2.1.3 方程组的解集 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“方程组的解集”核心知识点，通过《九章算术》“共买物”问题情境导入，将古文转化为方程组，引出解集是各方程解集交集的定义，衔接集合知识，搭建从等式到方程组的学习支架。 特色在于融合数学文化与核心素养，采用启发式与讲练结合教学，通过代入、加减消元法解二元一次方程组，如例1求{(5,5)}，例2表示无限集{(x,y)|y=4-x,x∈R}，培养数学运算和逻辑推理，帮助学生规范集合表示，教师可依此高效落实教学目标。

数学 教学设计-2026-2027学年 必修第一册 2.1.3 方程组的解集 人教B版 高一 章节名称 第二章 2.1 等式与不等式 2.1.3 方程组的解集 章节名称 2.1.3 方程组的解集 课标要求 通过具体实例，理解方程组解集的概念 学科 数学 教材 人教B版必修第一册 年级 高一 课时 1课时 重点 方程组解集的定义、消元法 难点 用集合语言表示解、无限集 目标1 理解解集的交集定义 目标2 掌握代入与加减消元法 目标3 表示未知数多于方程个数的解集 素养 数学运算、逻辑推理 教法 启发式、讲练结合 学法 自主探究、合作交流 评价 课堂练习与提问 作业 课本习题 板书 提纲式+演算式 反思 课后填写 课标要求 通过具体实例，理解方程组解集的概念；掌握消元法（代入消元、加减消元）求解方程组；能用集合语言描述方程组的解集；体会《九章算术》中的方程术思想，发展数学运算与逻辑推理素养。 重点 1. 理解方程组解集的定义（交集视角）。 2. 掌握代入消元法和加减消元法。 难点 1. 用集合语言规范地表示方程组的解。 2. 理解并表示未知数个数多于方程个数时的解集（无限集）。 学习目标 1. 理解方程组解集的定义，知道解集是各方程解集的交集。 2. 能熟练运用代入消元法和加减消元法求解二元一次方程组。 3. 能识别并正确表示含有无穷多解的方程组的解集。 4. 了解中国古代数学中的方程术，能列方程组解决简单的实际问题。 评价设计 通过课堂提问和练习，评价学生对方程组解集概念的理解程度；通过板演和作业，评价学生对消元法的掌握情况及计算准确性。 教学过程 一、情境导入 教师活动：引用《九章算术》卷第八“方程”中的问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”教师引导学生将古文翻译成现代数学语言。 学生活动：思考并讨论，设未知数，列出方程。设人数为x，物价为y，可得方程组： { 8x − 3 = y { 7x + 4 = y 教师提问：我们需要找到满足这两个方程的x和y的值，这实际上是在找什么？ 预设学生回答：找同时满足两个方程的公共解。 设计意图：通过数学文化情境引入，激发学生兴趣，自然引出方程组的概念，体现数学的应用价值。 二、探究新知 1. 方程组解集的定义 教师讲解：一般地，将多个方程联立，就能得到方程组。方程组中，每个方程的解集的交集称为这个方程组的解集。 教师提问：上述情境中，方程8x − 3 = y的解集是平面上的一条直线，方程7x + 4 = y的解集是另一条直线，它们的交集是什么？ 预设学生回答：两条直线的交点。 教师总结：求方程组解集的过程，就是求各方程解集的交集的过程。常用的方法是以前学过的消元法。 2. 消元法求解方程组 教师活动：出示例题1，求解方程组： { x + y = 10 ① { 2x − y = 5 ② 师生互动： （1）引导学生观察方程特点，思考如何消元。 （2）学生尝试使用加减消元法：①+②得，3x = 15，解得 x = 5。 （3）将 x = 5 代入①得，5 + y = 10，解得 y = 5。 （4）教师提问：如何用集合语言表示这个方程组的解集？ 预设学生回答：{(5, 5)}。 教师追问：如果用代入消元法呢？ 学生活动：由①得 y = 10 − x，代入②得 2x − (10 − x) = 5，解得 x = 5，进而 y = 5。 设计意图：通过具体例题，巩固消元法，强化解集的集合表示，体会数形结合思想。 3. 特殊方程组的解集 教师提问：如果方程组中未知数的个数多于方程的个数，解集会怎样？ 教师活动：出示例题2，求解方程组： { x + y = 4 师生互动： （1）学生思考：只有一个方程，无法确定唯一的x和y。 （2）教师引导：我们可以将其中一个未知数看作常数，表示另一个未知数。例如，将x看作常数，则 y = 4 − x。 （3）教师提问：这个方程组有多少个解？解集如何表示？ 预设学生回答：有无穷多个解。解集为 {(x, y) | y = 4 − x, x ∈ R}。 教师强调：当未知数个数大于方程个数时，解集可能含有无穷多个元素（无限集）。 设计意图：通过对比，深化对方程组解集的理解，突破“无限集表示”这一难点。 三、巩固练习 1. 求下列方程组的解集，并用集合语言表示： { 3x + 2y = 13 { x − y = 1 教师提问：选用哪种消元法更简便？ 学生活动：独立完成，板演。由②得 x = y + 1，代入①得 3(y + 1) + 2y = 13，解得 y = 2，x = 3。解集为 {(3, 2)}。 答案：{(3, 2)}。 2. 求方程组 { 2x + y = 6 } 的解集。 学生活动：将x看作常数，y = 6 − 2x。解集为 {(x, y) | y = 6 − 2x, x ∈ R}。 答案：{(x, y) | y = 6 − 2x, x ∈ R}。 设计意图：通过练习，检验学生对消元法和集合表示的掌握情况，及时反馈。 四、课堂小结 教师提问：今天我们学习了哪些内容？ 预设学生总结： 1. 方程组解集的定义：各方程解集的交集。 2. 求解方程组的方法：代入消元法、加减消元法。 3. 特殊情况：当未知数个数多于方程个数时，解集可能是无限集。 设计意图：梳理知识脉络，巩固本节课所学。 五、布置作业 课本习题2.1 第3、4题。 设计意图：巩固所学知识，提升数学运算能力。 教学环节 主要内容 设计意图 情境导入 《九章算术》"共买物"问题 渗透数学文化，引出方程组 探究新知 解集定义、消元法求解、无限集表示 构建概念，掌握方法，突破难点 板书设计 2.1.3 方程组的解集 1. 定义： 方程组的解集 = 各方程解集的交集 2. 方法：消元法 例1：{ x + y = 10 { 2x − y = 5 解：①+②得 3x = 15 ⇒ x = 5 代入①得 y = 5 解集：{(5, 5)} 3. 特殊情况（无限集）： 例2：{ x + y = 4 解集：{(x, y) | y = 4 − x, x ∈ R} 学科网（北京）股份有限公司 $