2.2.2 不等式的解集（学习讲义）-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦不等式的解集核心知识点，系统梳理不等式（组）解集的定义，从一元一次不等式组的求解，到借助绝对值几何意义解决绝对值不等式，结合数轴距离公式构建概念理解、解法应用的学习支架。 资料以程序操作情境引入问题，激发探究兴趣，通过分层题型（如含绝对值不等式的不同角度解法）和通性通法总结，培养直观想象与数学运算素养。例3用分段讨论法解｜x＋7｜－｜x－2｜≤3，强化逻辑思维，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

2.2.2　不等式的解集 【基础落实】 新知初探 知识点一 想一想 1.提示：不一定.当a＞0时，不等式ax＋b＞0的解集为；当a＜0时，不等式ax＋b＞0的解集为. 2.提示：不一定.如不等式｜x｜＜0的解集是空集，不等式x2≤0的解集是{0}，为有限集. 知识点二 1.原点　它本身　它的相反数　0　2.绝对值 3.（－∞，－m）∪（m，＋∞）　[－m，m] 知识点三 1.｜a－b｜　2. 想一想 　提示：数轴上与表示－1的点的距离小于或等于3的点对应的所有数组成的集合. 自我诊断 1.C　－3x＋2＞0⇔3x－2＜0，得x＜，所以不等式的解集是.故选C. 2.C　设点P的坐标为x.∵PA＝PB，∴｜a－x｜＝｜b－x｜，即a－x＝±（b－x），解得x＝，故选C. 3.（－∞，－1）∪（1，＋∞）　解析：依题意，1－｜x｜＜0⇒｜x｜＞1⇒x＞1或x＜－1.所以不等式的解集为（－∞，－1）∪（1，＋∞）. 【典例研析】 【例1】　解：（1）解不等式①，得x＜－6，解不等式②，得x≥2，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为∅. （2）解不等式①，得x＞－，解不等式②，得x≤，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 由图可知不等式组的解集为. 跟踪训练 1.C　由得因为不等式组的解集为{x｜x＞a}，所以a≥2，即a的取值范围是{a｜a≥2}.故选C. 2.C　解不等式2x＋1＞0，得x＞－.解不等式x－5≤0，得x≤5，所以不等式组的解集为，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个.故选C. 【例2】　　解析：∵｜5－4x｜＞9，∴5－4x＞9或5－4x＜－9. ∴4x＜－4或4x＞14，∴x＜－1或x＞. ∴原不等式的解集为. 母题探究 　4　解析：由｜kx－5｜≤9⇔－4≤kx≤14. ∵不等式的解集为， ∴k＝4. 【例3】　解：法一 ｜x＋7｜－｜x－2｜ 可以看成数轴上的动点（坐标为x）到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.由图易知不等式｜x＋7｜－｜x－2｜≤3的解集为x≤－1，即x∈（－∞，－1]. 法二 令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2. ①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3， ∴－9≤3成立，∴x＜－7. ②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3， 即2x≤－2，∴x≤－1， ∴－7≤x≤－1. ③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3， 即9≤3不成立， ∴x∈∅. ∴原不等式的解集为（－∞，－1]. 跟踪训练 1.D　当2x－1≥0时，即x≥时，有1≤2x－1＜2，解得1≤x＜；当2x－1＜0时，即x＜时，有1≤1－2x＜2，解得－＜x≤0. 综上，不等式的解集为.故选D. 2.解：当x＜－1时，｜2x－1｜－｜x＋1｜＝－2x＋1＋x＋1＝－x＋2＜1⇒x＞1，此时不等式无解；当－1≤x≤时，｜2x－1｜－｜x＋1｜＝－2x＋1－x－1＝－3x＜1⇒x＞－，此时－＜x≤； 当x＞时，｜2x－1｜－｜x＋1｜＝2x－1－x－1＝x－2＜1⇒x＜3，此时＜x＜3.综上，原不等式的解集为{x｜－＜x＜3}. 【例4】　解：（1）若P是线段QR的中点，则－8＝， ∴m＝－18； 若Q是线段PR的中点，则m＝＝－3； 若R是线段PQ的中点，则2＝，∴m＝12. （2）由题意，知＞1， 即＞1， ∴－1＞1或－1＜－1，解得m＞4或m＜0， ∴实数m的取值范围是（－∞，0）∪（4，＋∞）. 跟踪训练 　D　记点A（x1），B（x2），则x2＝3.AB＝｜x2－x1｜＝5，即｜3－x1｜＝5，解得x1＝－2或x1＝8.当x1＝－2时，M的坐标为＝；当x1＝8时，M的坐标为＝.故选D. 随堂检测 1.D　MP＋PN＝｜－5－3｜＋｜－5－（－1）｜＝12. 2.C　解不等式2x－1≥5，得x≥3，解不等式8－4x＜0，得x＞2，[3，＋∞）∩（2，＋∞）＝[3，＋∞），故不等式组的解集为[3，＋∞）.在数轴上表示如图所示.故选C. 3.C　当x≤1时，则｜x－1｜＋｜x－2｜＝1－x＋2－x＝3－2x≤3，可得x≥0，此时，0≤x≤1；当1＜x＜2时，则｜x－1｜＋｜x－2｜＝x－1＋2－x＝1≤3恒成立，此时，1＜x＜2；当x≥2时，则｜x－1｜＋｜x－2｜＝x－1＋x－2＝2x－3≤3，解得x≤3，此时，2≤x≤3.综上所述，不等式｜x－1｜＋｜x－2｜≤3的解集为{x｜0≤x≤3}，则满足原不等式的最小整数解为0，故选C. 4.AC　由3－2x＞0得x＜，A∩B＝{x｜x＜2}∩＝，A正确，B错误.A∪B＝{x｜x＜2}∪＝{x｜x＜2}，C正确，D错误.故选A、C. 5.解：原不等式等价于（a－1）x＞3.因为不等式的解集为（2，＋∞），则有解得a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.2　不等式的解集 1.会求一元一次不等式（组）的解集（数学运算）. 2.能借助绝对值的几何意义求解绝对值不等式的解（直观想象、数学运算）. 　　运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否小于18”为一次程序操作， 输入x后程序操作仅进行了一次就停止. 【问题】　（1）情境中的运算程序涉及何不等式？ （2）如何解此不等式？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　不等式的解集与不等式组的解集 1.不等式的解集 一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集. 2.不等式组的解集 对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集. 【想一想】 1.不等式ax＋b＞0的解集是吗？ 2.不等式的解集是否一定为无限集？ 知识点二　绝对值不等式 1.绝对值的定义 数轴上表示数a的点与　　　　的距离称为数a的绝对值，记作｜a｜.而且一个正数的绝对值是　　　　，一个负数的绝对值是　　　　　，0的绝对值是　　　. 2.绝对值不等式 一般地，含有　　　　的不等式称为绝对值不等式. 3.绝对值不等式的解集 当m＞0时，关于x的不等式｜x｜＞m的解集为　　　　　　　　；关于x的不等式｜x｜≤m的解集为　　　　. 　　提醒：｜ax＋b｜≤m，｜ax＋b｜≥m（m＞0）型不等式的解法：只需将ax＋b看成一个整体，即化成｜x｜≤m，｜x｜≥m（m＞0）型不等式求解.①｜ax＋b｜≤m（m＞0）型不等式的解法：先化为－m≤ax＋b≤m，再由不等式的性质求出该不等式的解集；②｜ax＋b｜≥m（m＞0）型不等式的解法：先化为ax＋b≥m或ax＋b≤－m，再进一步利用不等式性质求出该不等式的解集. 知识点三　数轴上的坐标与距离 1.两点间的距离公式 一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A（a），B（b），则线段AB的长为AB＝　　　　，这就是数轴上两点之间的距离公式. 2.中点坐标公式 若线段AB的中点M对应的数为x，则x＝　　　　就是数轴上的中点坐标公式. 【想一想】 不等式｜x＋1｜≤3的解集的几何意义是什么？ 1.不等式－3x＋2＞0的解集为（　　 ） A.{x｜x＜1或x＞2}　　B.{x｜x＞0} C. D.{x｜x＜7} 2.已知数轴上不同的两点A（a），B（b），则数轴上满足条件PA＝PB的点P的坐标为（　　） A. B. C. D.b－a 3.不等式1－｜x｜＜0的解集为　　　　. 题型一｜不等式组的解法 【例1】　（链接教科书第68页例1）解下列不等式组： （1） （2） 尝试解答 通性通法 不等式组的求解步骤 （1）求出不等式组中每个不等式的解集； （2）借助数轴求出各解集的公共部分（交集）； （3）写出不等式组的解集. 【跟踪训练】 1.不等式组的解集为{x｜x＞a}，则a的取值范围是（　　） A.{a｜a≤2} B.{a｜a＜2} C.{a｜a≥2} D.{a｜a＞2} 2.在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（　　 ） A.4 B.5 C.6 D.7 题型二｜解含绝对值的不等式 角度1　｜ax＋b｜≤c与｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法 【例2】　不等式｜5－4x｜＞9的解集为　　　　. 尝试解答 【母题探究】 （变设问）若不等式｜kx－5｜≤9的解集为，则实数k＝　　　　. 通性通法 ｜ax＋b｜≥c和｜ax＋b｜≤c型不等式的解法 （1）当c＞0时，｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）当c＝0时，｜ax＋b｜≥c的解集为R，｜ax＋b｜＜c的解集为∅； （3）当c＜0时，｜ax＋b｜≥c的解集为R，｜ax＋b｜≤c的解集为∅. 角度2　｜x－a｜＋｜x－b｜≥c和｜x－a｜＋｜x－b｜≤c型不等式的解法 【例3】　（链接教科书第70页探索与研究）解不等式｜x＋7｜－｜x－2｜≤3. 尝试解答 通性通法 　　分段讨论法是解绝对值不等式最基本、最重要的方法，一定要熟练掌握，在解答过程中要注意以下几点： （1）分段要准确，注意等号的分布，避免重复或遗漏； （2）每一段都有一个前提，每一段解出的范围都要和前提取“交集”，最后写不等式的解集时要把每一段x的范围取“并集”，即“先分后合”； （3）不等式的解集有两种书写形式：一是用集合的描述法表示，特殊时用列举法；二是用区间. 【跟踪训练】 1.不等式1≤｜2x－1｜＜2的解集为（　　 ） A. B. C. D. 2.解关于x的不等式｜2x－1｜－｜x＋1｜＜1. 题型三｜数轴上的距离问题 【例4】　（链接教科书第70页例2）已知数轴上三点P（－8），Q（m），R（2）. （1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m的值； （2）若线段PQ的中点到线段PR的中点的距离大于1，求实数m的取值范围. 尝试解答 通性通法 1.当P（x）中x＞0时，点P位于原点右侧，且点P与原点O的距离OP＝x；当P（x）中x＜0时，点P位于原点左侧，且点P与原点O的距离OP＝－x. 2.由数轴上的点与实数的对应关系可知，点越靠向右方，对应的实数越大；点对应的实数越大，点越靠向右方. 【跟踪训练】 已知数轴上不同的两点A，B，若B点的坐标为3，且AB＝5，则线段AB的中点M的坐标为（　　） A. B. C.4 D.或 1.数轴上点M，N，P的坐标分别为3，－1，－5，则MP＋PN＝（　　） A.－4 B.4 C.－12 D.12 2.不等式组的解集在数轴上表示为（　　） 3.不等式｜x－1｜＋｜x－2｜≤3的最小整数解为（　　） A.－2 B.－1 C.0 D.2 4.〔多选〕已知集合A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜3－2x＞0}，则（　　） A.A∩B＝ B.A∩B＝∅ C.A∪B＝{x｜x＜2} D.A∪B＝R 5.已知不等式ax－1＞x＋2的解集为（2，＋∞），求a的值. 提示：完成课后作业　第二章　2.2　2.2.2 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $