2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（学习讲义）-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书word（人教B版）

本讲义聚焦一元二次方程的解集及根与系数的关系，先通过判别式Δ值分类讨论方程根的个数及解集情况，再结合根与系数关系进行计算求值和参数范围求解，构建从基础判定到综合应用的学习支架。 以“生日晚会年龄问题”创设真实情境，引导学生用数学眼光发现问题，通过直接开平方法、配方法等多题型及“想一想”互动环节培养数学思维中的运算能力与推理意识，课中助力教师分层教学，课后通过跟踪训练与作业帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【基础落实】 新知初探 知识点一 　b2－4ac　（1） （2）　（3）∅ 想一想 　提示：不一定. 知识点二 　－　 自我诊断 1.D　对于A，由x2＋x＋1＝0中Δ＝12－4×1＜0，即方程无实根，则A错误； 对于B，由方程知Δ＝t2－4×1＞0不一定恒成立，故方程不一定有两个不等的实根，则B错误；对于C，由（x＋3）2＋x＋1＝x2＋7x＋10＝（x＋5）（x＋2）＝0，显然x1x2＝（－5）×（－2）＝10，则C错误；对于D，由题设x2－x－1＝0中x1＝＜1＜x2＝，则D正确.故选D. 2.C　因为m，n是方程2x2－x－2＝0的两个实数根，所以m＋n＝，mn＝－1，所以＋＝＝＝－.故选C. 3.（－∞，4]　解析：因为一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，所以Δ＝16－4k≥0，即k≤4. 【典例研析】 【例1】　解：（1）移项，得4y2＝25. 两边都除以4，得y2＝. 解得y1＝，y2＝－， 所以原一元二次方程的解集是. （2）移项，合并同类项，得3x2＝15. 两边都除以3，得x2＝5， 解得x1＝，x2＝－. 所以原一元二次方程的解集是{，－}. 【例2】　解：（1）∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1， ∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴（x＋2）2＝5， ∴x＝－2±， ∴x1＝－2＋，x2＝－2－. ∴原一元二次方程的解集是{－2＋，－2－}. （2）移项，得4x2＋8x＝－1. 二次项系数化为1，得x2＋2x＝－， 配方，得x2＋2x＋12＝12－，即（x＋1）2＝. ∴x＋1＝±. ∴x1＝－1＋，x2＝－1－， ∴原一元二次方程的解集是. 【例3】　解：（1）∵a＝1，b＝－4，c＝10， Δ＝b2－4ac＝（－4）2－4×1×10＝8＞0， ∴x＝＝＝2±， ∴x1＝2＋，x2＝2－. ∴原一元二次方程的解集是{2＋，2－}. （2）方程两边都乘以8，得4x2＋4x＋1＝0. ∵a＝4，b＝4，c＝1， Δ＝b2－4ac＝42－4×4×1＝0， ∴x＝＝－，∴x1＝x2＝－. ∴原一元二次方程的解集是. （3）由方程－x2－2x＋63＝0，即x2＋2x－63＝（x＋9）（x－7）＝0， 解得x＝－9或x＝7，即方程－x2－2x＋63＝0的解集为{－9，7}. （4）由方程x4－x2－12＝0，即（x2－4）（x2＋3）＝0，解得x2＝4或x2＝－3（舍去），即x＝±2， 所以方程x4－x2－12＝0的解集为{－2，2}. 跟踪训练 　解：（1）法一（配方法）　2x2＋5x＝3，则2＝3＋2×＝，即＝，解得x1＝－＋＝，x2＝－－＝－3. ∴方程2x2＋5x＝3的解集是. 法二（公式法）　原方程可化为2x2＋5x－3＝0. ∵a＝2，b＝5，c＝－3， Δ＝b2－4ac＝25＋24＝49， ∴x＝＝，∴x1＝－3，x2＝. ∴方程2x2＋5x＝3的解集是. （2）2x4－7x2＋3＝0可化为（x2－3）（2x2－1）＝0， 解得x2＝3或x2＝，故x＝、－、、－， 方程2x4－7x2＋3＝0的解集为. （3）＋－1＝0可化为2＋x－x2＝0（x≠0）， 即（x－2）（x＋1）＝0，解得x＝2或x＝－1， 方程＋－1＝0的解集为{－1，2}. （4）因为x2－4｜x｜－12＝0⇔｜x｜2－4｜x｜－12＝0⇔（｜x｜－6）（｜x｜＋2）＝0， 解得｜x｜＝6或｜x｜＝－2（舍去）， 由｜x｜＝6，解得x＝6或x＝－6， 所以原方程的解集为{－6，6}. （5）原方程因式分解为（x－a＋2）（x－a－2）＝0. 所以解集为{a－2，a＋2}. 【例4】　解：（1）∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴方程的解集中有两个元素. （2）∵Δ＝（－1）2－4×2×1＝－7＜0，∴方程没有实数根，∴方程的解集为空集. （3）方程整理为x2－2x＋1＝0， ∵Δ＝（－2）2－4×1×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根，∴方程的解集中有一个元素. 跟踪训练 1.C　由＝1，得c＝b－5a，且a≠0，所以Δ＝b2－4ac＝b2－4a（b－5a）＝（2a）2－2×2ab＋b2＝（2a－b）2≥0，所以关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，但不能确定两实数根是否一定相等.故选C. 2.C　a＝0时，原方程为一元一次方程，有唯一解，满足条件； a≠0时，原方程为一元二次方程，当判别式Δ＝0时，方程有一个解，此时，Δ＝4（a＋1）2－4×4a＝0，解得a＝1，所以当原方程的解集为单元素集合时，a＝0或a＝1，选项C正确.故选C. 【例5】　解：根据一元二次方程根与系数的关系， 得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1. （1）＋＝（x1＋x2）2－2x1x2＝（－3）2－2×（－1）＝11. （2）＋＝＝＝3. 【例6】　解：（1）∵x2－6x＋k－1＝0， ∴Δ＝（－6）2－4（k－1）≥0， 解得k≤10，∴k的取值范围为（－∞，10]. （2）由题意知，x1＋x2＝6，x1x2＝k－1. ∵＋＋3x1x2＝24， ∴（x1＋x2）2＋x1x2＝24， ∴62＋k－1＝24， 解得k＝－11， ∴k的值为－11. 跟踪训练 1.C　因为x1，x2是方程x2－6x＋2＝0的两根，所以x1＋x2＝6，x1x2＝2， 所以＋＝＝＝＝8.故选C. 2.5　解析：方程x2－3x＋1＝0的两根为x1和x2，则x1＋x2＝3，x1x2＝1，所以（x1＋1）（x2＋1）＝x1x2＋x1＋x2＋1＝5. 随堂检测 1.C　由方程4（1－x）2＝1，可得方程（x－1）2＝，解得x－1＝或x－1＝－，所以x＝或x＝，即方程的解集为.故选C. 2.C　利用根的判别式Δ＝b2－4ac分别进行判定即可.A项：Δ＝（－2）2－4×1×0＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；B项：Δ＝42－4×1×（－1）＝20＞0，有两个不相等的实数根， 故此选项不合题意；C项：Δ＝（－4）2－4×2×3＝－8＜0，没有实数根，故此选项符合题意；D项：Δ＝（－5）2－4×3×2＝1＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意.故选C. 3.A　（x－a）（x－b）－x＝0⇒x2－（a＋b＋1）x＋ab＝0，又c，d为该方程的两根，由根与系数的关系得（x－c）（x－d）＋x＝0⇒x2－（c＋d－1）x＋cd＝0⇒x2－（a＋b）x＋ab＝0，即（x－a）（x－b）＝0，解得x1＝a，x2＝b.故选A. 4.AB　当m＝0时，方程化为－4x＋5＝0，解得x＝，此时方程只有一个实数根，A正确；当m＝1时，方程化为x2－4x＋4＝0，因为Δ＝（－4）2－4×1×4＝0，所以此时方程有两个相等的实数根，B正确；当m＝－1时，方程化为－x2－4x＋6＝0，因为Δ＝（－4）2－4×（－1）×6＞0，所以此时方程有两个不相等的实数根，C错误；当m＝2时，方程化为2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝（－4）2－4×2×3＝－8＜0，所以此时方程无实数根，D错误.故选A、B. 5.4　解析：因为α，β是关于x的方程x2－2mx＋m2－4＝0（m∈R）的两个根，所以α＋β＝2m，αβ＝m2－4， 所以｜α－β｜＝＝＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1.能利用判别式Δ的值判定一元二次方程根的个数（数学运算）. 2.会利用一元二次方程根与系数的关系进行计算求值及求参数的取值范围（数学运算）. 　　今天是小芳的生日，她的4个小伙伴约好为她举办一个生日晚会，邻居张叔叔路过晚会现场，想了解一下他们的年龄.小芳说：我是最小的，我们5个的年龄从小到大依次恰好相差1岁.小明说：我们中较大的两个的年龄的平方和恰好等于较小的三个人的年龄的平方和.张叔叔说：“我可以算出小芳的年龄了”. 【问题】　张叔叔是怎样算出小芳年龄的？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　一元二次方程的解集 一般地，Δ＝　　　　称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式. （1）当Δ＞0时，方程的解集为　　　　　； （2）当Δ＝0时，方程的解集为　　　　　； （3）当Δ＜0时，方程的解集为　　　　　. 【想一想】 对于方程ax2＋bx＋c＝0，Δ＞0时一定有两不相等的解吗？ 知识点二　一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解集不是空集，设x1，x2是该一元二次方程的两个根，则x1＋x2＝　　　，x1x2＝　　　　. 　　提醒：一元二次方程根与系数的关系是以一元二次方程有两个实数根为前提条件的.利用根与系数的关系解答问题时，只有在Δ≥0的前提下才有意义，所以求得的参数的值要代入Δ＝b2－4ac来验证. 1.下列说法正确的是（　　） A.方程x2＋x＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x1＋x2＝－1 B.关于x的一元二次方程x2＋tx＋1＝0一定有两个不相等的实数根 C.已知方程（x＋3）2＋x＋1＝0的两个实数根x1，x2，则x1x2＝1 D.若关于x的一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根x1＜x2，则x1＜1＜x2 2.已知m，n是方程2x2－x－2＝0的两个实数根，则＋的值为（　　） A.－1　　　　　　　　B. C.－ D.1 3.若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是　　　　. 题型一｜一元二次方程解集的求法 角度1　直接开平方法 【例1】　用直接开平方法求下列一元二次方程的解集： （1）4y2－25＝0； （2）3x2－x＝15－x. 尝试解答 通性通法 应用直接开平方法求一元二次方程解集的主要步骤 （1）化为x2＝p（p≥0）的形式； （2）直接开平方； （3）解两个一元一次方程，写出方程的两个根； （4）总结写成解集的形式. 角度2　配方法 【例2】　用配方法求下列方程的解集： （1）x2＋4x－1＝0； （2）4x2＋8x＋1＝0. 尝试解答 通性通法 　　利用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），先把二次项系数变为1，即方程两边都除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后用直接开平方法求解（若另一边为负数，则此方程无实数根）. 角度3　公式法和因式公解法 【例3】　用公式法求下列方程的解集： （1）x2－4x＋10＝0； （2）x2＋x＋＝0； （3）－x2－2x＋63＝0； （4）x4－x2－12＝0. 尝试解答 通性通法 　　利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算b2－4ac的值；当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后总结写出解集. 【跟踪训练】 求下列方程的解集： （1）2x2＋5x＝3； （2）2x4－7x2＋3＝0； （3）＋－1＝0； （4）x2－4｜x｜－12＝0； （5）x2－2ax＋a2－4＝0. 题型二｜一元二次方程根的判别式 【例4】　不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况： （1）3x2－2x－1＝0； （2）2x2－x＋1＝0； （3）4x－x2＝x2＋2. 尝试解答 通性通法 　　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2－4ac.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根. 【跟踪训练】 1.已知＝1（a，b，c∈R），则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（　　） A.一定有不相等的两个实数根 B.一定有两个相等的实数根 C.可能有两个相等的实数根 D.没有实数根 2.若关于x的方程ax2＋2（a＋1）x＋4＝0的解集为单元素集合，则（　　 ） A.a＝0 B.a＝1 C.a＝0或a＝1 D.a≠0且a≠1 题型三｜一元二次方程根与系数的关系 角度1　直接应用根与系数的关系进行计算 【例5】　（链接教科书第52页例2）已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求： （1）＋；（2）＋. 尝试解答 通性通法 　　在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用.在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值. 常见变形还有： （1）（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2； （2）｜x1－x2｜＝＝. 角度2　求字母系数的值或范围 【例6】　关于x的一元二次方程x2－6x＋k－1＝0. （1）如果方程有实数根，求k的取值范围； （2）如果x1，x2是这个方程的两个根，且＋＋3x1x2＝24，求k的值. 尝试解答 通性通法 　　利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0. 【跟踪训练】 1.若关于x的方程x2－6x＋2＝0的两根分别是x1，x2，则＋＝（　　 ） A.6 B.7 C.8 D.9 2.（2025·北京西城区期末）设方程x2－3x＋1＝0的两根为x1和x2，则（x1＋1）（x2＋1）＝　　　　. 1.方程4（1－x）2＝1的解集是（　　 ） A.∅ B. C. D. 2.下列一元二次方程中，解集为空集的是（　　 ） A.x2－2x＝0 B.x2＋4x－1＝0 C.2x2－4x＋3＝0 D.3x2＝5x－2 3.若方程（x－a）（x－b）－x＝0的两根为c，d，则方程（x－c）（x－d）＋x＝0的根是（　　） A.x1＝a，x2＝b B.x1＝－a，x2＝－b C.x1＝c，x2＝d D.x1＝－c，x2＝－d 4.〔多选〕关于x的方程mx2－4x－m＋5＝0，以下说法正确的是（　　 ） A.当m＝0时，方程只有一个实数根 B.当m＝1时，方程有两个相等的实数根 C.当m＝－1时，方程没有实数根 D.当m＝2时，方程有两个不相等的实数根 5.已知α，β是关于x的方程x2－2mx＋m2－4＝0（m∈R）的两个根，则｜α－β｜＝ 　　　. 提示：完成课后作业　第二章　2.1　2.1.2 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $