3.1.3函数的奇偶性（第2课时）（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数奇偶性的综合应用，涵盖求值、求解析式、求参数及与单调性、对称性的综合问题。课堂导入通过复习奇偶性与单调性概念，以“比较f(-3)与f(2)大小”的问题为支架，衔接单一性质学习与综合应用探究。 其亮点在于以“问题链”驱动，通过构造奇函数求最值、利用奇偶性与单调性解不等式等实例，渗透转化化归、数形结合的数学思维，培养逻辑推理与数学运算能力。小结梳理常见题型与核心思路，帮助学生形成系统认知，也为教师提供清晰的教学路径。

第三章 函数 3.1.3函数的奇偶性（2） 3.1函数的概念与性质 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 学生能进一步巩固函数奇偶性、单调性的概念，掌握利用奇偶性与单调性综合解决”对称区间单调性判断、函数值大小比较、解函数不等式、参数范围求解”这类问题的方法，提升数学运算与逻辑推理能力。 通过对典型问题的探究与求解，体会数形结合、转化与化归、分类讨论等数学思想的应用，经历从单一性质到性质综合应用的知识迁移过程，提升分析问题、解决问题的能力。 复习衔接 上一节课我们认识了函数奇偶性的概念，也学会了如何判断一个函数的奇偶性；之前我们也学习了函数单调性——这两个都是函数非常重要的局部/整体性质，它们能不能结合起来解决更复杂的函数问题呢？ 我们先来看一个小问题：已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上单调递增，你能比较f(-3)和f(2)的大小吗？ 相信很多同学都能想到：因为(f(x))是偶函数，所以f(-3)=f(3)，又因为(3>2)，f(x)在[0,+∞)递增，因此f(3)>f(2)，也就是f(-3)>f(2)。你看，这个简单的问题就同时用到了奇偶性和单调性两个性质。 那还有哪些问题需要我们结合两个性质来解决？解决这类问题有什么通用思路？今天这节课我们就一起来探究——奇偶性的综合应用。 目标一：应用奇偶性求值 奇偶函数求值 知识讲解 互动探究 新课引入 1.已知f(x)=+a+bx-8，且f(-2)=10，则f(2)等于 ( ) A.-26 B. -18 C. -10 D. 10 解析▸方法1令，易知是上的奇函数，从而，又， ，， ， . （方法1中需构造函数，且要多次转化，对奇偶性的理解程度要求较高） 5 奇偶函数求值 知识讲解 互动探究 新课引入 1.已知f(x)=+a+bx-8，且f(-2)=10，则f(2)等于 ( ) A.-26 B. -18 C. -10 D. 10 方法2 由已知条件，得 得。 又。 6 奇偶函数求值 知识讲解 互动探究 新课引入 2、已知 f(x)= 的最大值为M,最小值为m,求M+m的值. g(x)= 为奇函数. =4 7 目标二：应用奇偶性求解析式 利用奇偶函数图象求解析式 知识讲解 互动探究 新课引入 1、已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为 （） 解析▸由题图可知函数的定义域为， 且为偶函数，易得与 均为奇函数，排除选项A,B. 由题图可知当 时，，易得当时，， ，排除C，故选D. 答案▸D 9 利用奇偶函数性质求解析式 知识讲解 互动探究 新课引入 2、(1)已知函数f(x)是偶函数,且当x>0时,f(x)=x(1+x),试求当x<0时,f(x)的解析式. (2)已知函数f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x+1,试求f(x)的解析式. 解析 (1)当时,,.函数为偶函数,, 当时,. (2)当时,, . 又函数是定义域为的奇函数, (奇函数在处有定义, 则必有,但对于偶函数不一定成立) . 当 时,. 当 时,. 综上可得,的解析式为 10 利用函数奇偶性求函数解析式的方法 已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下:①求哪个区间上的解析式,x就设在那个区间上;②把x对称转化到已知区间上,代入到已知区间上的函数解析式中;③利用f(x)的奇偶性将f(-x)用-f(x)或f(x)表示,从而求出f(x). 目标三：应用奇偶性求参 奇偶函数求参 知识讲解 互动探究 新课引入 1. (1)已知函数f(x)=a+2x是奇函数，则实数a=(2)若函数f(x)=a+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a+b=. 解析 (1) 由奇函数的定义得 ,即 ,故 . (2)因为偶函数的定义域关于坐标原点对称,所以 ,解得 ,则 ,结合 偶函数的图象特征,易得 ,得 . 故 . 13 奇偶函数求参 知识讲解 互动探究 新课引入 2、设函数f(x为奇函数，则 a=。 第一步：化简函数表达式 可以拆分为： 第二步：代入计算 先求 ： 而 第三步：比较 与 令两者相等：， ， 14 目标四：奇偶性与增减性综合 模拟函数图象 知识讲解 互动探究 新课引入 1.研究函数y= 的性质，并作出函数图象 解析 ． 要使函数表达式有意义，需有，因此函数的定义域为 从而可知函数的图象有左右两部分． 设，则对任意，都有，而且 所以函数是偶函数，函数的两部分图象关于轴对称． 下面研究函数在区间上的性质及图象． 16 模拟函数图象 知识讲解 互动探究 新课引入 1.研究函数y= 的性质，并作出函数图象 研究函数的性质，并作出函数图象． 因为，时，有 所以在上是减函数． 又因为时，，所以函数图象在右边的部分一定在第一象限． 列出部分函数值如下表所示，然后可以描点作图 17 知识讲解 互动探究 新课引入 再根据函数是偶函数，可以得出函数的图象 模拟函数图象 18 知识讲解 互动探究 新课引入 奇偶性与增减性的关联 不难看出, 如果y=f(x)是偶函数, 那么其在x>0与x<0时的单调性相反; 如果y=f(x)是奇函数, 那么其在x>0 与x<0时的单调性相同. 简称：奇同偶异 19 比大小 知识讲解 互动探究 新课引入 2.若偶函数f(x)在(-∞,-1]上单调递增，则 （ ） A.f(-)<f(-1)<f(2) B.f(-1)<f(-)<f(2) C.f(2)<f(-1)<f(-) D.f(2)<f(-)<f(-1) 解析 是偶函数，， 又在上单调递增，， ，即. 20 解不等式 知识讲解 互动探究 新课引入 3、已知奇函数f(x)是定义在(-1,1)上的减函数,则不等式f(1-x)+f(1-3x)<0的解集为 解析 ， 即 ， 因为 是奇函数，所以 . 又函数 是定义在 上的减函数， 所以 解得 .故所求不等式的解集为. 21 奇偶性与单调性综合的两种题型及解法 比较大小问题. 一般解法是利用奇偶性,把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化为在同一单调区间上的自变量的函数值,然后利用单调性比较大小. 抽象不等式问题. 解题步骤如下: (1) 将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系; (2) 利用单调性“脱去”符号“f”,转化为解不等式(组)的问题. 需要注意的是:①在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上;②当不等式一边没有符号“f”时,需要转化为含有符号“f”的形式,如0=f(1),f(x-1)<0,则f(x-1)<f(1);③偶函数中f(x)=f(|x|)的灵活应用. 目标五：奇偶性与对称性综合 轴对称 知识讲解 互动探究 新课引入 初中时，我们就在观察图象的基础上总结出图象关于y轴对称的坐标特征， 但当时并没有给出严格的证明. 为了证明函数的图象关于x=0(即y轴)对称， 只需证明x轴上关于原点对称的两点对应的函数值相等，那么该怎样证明 函数的图象关于x=-2对称呢？ 求证：二次函数f(x)=+4x+6的图象关于x=-2对称 任取h∈R，因为 f(-2+h)=+4(-2+h)+6=+2, f(-2-h)=+4(-2-h)+6=+2, 所以f(-2+h)=f(-2-h)，这就说明函数的图象关于x=-2对称. 24 中心对称 知识讲解 互动探究 新课引入 怎样才能证明函数的图象关于点 (3, 0) 对称? 一般地, 怎样证明函数的图象关于点 (a, b) 对称? 要证明函数图象关于点(3,0) 对称, 只需证明f(3+h)=-f(3-h).要证明函数图象关于点(a,b)对称, 只需证明f(a+h)=-f(a-h)+2b. 25 奇偶函数与对称性 知识讲解 互动探究 新课引入 1. 已知y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，它们的定义域都是[-3,3],且它们在x∈[0, 3]时的图象如所示,则不等式 <0的解集为 ( ) A.(1,2) B.(0,1)∪(2,3) C.(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3) D.(-3,-2)∪(-1,1)∪(2,3) 解析 已知 是偶函数,是奇函数,根据函数图象的对称性画出在上的图象如图 所示.由图可知或， 或，或 ，或. 当时，异号m,  由图可知不等式的解集是. 答案▶C 26 奇偶函数与对称性 知识讲解 互动探究 新课引入 2.设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则 （ ） A.f(-)=0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 解析▶因为函数是偶函数,所以,则函数的图象关于直线对称. 因为函数是奇函数,所以,则,且函数的图象关于点对称.因为函数是奇函数,所以,则,且函数的图象关于点对称. ， （图象关于对称） 即,则,所以, 又函数的图象关于直线对称,所以. 答案 B 27 奇偶函数与对称性 知识讲解 互动探究 新课引入 3. (1)定义在R上的函数f(x)在(-∞, 2)上单调递增,且f(x+2)为偶函数,则 （ ） A.f(-1)<f(3) B.f(0)>f(3) C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3) (2)设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x) 的图象关于直线x=对称,则f(1)+f(2)+ f(3)+f(4)+f(5)= 解析(1)因为为偶函数,所以其图象关于 轴对称,由于的图象可由的图象向左平 移个单位长度得到,故的图象关于直线对称. 因为函数在 上单调递增,所以在上单调递减, 所以. (2)是上的奇函数,则. 因为的图象关于直线对称,于是 , 所以,, ,, ,从而 . 答案 (1)A (2) 28 解决奇偶性与对称性综合问题的策略 解决奇偶性与对称性的综合问题时要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再利用适合的式子判断函数图象的对称轴或对称中心. 也可利用图象变换关系得出函数图象的对称轴或对称中心.总之，要充分利用条件进行适当转化. 偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称，这一结论可以推广如下： (1) y=f(a+x)是偶函数⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)的图象关于直线x=a对称； (2) y=f(a+x)是奇函数⇔f(a-x)=-f(a+x)⇔f(x)的图象关于点(a,0)中心对称. 目标六：针对训练 举一反三 1.已知奇函数在上单调递减，则( ) A. B. C. D. 解析: 已知奇函数在上单调递减，，又 ，即，A 正确，B 错误； ，，C 错误； ，，D 错误. 举一反三 “” 是 “函数在区间上为减函数” 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件   解析: 函数在上单调递减,在上单调递增. 所以“ 可以得到”函数在区间上为减函数“, 但”函数 在区间上为减函数" 可得 “”. 故 “” 是 “函数在 区间上为减函数” 的充分不必要条件. 故选:A 举一反三 3.若函数为奇函数，则必有() A. B. C. D. 解析：为奇函数，. 又，.故选 B. 举一反三 4.已知函数是定义在区间上的奇函数,则 A.0 B.1 C.2 D.4 解析: 函数是定义在区间上的奇函数，则 ，解得，定义域为，则，得. 验证: ，定义域为，，则函数为奇函数，满足题意.故.故选C. 举一反三 5.函数是定义在上的偶函数，则 A. B. C. D. 解析: 由偶函数的定义, 知关于原点对称, 所以, 解得. 又为偶函数, 所以, 故 所以. 目标七：小结 学海拾贝 常见题型梳理： 我们一共接触了四类典型的综合问题：利用奇偶性推导对称区间的单调性、结合两个性质比较函数值大小、解抽象/具体函数不等式、根据性质求解参数的取值范围。 核心解题思路：解决这类问题的核心转化逻辑是——利用奇偶性，把待求解问题从陌生区间转化到我们已知单调性的区间，化未知为已知，这个过程中我们也体会了数形结合、转化化归这些数学思想的作用。 学海拾贝 注意事项提醒： 解决所有函数问题，都要时刻牢记”定义域优先”的原则，在求解参数范围、写不等式解集的时候，一定不能忽略定义域的限制。 课后大家可以通过练习巩固今天学习的思路，加深对函数两个基本性质内在联系的理解。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $