3.1.3 第一课时 函数的奇偶性（课时跟踪检测）-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书word（人教B版）

**基本信息** 分层梯度清晰，从奇偶性概念辨析到综合应用，适配新授课知识巩固，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|奇偶性定义判断、简单函数奇偶性识别|单选（如第1、4题）直接考查概念，巩固抽象能力| |中档|奇偶性与定义域、解析式结合|填空（如第6、8题）需利用定义域对称性求参，培养推理能力| |提升|奇偶性与图象、抽象函数综合应用|解答题（如第12题）证明抽象函数奇偶性，作图题（第9题）体现几何直观，发展创新意识|

第一课时　函数的奇偶性 1.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（　　） A.f（x）＝x2　　　　　 B.f（x）＝ C.f（x）＝｜x｜ D.f（x）＝2x 2.已知函数f（x）＝x2＋bx＋a，x∈[3a，a＋2]是偶函数，则a＋b＝（　　） A.0 B. C.－ D.不确定 3.函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝4x＋m，则f＝（　　） A.1 B.－2 C.－1 D.－ 4.函数f（x）＝是（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.既非奇函数也非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数 5.〔多选〕若f（x）与g（x）分别为定义在R上的偶函数、奇函数，则函数h（x）＝f（x）g（x）的部分图象可能为（　　） 6.若定义在（－1，1）上的奇函数f（x）＝，则常数m，n的值分别为　　　　. 7.（2025·潍坊期末）已知函数f（x）＝x2 025＋ax3＋bx＋1，且f（－2 024）＝10，则f（2 024）＝　　　　. 8.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2－x，则f（1）－g（1）＝　　　. 9.已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2＋2x.现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示. （1）请补出函数y＝f（x）的完整图象； （2）根据图象写出函数y＝f（x）的增区间； （3）根据图象写出使f（x）＜0的x的取值集合. 10.已知函数f（x）＝｜x－1｜＋a｜x＋1｜，则“a＝－1”是“f（x）为奇函数”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.〔多选〕已知函数f（x）＝，则（　　） A.函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞） B.函数f（x）为偶函数 C.函数在区间（0，＋∞）上单调递增 D.当x＞0时，函数的最小值为2 12.已知函数f（x）对一切x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）. （1）判断函数f（x）的奇偶性，并给与证明； （2）若f（－3）＝a，试用a表示f（15）. 13.我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x＋a）－b为奇函数.则函数f（x）＝x3＋3x2图象的对称中心为（　　） A.（－1，2） B.（－1，－2） C.（1，2） D.（1，－2） 14.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，如果存在实数m，n使得h（x）＝mf（x）＋ng（x），那么称h（x）为f（x），g（x）在R上生成的函数.设f（x）＝x2＋x，g（x）＝x＋2，若h（x）为f（x），g（x）在R上生成的一个偶函数，且h（1）＝3，求函数h（x）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.3　函数的奇偶性 第一课时　函数的奇偶性 1.D　对于A，函数f（x）＝x2为偶函数，故A错误；对于B，函数f（x）＝为奇函数，在（0，＋∞）上单调递减，故B错误；对于C，函数f（x）＝｜x｜为偶函数，故C错误；对于D，函数f（x）＝2x的定义域为R，f（－x）＝－2x＝－f（x），所以f（x）＝2x为奇函数，易知其为增函数，故D正确.故选D. 2.C　因为函数f（x）＝x2＋bx＋a，x∈[3a，a＋2]是偶函数，所以3a＋a＋2＝0，解得a＝－.由f（x）＝f（－x），得x2＋bx＋a＝（－x）2＋b（－x）＋a，解得b＝0.所以a＋b＝－.故选C. 3.B　由函数f（x）为定义在R上的奇函数，得f（0）＝0，解得m＝0，所以f（x）＝4x（x≥0）. 所以f＝4×＝2.所以f＝－f＝－2.故选B. 4.C　作出函数图象如图，由于f（0）＝－3，所以函数图象不关于原点对称，由图可知函数图象不关于y轴对称，故f（x）为非奇非偶函数.故选C. 5.AC　因为f（x）与g（x）分别为定义在R上的偶函数、奇函数，所以h（－x）＝f（－x）g（－x）＝－f（x）g（x）＝－h（x），所以函数h（x）＝f（x）g（x）为奇函数，所以h（x）的图象关于原点对称.故选A、C. 6.0，0　解析：由已知得f（0）＝0，故m＝0. 由f（x）是奇函数，知f（－x）＝－f（x）， 即＝－， ∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，∴n＝0. 7.－8　解析：设g（x）＝x2 025＋ax3＋bx，则f（x）＝g（x）＋1，由g（－x）＝（－x）2 025＋a（－x）3＋b（－x）＝－x2 025－ax3－bx＝－g（x），可得g（x）为奇函数，因为f（－2 024）＝g（－2 024）＋1＝10，解得g（－2 024）＝9，故g（2 024）＝－9，于是f（2 024）＝g（2 024）＋1＝－8. 8.2　解析：因为f（x）＋g（x）＝x2－x，所以有f（－1）＋g（－1）＝（－1）2－（－1）＝2， 因为f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数， 所以f（－1）＝f（1），g（－1）＝－g（1），因此由f（－1）＋g（－1）＝2⇒f（1）－g（1）＝2. 9.解：（1）由题意作出函数图象如图： （2）由图可知，单调增区间为（－1，0），（1，＋∞）. （3）由图可知，使f（x）＜0的x的取值集合为（－2，0）∪（0，2）. 10.C　法一　若函数f（x）为奇函数，且函数f（x）的定义域为R， 则f（x）＋f（－x）＝｜x－1｜＋a｜x＋1｜＋｜－x－1｜＋a｜－x＋1｜＝｜x－1｜＋a｜x＋1｜＋｜x＋1｜＋a｜x－1｜＝（a＋1）（｜x－1｜＋｜x＋1｜）＝0，∴a＋1＝0，解得a＝－1. ∴“a＝－1”是“f（x）为奇函数”的充要条件.故选C. 法二　若f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝1＋a＝0， ∴a＝－1，必要性成立. 若a＝－1则f（x）＝｜x－1｜－｜x＋1｜， ∴f（－x）＝｜－x－1｜－｜－x＋1｜ ＝－（｜x－1｜－｜x＋1｜）＝－f（x）， ∴f（x）是R上的奇函数，充分性成立. ∴a＝－1是f（x）为奇函数的充要条件. 11.AD　函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），A正确；由于f（－x）＝＝－＝－f（x），所以该函数为奇函数，B错误；任取0＜x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝，因为5与x1x2大小无法判断，故f（x1）－f（x2）的正负无法判断，C错误；当x＞0时，f（x）＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝时等号成立，D正确.故选A、D. 12.解：（1）令x＝y＝0，则f（0）＝0， 令y＝－x，即f（x＋y）＝f（0）＝f（x）＋f（－x）＝0， 则f（－x）＝－f（x），∴f（x）是奇函数. （2）∵f（x）是奇函数，∴f（3）＝－f（－3）＝－a， 又∵f（x＋y）＝f（x）＋f（y），∴f（15）＝5f（3）＝－5a. 13.A　设（a，b）为f（x）＝x3＋3x2图象的对称中心， 则有y＝f（x＋a）－b＝（x＋a）3＋3（x＋a）2－b为奇函数， 设g（x）＝（x＋a）3＋3（x＋a）2－b，则g（x）为奇函数， g（x）＝x3＋3（a＋1）x2＋3（a2＋2a）x＋a3＋3a2－b，又g（－x）＋g（x）＝0， 可得3（a＋1）x2＋a3＋3a2－b＝0， 所以解得 所以函数f（x）＝x3＋3x2图象的对称中心的坐标为（－1，2）.故选A. 14.解：h（x）＝mf（x）＋ng（x）＝m（x2＋x）＋n（x＋2）＝mx2＋（m＋n）x＋2n. ∵h（x）为偶函数，∴m＋n＝0， ① 又h（1）＝3，∴m＋m＋n＋2n＝3， ② 联立①②解得m＝－3，n＝3， ∴h（x）＝－3x2＋6. 学科网（北京）股份有限公司 $