2.2.4 第一课时 均值不等式-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学均值不等式核心知识点，从国际数学家大会会标情境引入，依次讲解算术与几何平均值定义、均值不等式推导及重要不等式，构建“情境—定义—推导—应用”的学习支架，衔接比较大小、证明与求最值等应用环节。 资料以赵爽弦图激发探究兴趣，通过“想一想”辨析成立条件培养逻辑推理，例题与题型训练强化数学运算，课中助力教师情境教学，课后练习题帮助学生巩固知识、查漏补缺，落实数学抽象与逻辑推理核心素养。

第一课时　均值不等式 课标要求 1.掌握均值不等式及推导过程（数学抽象、逻辑推理）. 2.能熟练运用均值不等式比较两实数的大小（逻辑推理、数学运算）. 3.能初步运用均值不等式进行证明和求最值（逻辑推理、数学运算）. 如图，是第24届国际数学家大会的会标.它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车. 【问题】　依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　均值不等式 1.算术平均值与几何平均值 给定两个正数a，b，数　　称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值. 2.均值不等式 如果a，b都是正数，那么　≥　，当且仅当a＝b时，等号成立. 　　提醒：均值不等式的常见变形：①a＋b≥2；②ab≤≤. 3.重要不等式 对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当 　a＝b　时，等号成立. 【想一想】 1.均值不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ 提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式. 2.均值不等式成立的条件“a，b＞0”能省略吗？请举例说明. 提示：不能，如≥是不成立的. 1.不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是（　　 ） A.m＝1　　　　　 B.m＝±1 C.m＝－1　 D.m＝0 解析：A　若不等式m2＋1≥2m，由重要不等式等号成立的条件得m＝1，故选A. 2.已知a，b为正实数，A＝，＝＋，G＝，则（　　） A.G≤H≤A　 B.H≤G≤A C.G≤A≤H　 D.H≤A≤G 解析：B　因为a，b为正实数，所以A＝≥＝G，当且仅当a＝b时，等号成立.＝＋≥2＝，所以H≤，当且仅当a＝b时，等号成立.综上，H≤G≤A.故选B. 3.若0＜a＜b，a＋b＝1，则a，，2ab中最大的数为　　. 解析：因为0＜a＜b，a＋b＝1，所以a＜. 因为ab＜＝，所以2ab＜，所以a，，2ab中最大的数为. 题型一｜对均值不等式的理解 【例1】　给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－［＋］≤－2＝－2. 其中正确的推导为（　　 ） A.①②　　　　　　　 B.①③ C.②③　 D.①②③ 解析：B　①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确； ②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的； ③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确. 通性通法 1.均值不等式≥（a＞0，b＞0）反映了两个正数的和与积之间的关系. 2.对均值不等式的掌握要抓住以下两个方面： （1）定理成立的条件是a，b都是正数； （2）“当且仅当”的含义：当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 【跟踪训练】 如图，AB是半圆O的直径，点C是直径AB上一动点，过点C作AB的垂线，交于点D，连接AD，BD，OD.设AC＝a，BC＝b，比较线段OD与CD的长度，得出结论正确的是（　　） A.＝（a＞0，b＞0） B.≥（a＞0，b＞0） C.＜（a＞0，b＞0） D.＞ab（a＞0，b＞0） 解析：B　因为OD是圆O的半径，所以OD＝＝.因为AB是圆O的直径，所以∠ADB＝90°，则△ACD∽△DCB，即＝，即CD2＝AC·CB＝ab，所以CD＝，当点C与点O重合时，CD＝OD，否则CD＜OD，即CD≤OD，所以≥（a＞0，b＞0）.故选B. 题型二｜利用均值不等式比较大小 【例2】　（1）已知a，b∈（0，＋∞），则下列各式中不一定成立的是（　D　 ） A.a＋b≥2　 B.＋≥2 C.≥2　 D.≥ 解析：由≥得a＋b≥2，∴A成立； ∵＋≥2＝2，∴B成立； ∵≥＝2，∴C成立； ∵≤＝，∴D不一定成立. （2）已知a，b，c是两两不相等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是　p＞q　. 解析：∵a，b，c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2＞2bc，a2＋c2＞2ac. ∴2（a2＋b2＋c2）＞2（ab＋bc＋ac）. 即a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac.∴p＞q. 通性通法 　　运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a＞0，b＞0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 【跟踪训练】 已知a＞0，b＞0，且a≠b，则，， ，中最大的是（　　） A.　 B. C.　 D. 解析：A　因为a＞0，b＞0，所以≤＝，≤，＝≥＝，当且仅当a＝b时，等号成立，又已知a≠b，则＜＜＜.故选A. 题型三｜利用均值不等式证明不等式 【例3】　已知x＞0，y＞0，z＞0，求证≥8. 证明：∵x＞0，y＞0，z＞0， ∴＋≥＞0，＋≥＞0，＋≥＞0，当且仅当x＝y＝z时，以上三个不等式的等号同时成立. ∴≥＝8， 当且仅当x＝y＝z时等号成立. 通性通法 利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项 （1）策略：从已知不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”； （2）注意事项：①多次使用均值不等式时，要注意等号能否同时成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，构成均值不等式模型再使用. 【跟踪训练】 已知a，b，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c. 证明：因为a，b，c＞0，则＞0，＞0，＞0， 于是得＋b≥2＝2a，当且仅当＝b，即a＝b时等号成立， ＋c≥2＝2b，当且仅当＝c，即b＝c时等号成立， ＋a≥2＝2c，当且仅当＝a，即c＝a时等号成立， 将上述三个不等式相加得：＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c， 当且仅当a＝b＝c时等号成立，因此有＋＋≥a＋b＋c， 所以当a，b，c＞0时，＋＋≥a＋b＋c. 1.下列不等式恒成立的是（　　） A.a2＋b2≥－2ab　 B.a2＋b2≤2ab C.a＋b≥－2　 D.a＋b≤2 解析：A　对于A，a2＋b2≥2｜a｜｜b｜＝2｜ab｜≥－2ab，A正确；对于B，a2＋b2≥2｜a｜｜b｜＝2｜ab｜≥2ab，B错误；对于C，取a＝－2，b＝0，a＋b＝－2＜0＝－2，C错误；对于D，取a＝1，b＝2，a＋b＝3＞2＝2，D错误.故选A. 2.〔多选〕 若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（　　） A.a2＋b2≥2ab　 B.a＋b≥2 C.＋＞　 D.＋≥2 解析：AD　对于A，∀a，b∈R，不等式a2＋b2≥2ab成立，A正确；对于B，由于a，b∈R，且ab＞0，当a＜0，b＜0时，a＋b＜0，而2＞0，不等式不成立，B错误；对于C，由于a，b∈R，且ab＞0，当a＜0，b＜0时，＋＜0，而＞0，不等式不成立，C错误；对于D，由a，b∈R，且ab＞0，得＞0，＞0，则＋≥2＝2，当且仅当a＝b时取等号，D正确.故选A、D. 3.ab＞0是＋＞2的（　　 ） A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件　 D.既不充分也不必要条件 解析：B　当ab＞0时，＞0，＞0，＋≥2＝2，当且仅当a＝b时取等号， 所以ab＞0不是＋＞2的充分条件； 若＋＞2，则＋＝＞2，所以ab＞0，故ab＞0是＋＞2的必要条件. 综上，ab＞0是＋＞2的必要不充分条件.故选B. 4.若a，b∈R，且ab＝4，可以证明a2＋b2≥8成立.请写出等号成立的条件：　a＝b＝±2 . 解析：由a2＋b2≥2ab，且ab＝4，则a2＋b2≥8，当且仅当a＝b＝±2时等号成立. 1.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是（　　 ） A.s≥t　 B.s＞t C.s≤t　 D.s＜t 解析：A　∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1，即t≤s（当且仅当b＝1时等号成立）. 2.设a，b∈R，且a＜b＜0，则（　　） A.＜　 B.＞ C.＋＞2　 D.＞ 解析：C　∵a＜b＜0，∴＞，故A错；∵a＜b＜0，∴a2＞b2，即b2－a2＜0，ab＞0，可得－＝＜0，∴＜，故B错；∵a＜b＜0，∴＞0，＞0，且≠，则＋＞2＝2，故C正确；∵a＜b＜0，∴＜0，而＞0，则＜，故D错.故选C. 3.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（　　 ） A.x＋1≥2　 B.x2＋1＞2x C.≤1　 D.x＋≥2 解析：C　对于A，当x＜0时，根式无意义，故A不恒成立； 对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不恒成立； 对于C，x2＋1≥1，所以≤1成立，故C成立； 对于D，当时x＜0时，x＋≤－2，故D不恒成立. 即对任何实数x都成立的一个式子是≤1.故选C. 4.已知a＞1，b＞1且a≠b，下列各式中最大的是（　　 ） A.　 B. C.　 D. 解析：D　因为a＞1，b＞1，a≠b，由基本不等式得1＜＜，由不等式性质得＞， 又－＝－＝＞0，所以＜＜＜.故选D. 5.〔多选〕若实数x，y满足x2＋y2＝4＋xy，则（　　） A.－4≤x＋y≤4　 B.x＋y≤2 C.x2＋y2≤8　 D.x2＋y2≥4 解析：AC　根据均值不等式得（x＋y）2＝4＋3xy≤4＋3（）2，当且仅当x＝y时等号成立，所以（x＋y）2≤16，因此－4≤x＋y≤4，故选项A正确，选项B不正确；根据重要不等式得x2＋y2＝4＋xy≤4＋，当且仅当x＝y时等号成立，所以x2＋y2≤8，故选项C正确；当x，y异号时，xy＜0，所以x2＋y2＝4＋xy＜4，选项D不正确.故选A、C. 6.已知a＞b＞c，则与的大小关系是　≤　. 解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0， ∴≤＝. 7.某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为　x≤　. 解析：用两种方法求出第三年的产量分别为A（1＋a）（1＋b），A（1＋x）2，则有（1＋x）2＝（1＋a）（1＋b）， ∴1＋x＝≤＝1＋， ∴x≤，当且仅当a＝b时等号成立. 8.已知a，b是正实数，以下不等式： ①＞；②a＞｜a－b｜－b；③a2＋b2＞4ab－3b2；④ab＋＞2.恒成立的序号为　②④　. 解析：①≤＝，即≥，当且仅当a＝b时等号成立，①不正确；②∵a，b是正实数，则｜a－b｜＜a＋b，∴｜a－b｜－b＜a＋b－b＝a，②正确；③a2＋b2－（4ab－3b2）＝（a－2b）2≥0，即a2＋b2≥4ab－3b2，当且仅当a＝2b时等号成立，③不正确；④ab＋≥2＝2＞2，当且仅当ab＝时等号成立，即ab＋＞2，④正确. 9.已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：≥8. 证明：因为a，b，c∈（0，＋∞），a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得≥··＝8. 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 10.甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，若m≠n，则甲、乙两人到达指定地点的情况是（　　） A.甲先到　 B.乙先到 C.甲、乙同时到　 D.不能确定 解析：A　设总路程为s，甲的总时间为t1，乙的总时间为t2，由m＋n＝s，得t1＝，显然t2＝＋＝，于是＝＝，而m≠n，m＞0，n＞0，m＋n＞2，因此＜1，即＜1，t1＜t2，所以甲先到达.故选A. 11.已知a＞0，b＞0，则“ab≤1”是“≤1”的（　　 ） A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件　 D.既不充分也不必要条件 解析：A　因为a＞0，b＞0，若ab≤1，则≤1，即1－≥0，∴a＋b－2ab≥2－2ab＝2（1－）≥0，∴a＋b≥2ab，从而≤1，充分性成立；若≤1，例如a＝，b＝2，＝1，但ab＝＞1，因此必要性不成立，故选A. 12.已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3. 证明：左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1 ＝＋＋－3. ∵a，b，c为正数， ∴＋≥2（当且仅当a＝b时取“＝”）； ＋≥2（当且仅当a＝c时取“＝”）； ＋≥2（当且仅当b＝c时取“＝”）. 从而＋＋≥6（当且仅当a＝b＝c时取“＝”）. ∴＋＋－3≥3， 即＋＋≥3. 13.下列问题中，a，b是不相等的正数，比较x，y，z的表达式.下列选项正确的是（　　） 问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直径都是x寸的披萨； 问题乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，这两圈的平均速度为y； 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a（天平平衡），放右边时左边砝码质量为b（天平平衡），物体的实际质量为z. A.x＞y＞z　 B.x＞z＞y C.z＞x＞y　 D.z＞y＞x 解析：B　由问题甲，结合圆的面积公式可得π（）2＋π（）2＝2π（）2，有a2＋b2＝2x2，即x＝.由问题乙，设每圈的长度为s，则＝y，整理可得＝y.由问题丙，设天平左边的臂长为m，右边的臂长为n，则可得z2＝ab，即＝z.因为a，b是不相等的正数，则有a＋b＞2，可得＜，根据重要不等式可知a2＋b2＞2ab，得＞，则有＞＞，所以x＞z＞y.故选B. 14.已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数. （1）求证： ＋＋≥； （2）是否存在实数m，使得关于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2对所有满足题设条件的正实数a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由. 解：（1）证明：因为a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数， 所以＋＋＝[（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）]＝［3＋（＋）＋＋］≥（3＋2＋2＋2）＝， 当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号， 所以＋＋≥得证. （2）因为a＋b＋c＝3，所以（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3（a2＋b2＋c2）， 因此a2＋b2＋c2≥3（当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号）， 所以（a2＋b2＋c2）min＝3， 由题意得－x2＋mx＋2≤3恒成立， 即得x2－mx＋1≥0恒成立， 因此Δ＝m2－4≤0⇒－2≤m≤2. 故存在实数m∈[－2，2]使不等式恒成立. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $