2.1.1 等式的性质与方程的解集（课时跟踪检测）-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书word（人教B版）

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、技能提升、综合应用三层设计，实现从单一知识点到跨情境问题解决的进阶，培养运算能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|因式分解、方程解集等单一知识点|选择填空为主，如多项式分解（题1）、面积验证平方差公式（题4），强化抽象能力与几何直观| |提升层|方程与集合、参数讨论等知识综合|解答题为主，如因式分解法解方程（题9）、集合与方程结合（题10），发展运算能力与推理意识| |综合层|实际应用、代数几何综合等跨情境问题|阅读探究题为主，如几何图形与因式分解结合（题14）、整体思想应用（题13），培养模型意识与创新意识|

2.1.1　等式的性质与方程的解集 1.若多项式x2－3x＋a可分解为（x－5）（x－b），则a，b的值是（　　） A.a＝10，b＝2 B.a＝10，b＝－2 C.a＝－10，b＝－2 D.a＝－10，b＝2 2.（a＋b）2＋8（a＋b）－20分解因式得（　　） A.（a＋b＋10）（a＋b－2） B.（a＋b＋5）（a＋b－4） C.（a＋b＋2）（a＋b－10） D.（a＋b＋4）（a＋b－5） 3.如图，书架宽84 cm，在该书架上按图示方式摆放语文书和英语书，已知每本英语书厚0.9 cm，每本语文书厚1.1 cm，语文书和英语书共84本恰好摆满该书架，则书架上英语书的本数为（　　） A.38 B.39 C.41 D.42 4.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（　　） A.（a＋2b）（a－b）＝a2＋ab－2b2 B.a2－b2＝（a＋b）（a－b） C.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 D.（a－b）2＝a2－2ab＋b2 5.〔多选〕若x2＋xy－2y2＝0，则的值可以为（　　 ） A.－ B.－ C. D. 6.已知等式2x2＋3x＋5＝2ax2＋a（3x＋1）＋c恒成立，则a＋c＝　　　　. 7.方程x－2－1＝0的解集为　　　　. 8.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的直角三角形，若a＝2，b＝3，则小正方形的面积是　　　　. 9.用因式分解法求下列方程的解集： （1）x2－10x＋9＝0； （2）2（x－3）＝3x（x－3）； （3）4（3x－2）（x＋1）＝3x＋3； （4）2（2x－3）2－3（2x－3）＝0； （5）2x2－16＝x2＋5x＋8； （6）（3x－1）2＋3（3x－1）＋2＝0. 10.〔多选〕设A＝{x｜x2－8x＋15＝0}，B＝{x｜ax＋1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的值可以为（　　 ） A.－ B.0 C.3 D.－ 11.一般情况下，使得＋＝成立的一对数m，n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）.若（x，1）是“相伴数对”，则x的值为　　　　. 12.设a，b∈R，求关于x的方程a2x＝x＋ab－b的解集. 13.阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等. 例如，ab＝1，求证＋＝1. 证明：＋＝＋＝＋＝1. 结合阅读材料解答下列问题：已知ab＝2，则＋的值为（　　） A.2 B.3 C.4 D.6 14.如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n.（以上长度单位：cm） （1）用含m，n的代数式表示图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和； （2）观察图形，将代数式2m2＋5mn＋2n2因式分解； （3）若每块小长方形的面积为10 cm2，四个正方形的面积和为58 cm2，试求（m＋n）2的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章　等式与不等式 2.1　等式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 1.C　因为（x－5）（x－b）＝x2－（5＋b）x＋5b， 所以即 2.A　（a＋b）2＋8（a＋b）－20＝ [（a＋b）－2][（a＋b）＋10]＝（a＋b－2）（a＋b＋10）. 3.D　设书架上有x本英语书，则语文书有84－x本.由题意，0.9x＋（84－x）×1.1＝84，解得x＝42.故选D. 4.B　图甲中阴影部分的面积为a2－b2，图乙中阴影部分面积为（a＋b）（a－b），因为两个图形中阴影部分的面积相等，所以a2－b2＝（a＋b）（a－b）.故选B. 5.BD　由x2＋xy－2y2＝0得（x＋2y）（x－y）＝0，得x＝－2y或x＝y， 当x＝－2y时，＝＝－； 当x＝y时，＝＝.故选B、D. 6.5　解析：因为2x2＋3x＋5＝2ax2＋a（3x＋1）＋c恒成立，即2x2＋3x＋5＝2ax2＋3ax＋（a＋c）恒成立，所以所以a＋c＝5. 7.{3＋2}　解析：设 ＝y，则 y≥0，故原方程可变为 y2－2y－1＝0，因此可知 y＝1＋ 或 y＝1－ （舍去）.从而＝1＋，即x＝3＋2，所以原方程的解集为{3＋2}. 8.1　解析：设小正方形边长为x，由勾股定理得（2＋x）2＋（3＋x）2＝（2＋3）2，解得x＝1，故小正方形的面积为1×1＝1. 9.解：（1）原方程可化为（x－1）（x－9）＝0，所以x＝1或x＝9， 所以该方程的解集为{1，9}. （2）原方程整理，得（x－3）（2－3x）＝0， 所以x－3＝0或2－3x＝0， 所以x＝3或x＝， 所以该方程的解集为. （3）原方程可化为4（3x－2）（x＋1）－3（x＋1）＝0， 即（x＋1）（12x－11）＝0，所以x＝－1或x＝， 所以该方程的解集为. （4）原方程可化为（2x－3）[2（2x－3）－3]＝0， 即（2x－3）（4x－9）＝0，所以x＝或x＝， 所以该方程的解集为. （5）原方程可化为2x2－x2－5x－16－8＝0， x2－5x－24＝0，即（x－8）（x＋3）＝0， 所以x＝8或x＝－3， 所以该方程的解集为{8，－3}. （6）原方程可化为[（3x－1）＋1][（3x－1）＋2]＝0， 即3x（3x＋1）＝0，所以x＝0或x＝－， 所以该方程的解集为. 10.ABD　∵A∩B＝B，∴B⊆A，A＝{x｜x2－8x＋15＝0}＝{3，5}， 当a＝0时，B＝∅，符合题意； 当a≠0时，B＝ ， 要使B⊆A，则－＝3或－＝5，解得a＝－或a＝－. 综上，a＝0或a＝－或a＝－.故选A、B、D. 11.－　解析：由题意，得＋＝，解得x＝－. 12.解：方程a2x＝x＋ab－b可化为（a2－1）x＝（a－1）b， 当a≠±1时，解集为； 当a＝1，b∈R时，解集为R； 当a＝－1，b＝0时，解集为R； 当a＝－1，b≠0时，解集为∅. 13.B　因为ab＝2，所以＋＝＋＝＋＝3.故选B. 14.解：（1）题图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为2（m＋2n）＋2（2m＋n）＝6m＋6n＝6（m＋n）. （2）2m2＋5mn＋2n2可以因式分解为（m＋2n）（2m＋n）. （3）依题意得，2m2＋2n2＝58，mn＝10，∴m2＋n2＝29. ∵（m＋n）2＝m2＋2mn＋n2，∴（m＋n）2＝29＋20＝49. 学科网（北京）股份有限公司 $