2.2.3 一元二次不等式的解法（学习讲义）-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书word（人教B版）

本讲义聚焦一元二次不等式的解法这一核心知识点，系统梳理从概念界定到解法应用的完整脉络，涵盖因式分解法、配方法，以及含参数、分式不等式的求解，同时建立一元二次方程与不等式的关系，搭建从基础到综合应用的学习支架。 以城市立交桥车距问题情境引入，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，通过分题型（不含参数、含参数等）讲解及通性通法总结，提升数学思维与运算能力，跟踪训练和课后作业设计助力课中教学实施与课后学生查漏补缺，强化知识应用。

2.2.3　一元二次不等式的解法 1.会借助因式分解或配方法求解一元二次不等式（数学运算）. 2.理解一元二次方程与一元二次不等式的关系（数学抽象、数学运算）. 　　城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高架道路以提高车速和通过能力.城市环线和高速公路网的连接也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通.城市立交桥已成为现代化城市的重要标志.为了保证安全，交通部门规定，在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长（单位：m）的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为l（单位：m），当车速为60（单位：km/h）时，车距为1.44个车身长. 【问题】　在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量最大？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式的概念 一般地，形如　　　　　　的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c为常数，而且a≠0. 　　提醒：判断一个不等式是一元二次不等式的关键：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③特别要注意二次项的系数不为0. 2.用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果x1＜x2，则不等式（x－x1）（x－x2）＜0的解集是　　　　　　，不等式（x－x1）（x－x2）＞0的解集是　　　　　　. 3.用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）通过配方总是可以变为　　　　　　　或　　　　　　的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集. 【想一想】 　mx2－5x＋2＜0是一元二次不等式吗？ 1.不等式x2－4x＜0的解集是（　　 ） A.（0，4）　　　　　 B.（－4，0） C.（－∞，4） D.（－∞，0）∪（4，＋∞） 2.不等式－6x2－5x＋6＞0的解集为（　　） A.{x｜x＜－或x＞} B.{x｜－＜x＜} C.{x｜x＜－或x＞} D.{x｜－＜x＜} 3.不等式≥0的解集为（　　） A.［－1，］ B.（－1，］ C.（－∞，－1]∪[2，＋∞） D.（－∞，－1）∪［，＋∞） 题型一｜不含参数的一元二次不等式的解法 【例1】　（链接教科书第73页例1）解下列不等式： （1）2x2＋7x＋3＞0； （2）－4x2＋18x－≥0； （3）－2x2＋5x－2＜0； （4）－x2＋3x－5＞0. 尝试解答 通性通法 解不含参数的一元二次不等式的方法 （1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集； （2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得； （3）若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法. 【跟踪训练】 不等式－2x2＋x＋3＜0的解集是（　　） A.{x｜x＜－1} B. C. D. 题型二｜含参数的一元二次不等式的解法 【例2】　解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a≠0）. 尝试解答 通性通法 含参一元二次不等式的解法 【跟踪训练】 1.若0＜a＜1，则不等式（x－a）＜0的解集是（　　） A. B.（－∞，a）∪ C. D.∪（a，＋∞） 2.若不等式（a2－1）x2－（a－1）x－1＜0的解集为R，则实数a的取值范围是　　　　. 题型三｜两个“二次”间的关系 【例3】　（链接教科书第81页习题B组7题）（1）若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b的值为（　　） A.14　　　　　　　 B.－10 C.10 D.－14 （2）已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集. 尝试解答 通性通法 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 （1）求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集； （2）求解步骤：第一步：审结论——明确解题方向 如要解cx2＋bx＋a＜0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值. 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c； 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解. 【跟踪训练】 1.已知不等式x2－7x－a＜0的解集是{x｜2＜x＜b}（b＞2），则实数a等于（　　 ） A.－10 B.－5 C.5 D.10 2.某同学求解关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）时，因弄错常数b的符号，解得解集为{x｜－6＜x＜1}.若该同学解不等式的过程正确，则不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为（　　） A.{x｜－＜x＜} B.{x｜x＜－或x＞} C.{x｜－1＜x＜} D.{x｜x＜－1或x＞} 题型四｜分式不等式的解法 【例4】　（链接教科书第75页例3）解下列不等式： （1）≥0； （2）＞1. 尝试解答 通性通法 分式不等式的解法 （1）形如＞a（a≠0）的分式不等式可同解变形为＞0，故可转化为解g（x）[f（x）－ag（x）]＞0； （2）解≥0（≤0）型的分式不等式，转化为整式不等式后，应注意分子可取0，而分母不能取0.（f（x），g（x）为关于x的表达式） 【跟踪训练】 1.不等式＜0的解集为　　　　. 2.不等式≤1的解集为　　　　. 1.不等式（x－1）（x－3）≤0的解集是（　　） A.（－∞，0） B.[1，3] C.（0，2） D.（6，＋∞） 2.设m＋n＞0，则关于x的不等式（m－x）（n＋x）＞0的解集是（　　） A.（－∞，－n）∪（m，＋∞） B.（－n，m） C.（－∞，－m）∪（n，＋∞） D.（－m，n） 3.不等式＞0的解集是（　　） A. B.（4，＋∞） C.（－∞，－3）∪（4，＋∞） D.（－∞，－3）∪ 4.〔多选〕已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x｜x≤－2或x≥1}，则（　　） A.a＜0 B.cx＋b＞0的解集是{xx＜} C.a－b＋c＜0 D.cx2＋bx＋a≤0的解集为{x－≤x≤1} 5.已知集合M＝{x∈R｜x2－3x＋2≤0}，集合N＝{x∈R｜m＋1≤x≤3－2m}.若“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件，则m的取值范围为　　　　. 提示：完成课后作业　第二章　2.2　2.2.3 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3　一元二次不等式的解法 【基础落实】 新知初探 知识点 1.ax2＋bx＋c＞0　2.（x1，x2）　（－∞，x1）∪（x2，＋∞） 3.（x－h）2＞k　（x－h）2＜k 想一想 　提示：不一定.当m≠0时，mx2－5x＋2＜0是一元二次不等式. 自我诊断 1.A　x2－4x＜0⇒x（x－4）＜0，解得0＜x＜4，所以解集为（0，4）.故选A. 2.B　由－6x2－5x＋6＞0，可得6x2＋5x－6＜0，即（x－）·（x＋）＜0，解得－＜x＜，所以不等式－6x2－5x＋6＞0的解集为{x｜－＜x＜}.故选B. 3.D　由≥0，得解得x≥或x＜－1，因此，原不等式的解集为（－∞，－1）∪［，＋∞）.故选D. 【典例研析】 【例1】　解：（1）法一 因为2x2＋7x＋3＝2＝2（x＋3）， 所以2（x＋3）＞0，即x＞－或x＜－3， 所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪. 法二 因为2x2＋7x＋3＝2＋3 ＝－， 所以2－＞0，即＞， 所以x＋＞或x＋＜－， 即x＞－或x＜－3， 所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪. （2）因为－4x2＋18x－＝－4 ＝－4， 所以－4≥0，即≤0，x＝. 所以原不等式的解集为. （3）因为－2x2＋5x－2＝－2＝－2＝－2＋， 所以－2＋＜0， 即＞. 所以x－＞或x－＜－， 解得x＞2或x＜. 所以原不等式的解集为∪（2，＋∞）. （4）因为－x2＋3x－5＞0， 所以x2－6x＋10＜0. 又因为x2－6x＋10＝（x－3）2＋1＜0无解， 所以原不等式的解集为∅. 跟踪训练 　D　因为－2x2＋x＋3＝－（2x2－x－3）＝－（x＋1）（2x－3）， 所以－（x＋1）（2x－3）＜0，即（x＋1）（2x－3）＞0， 所以x＞或x＜－1， 所以不等式的解集为. 【例2】　解：①当a＜0时，原不等式化为（x－1）＞0，解得x＜或x＞1. ②当a＞0时，原不等式化为（x－1）＜0. 若a＝1，即＝1时，不等式无解； 若a＞1，即＜1时，解得＜x＜1； 若0＜a＜1，即＞1时，解得1＜x＜. 综上可知，当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＜，或x＞1}； 当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a＞1时，不等式的解集为. 跟踪训练 1.A　因为0＜a＜1，所以a＜，则不等式解集为.故选A. 2.－＜a≤1　解析：①当a2－1≠0，即a≠±1时，解得－＜a＜1. ②当a2－1＝0，即a＝±1时，若a＝1，则原不等式为－1＜0，恒成立.若a＝－1，则原不等式为2x－1＜0，即x＜，不符合题目要求，舍去.综上所述，当－＜a≤1时，原不等式的解集为R. 【例3】　（1）D　由已知得，ax2＋bx＋2＝0的解为－，，且a＜0. 所以解得 所以a＋b＝－14. （2）解：因为x2＋px＋q＜0的解集为{x｜－＜x＜}， 所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根， 由根与系数的关系得解得 所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3. 即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x｜－2＜x＜3}. 跟踪训练 1.A　由题设，有可得故选A. 2.C　由题意，a＜0，因为弄错常数b的符号，则方程ax2－bx＋c＝0有两根为－6和1，由根与系数的关系，可得－6＋1＝，－6×1＝，即b＝－5a，c＝－6a，代入cx2＋bx＋a＜0，可得－6ax2－5ax＋a＜0.因为a＜0，故得6x2＋5x－1＜0，解得－1＜x＜.故选C. 【例4】　解：（1）原不等式可化为解得 ∴原不等式的解集为. （2）法一 原不等式可化为或 解得或∴－3＜x＜－， ∴原不等式的解集为. 法二 原不等式可化为＞0，化简得＞0，即＜0， ∴（2x＋1）（x＋3）＜0，解得－3＜x＜－. ∴原不等式的解集为. 跟踪训练 1.（，1）　解析：不等式＜0等价于（x－1）（2x－1）＜0，解得＜x＜1，所以不等式＜0的解集为（，1）. 2.[－3，2）　解析：移项得－1≤0，通分化简得到分式不等式≤0.两边同时乘分母，结合分母不为零，得到不等式组解得－3≤x＜2.原不等式的解集为[－3，2）. 随堂检测 1.B　当（x－1）（x－3）＝0时，x＝1或x＝3，所以不等式（x－1）（x－3）≤0的解集为[1，3].故选B. 2.B　不等式等价于（x－m）（x＋n）＜0.∵m＋n＞0，∴m＞－n.故原不等式的解集是（－n，m）.故选B. 3.D　＞0⇔（2x－1）（x＋3）＞0⇔x＜－3或x＞.故选D. 4.AD　由题知，a＜0，且－＝－1，＝－2，即得b＝a，c＝－2a，故A正确；由cx＋b＞0可得－2ax＋a＞0，即2x－1＞0，所以x＞，故B错误；a－b＋c＝－2a＞0，故C错误；由cx2＋bx＋a≤0可得－2ax2＋ax＋a≤0，所以2x2－x－1≤0，解得－≤x≤1，故D正确.故选A、D. 5.（－∞，0]　解析：由M＝{x∈R｜x2－3x＋2≤0}可得M＝{x∈R｜（x－1）（x－2）≤0}＝{x｜1≤x≤2}，故M＝[1，2].由于“x∈M”是“x∈N”的充分不必要条件，则M⫋N，或解得m≤0. 学科网（北京）股份有限公司 $