2.2.4 均值不等式及其应用培优提升练-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年高一数学人教B版必修第一册2.2.4均值不等式培优提升卷，40分钟70分，通过基础应用、综合辨析、实际建模三层设计，实现从概念理解到问题解决的素养进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|单一均值不等式应用|单选题考查“一正二定三相等”条件（如第2题函数最值），夯实运算能力| |综合辨析|多条件综合判断与参数问题|多选题结合函数性质辨析（如第6题函数最小值判断），发展推理意识| |实际建模|实际情境中的最值优化|解答题以校园应急室建造为情境（第10题），体现模型意识与应用能力|

2026-2027学年高一年级上册数学培优提升卷(人教B版专用) 必修第一册 第二章 2.2.4 均值不等式及其应用 建议用时：40分钟，满分：70分 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设、满足，且、都是正数，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 2.已知函数，当时，取得最小值，则(    ) A. B. C. D. 3.若正实数，满足，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 4.早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在论音乐中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同若，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知，都为正数，且，则(    ) A. B. C. D. 6.下列函数的最小值为的有   ． A. B. C. D. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是          ． 8.已知，均为正数，且，则的最小值为          ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知，，且，求的最大值； 已知，，，求的最小值． 10.本小题分 某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面为平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元设屋子的左右两面墙的长度均为米，公司甲的报价为元 试求关于的函数解析式； 现有公司乙也要参与此应急室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级上册数学培优提升卷(人教B版专用) 必修第一册 第二章 2.2.4 均值不等式及其应用 建议用时：40分钟，满分：70分 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设、满足，且、都是正数，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 本题考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 利用基本不等式即可直接求解． 【解答】 解：因为、满足，且、都是正数， 则，当且仅当时取等号． 故选：． 2.已知函数，当时，取得最小值，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 本题考查基本不等式的应用，凑“积为定值”是关键，属于基础题． 将，转化为，再利用基本不等式求解即可． 【解答】 解：， ， ， 当且仅当时取等号．  ，， ． 故选：． 3.若正实数，满足，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题． 根据基本不等式，结合“”的代换进行求解，即可得到本题的答案． 【解答】 解：因为，所以． 因为，，所以，当且仅当，即，时，等号成立， 因此，代数式的最小值为． 故选：． 4.早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在论音乐中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同若，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，可得， 当且仅当时，等号成立， ． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.已知，都为正数，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】ACD  【解析】解：选项：， ，当且仅当时等号成立，故A正确； 选项：，，当且仅当时等号成立，故B错误； 选项：，当且仅当时等号成立，故C正确； 选项：根据选项可以得到， ，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：． 6.下列函数的最小值为的有   ． A. B. C. D. 【答案】AB  【分析】 本题考查由基本不等式求最值，属于基础题． 构造基本不等式，然后根据基本不等式计算与判断，，选项，取特殊值验证选项D即可． 【解答】 解：对于，， 当且仅当时等号成立，则，故A正确； 对于，时，则， 则， 当且仅当，即时等号成立，则，故B正确； 对于，， 因为无解，故等号不成立，故不是，故C错误 对于，，取，则，故D错误． 故选AB． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是          ． 【答案】  8.已知，均为正数，且，则的最小值为          ． 【答案】  四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知，，且，求的最大值； 已知，，，求的最小值． 【答案】 解：因为，， 则， 则， 当且仅当，且，即时取得等号． 故的最大值为． 因为，，， 故， 当且仅当，且， 即，时取得等号． 故的最小值为．  10.本小题分 某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面为平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元设屋子的左右两面墙的长度均为米，公司甲的报价为元 试求关于的函数解析式； 现有公司乙也要参与此应急室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由． 【答案】 解：由题意，得 即关于的函数解析式为； 对于公司甲： ， 当且仅当，即时取等号， 即当左右两侧墙的长度为米时，公司甲的报价最低为元； 对于公司乙： 当时，， 即公司乙的最高报价为元， 因为， 所以无论取何值，公司甲的报价都比公司乙高，故公司乙竞标成功． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $