时(即𝑓(𝑥)在区间[𝑎, 的图象是连续不断的，且𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)<0)，给定近似的精度𝜀， 分法求零点的近似值，使得|𝑥|<𝜀的一般步骤如 14 知识讲解 互动探究 新课引入 步骤 第一步 检查 |𝑏−𝑎|≤2 𝜀 是否成立, 如果成立, 取 = , 计算结束; 如果不成立, 转到第二步. 第二步 计算区间 (𝑎,𝑏) 的中点 对应的函数值, 若 𝑓)=0, 取 , 计算结束; 若 𝑓()≠0, 转到第三步. 第三步 若 𝑓(𝑎)𝑓)<0, 将 的值赋给 𝑏 (用 →𝑏 表示, 下同), 回到第一步; 否则必有 𝑓(. 𝑓(𝑏)<0, 将 的值赋给 𝑎, 回到第一步. 15 用二分法研究函数𝑓(𝑥)=+8−1 的零点时,经过第一次计算得𝑓(0)< 0,𝑓(0.5)>0,则其中一个零点所在 的区间和第二次应计算的函数值分别 为 （ ） (0,0.5),𝑓(0.125) B. (0.5,1),𝑓(0.25) C. (0.5,1),𝑓(0.75) D. (0,0.5),𝑓(0.25) 对点体验 解析 ▶ 因为,所以 ,故由用二分法求函数零 点的步骤,知,第二次应计 算的函数值为. 答案 ▶ D 目标三：典型例题 题型1确定函数零点所在的区间 例1 函数 𝑓(𝑥)=++1 在下列区间一定存在零点的 为 （ ） A. (−3,−2) B. (−2,−1) C. (−1,0) D. (0,1) 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ 因为 𝑓(−3)=−17,𝑓(−2)=−3<0， 𝑓(−1)=1>0,𝑓(0)=1,𝑓(1)=3，所以 𝑓(−2)𝑓(−1)<0. 又函数𝑓(𝑥)的图象在区间[−2,−1]上是连续不间断的，所以函数𝑓(𝑥)在区间(−2,−1)上一定存在零点. 答案 ▶ B 题型2求参数的取值范围 例2 设𝑓(𝑥)=−3𝑥+𝑎,若函数𝑓(𝑥)在区间(1,3)内有零点,则实数𝑎的取值范围为______. 典例分析 牛刀小试 解析 方法1 显然函数图象的对称轴是直线,根据二次函数的性质可知. 因为函数在区间内有零点,所以或,解得. 题型3 用二分法求方程近似解 例3 求方程 的一个正的近似解（精度0.1） 典例分析 牛刀小试 解析 ▶ 设，易知的图象是连续不断的. 因为，所以可以取区间作为计算的初始区间. 用二分法逐步计算，列表如下： 构造函数𝑓(𝑥)= −2𝑥−1 → 确定正零点所在的区间为(2,3) → 用二分法求出函数𝑓(𝑥) 的一个零点的近似值 → 得方程的一个 正的近似解 区间端点值或区间中点值 计算端点或中点的函数值 定区间     题型3 用二分法求方程近似解 例3 求方程 的一个正的近似解（精度0.1） 典例分析 牛刀小试 由上表的计算可知,区间的长度小于0.2,因此可取2.437 5 作为函数的一个零点的近似值, 从而方程的一个正的近似解为2.437 5. 构造函数𝑓(𝑥)= −2𝑥−1 → 确定正零点所在的区间为(2,3) → 用二分法求出函数𝑓(𝑥) 的一个零点的近似值 → 得方程的一个 正的近似解 目标四：针对训练 举一反三 1.若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点 A. B. C. D. 解析：令，因为， 所以，又，， 则，又因为，所以 故选：B 举一反三 2.用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是() A. B. C. D. 解析：因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或，当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或；当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或；故选：D. C. D. 举一反三 3.用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 解析：由表格可得，函数的零点在区间内，且 ，结合选项可知，方程的近似解可取. 故选：C. 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 则当精确度为 0.1 时，方程+2x-9=0的近似解可取() A.1.6 B.1.7 C.1.8 D.1.9 举一反三 4.用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）时， 依次计算得到如下数据：，，， ，则下列说法正确的是() A.函数在上不一定有零点 B.已经达到精确度，可以取1.375作为近似值 C.没有达到精确度，应该接着计算 D.没有达到精确度，应该接着计算 解析：对于 A，因为 ，且 连续，所以根据函数零点存在定理知， 在 上一定有零点，故 A 错误； 对于 B，C，D，，没有达到精确度的要求，应该接着计算 ，故 B 错误，C 错误，D 正确.故选 D. 举一反三 5.用二分法研究函数的零点时，通过计算得:，，则下一步应计算，则) A.0 B. C. D. 解析：因为，，且函数图象连续不断，所以函数在区间内有零点，所以下一步应计算，，故选:C. 目标五 ：小结 学海拾贝 零点存在定理： 连续函数f(x)，若f(a)⋅f(b)<0，则区间(a,b) 内至少存在一个零点。 ⚠️注意：定理只能判断零点存在，不能确定零点个数；f(a)f(b)≥0不能判定有无零点。 二分法核心思想： 区间不断对半分割，利用零点存在定理，保留包含零点的子区间，逐步缩小零点所在范围，达到要求精度，得到近似值。 学海拾贝 二分法步骤： 定区间→求中点→算中点函数值→判断零点所在新区间→重复直到区间长度满足精度→取近似值。 数学思想： 函数与方程思想、逼近思想、算法思想。 易错点回顾：二分法只适用于连续函数，且区间两端函数值异号；近似值可以取区间内任意数，常取区间中点。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $