2.1.1等式的性质与方程的解集同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册（北京专用）

**基本信息** 《等式的性质与方程的解集同步练（北京专用）》以三阶分层设计实现从基础巩固到综合应用的递进，通过性质辨析、实际建模到参数讨论的路径，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|等式性质直接应用、简单方程解集|单选题1-5聚焦性质辨析，填空题9-10强化符号意识，夯实概念理解| |提升层|性质综合应用、实际问题建模|单选题2、3、13结合《孙子算经》等情境，培养模型意识，填空题11-12渗透参数思想| |综合层|含参数方程分类讨论|解答题15-16需分类讨论参数，发展逻辑推理能力，衔接阶段测评要求|

2.1.1等式的性质与方程的解集同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．等式的性质： 性质1  对称性：如果，那么______； 性质2  传递性：如果，，那么______； 性质3  可加（减）性：如果，那么； 性质4  可乘性：如果，那么； 性质5  可除性：如果，，那么. 【答案】 2．方程的解集 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的__________. 例：方程的解集为____________. 【答案】 解集 【分析】根据解集的定义，以及一元一次方程的解法，即可求解. 【详解】一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集; 方程，得， 所以方程的解集为. 故答案为：解集； 同步练 一、单选题 1．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】取，可判断A； 或，可判断B；取，可判断C；利用等式的性质，可判断D 【详解】选项A，当时，显然不成立； 选项B，如果，那么或，显然不成立； 选项C，当时，无意义，不成立； 选项D，如果，则，故，即，成立 故选：D 2．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少尺 （    ） A．11尺 B．10尺 C．6.5尺 D．6尺 【答案】C 【分析】利用条件可得方程组，即得. 【详解】设长木长为x尺，绳子长为y尺，则 ，解得 故选：C. 3．小明购买单价分别为4元/斤和6元/斤的两种苹果所花的钱数相同.混合后，苹果的平均单价（元/斤）是（   ） A．4.8 B．5.0 C．5.2 D．5.4 【答案】A 【分析】设用于购买每种苹果的钱数均为元，求得总重量，即可求解. 【详解】设用于购买每种苹果的钱数均为元， 则单价为4元/斤的苹果购买了斤，单价为6元/斤的苹果购买了斤， 总花费为元，总重量为斤. 所以混合后，苹果的平均单价4.8元/斤. 故选：A. 4．下列说法正确的是（　　） A．在等式两边同除以，可得 B．在等式两边同除以2，可得 C．在等式两边同除以，可得 D．在等式两边同除以，可得 【答案】D 【分析】利用等式的性质逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于A，在等式两边同乘以，可得，故A错误； 对于B，在等式两边同除以2，可得，故B错误； 对于C，若，则不一定相等，故C错误； 对于D，在等式两边同除以 ，可得，故D正确. 故选：D. 5．下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的性质，逐项验证即可. 【详解】对于选项，两边同时减，得到，故正确； 对于选项，没有说明，故不正确； 对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确； 对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确； 故选：. 6．已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等式的性质和举反例对每个选项进行判断即可 【详解】解：对于A，满足，但无意义，故错误； 对于B，两边同时加上2，该等式仍然成立，故正确； 对于C，当，，满足，但得不到，故错误； 对于D，当时，无法得到，故错误； 故选：B 7．已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等式的性质可判断各选项的正误. 【详解】因为，则，则，，故B选项正确，ACD选项错误. 故选：B. 8．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】图甲中阴影部分的面积为两正方形的面积之差,即为，边长分别为和 ,其面积为，利用据两个图形中阴影部分的面积相等即可得到平方差公式. 【详解】图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分面积为， 因为两个图形中阴影部分的面积相等， 所以. 故选：B 二、填空题 9．已知，方程的解集为______. 【答案】 【分析】分、、三种情况讨论，去绝对值符号，解原方程即可. 【详解】当时，则； 当时，则； 当时，则. 综上所述，原方程的解集为. 故答案为：. 10．方程的解集是____ 【答案】 【分析】将方程通分化简整理后可得，即可求得方程得解集. 【详解】方程可化为, 去分母可得, 整理可得，解得； 所以该方程的解集为. 故答案为： 11．关于x的方程的解集为，则实数a的值为______. 【答案】1 【分析】根据一元一次方程的解的即可求解. 【详解】由得， 若该方程的解为空集，则且，解得， 故答案为：1 12．已知关于的方程解集为，则“关于的不等式的解集是 ”是_________命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】由已知条件可得且，分、两种情况解不等式，即可得出结论. 【详解】因为关于的方程解集为，则，即，且， 由得， 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为； 当时，解原不等式可得，此时不等式的解集为. 故原命题为假命题. 故答案为：假. 13．我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：“今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？”其意是：“今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每种竹子单价各是多少钱？”则在这个问题中大竹子的单价可能为_______钱； 【答案】8 【分析】设买大竹子根，每根单价为钱，则可得，求出解后根据可求. 【详解】依题意可设买大竹子根，每根单价为钱， 买小竹子根，每根单价为钱， 所以即． 因为，，解得， 而为非负整数，故，故大竹子的单价为每根钱. 故答案为：. 14．已知、、是实数，下列三个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则．其中是真命题的序号为______． 【答案】②③ 【分析】利用特殊值法可判断①的正误；利用等式的性质可判断②③的正误. 【详解】对于①，若，，，则成立，但，①错； 对于②，若，则，由等式的性质可得，②对； 对于③，若，则，③对. 故答案为：②③. 三、解答题 15．求关于x的方程的解集，其中a是常数. 【答案】当时，方程的解集为；当时，方程的解集为. 【分析】将变形为，对一次项系数是否为0进行分类谈论即可求出结果. 【详解】因为，则 当时，方程无解，即解集为； 当时，，即解集为. 综上：当时，方程的解集为；当时，方程的解集为. 16．设a、，求关于x的方程的解集． 【答案】 当时，解集为； 当，时，解集为R； 当，时，解集为R； 当，时，解集为． 【分析】将方程转化为，分；，；，；，讨论求解. 【详解】方程转化为， 当时，解集为； 当，时，解集为R； 当，时，解集为R； 当，时，解集为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2.1.1等式的性质与方程的解集同步练（北京专用） 教材知识梳理 1.等式的性质： 性质1对称性：如果a=b,那么 性质2传递性：如果Q=b,b=C,那么 性质3可加（减）性：如果a=b,那么a±c=b±c: 性质4可乘性：如果a=b,那么ac=bc; 性质5可除性：如果a=b,c≠0，那么9=b 2.方程的解集 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的 例：方程3x+5=-1的解集为 同步练 一、单选题 1.下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是() A.如果a=b,那么a+c=b-c B.如果a2=6a,那么a=6 C.如果a=b,那么=b D.如果9=b,那么a=b 2.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之， 不足一尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再 量长木，长木还剩余1尺问长木长多少尺() A.11尺 B.10尺 C.6.5尺 D.6尺 3.小明购买单价分别为4元/斤和6元/斤的两种苹果所花的钱数相同混合后，苹果的平均 单价（元/斤）是() A.4.8 B.5.0 C.5.2 D.5.4 4.下列说法正确的是（) A.在等式2=C两边同除以a,可得b=c aa B.在等式2x=2a-b两边同除以2，可得X=a-b 试卷第1页，共3页 C.在等式ab=ac两边同除以a,可得b=c a=b D.在等式a=b两边同除以c2+1,可得。+12+1 5.下列式子中变形错误的是() A.3x-1=2x-1,则x=0 B.若ac=bc,则a=b c.若c=d D.若义=X 56,则y=x 6.己知等式mx=my,则下列变形正确的是() A.m yx B.mx+2=my+2 C.x=y D.mx=my 7.已知3x=7yy≠0，则下列比例式成立的是() A等岁 B乡者 C.x=3 y7 n等子 8.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，将余下的部 分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等 式为(). a 6 b b b 图甲 图乙 A.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 B.a2-b2=(a+b)(a-b) C.（a+bP=a2+2ab+b D.(a-b)2=a2-2ab+b 二、填空题 9.已知x∈R,方程x+1+2-x=3的解集为 0.方程。X-0.17-0.2×=1的解集是一 0.03 11.关于x的方程(a-1)(ax+1)=-1的解集为g,则实数a的值为 12.已知关于x的方程bx+c=0解集为2，则“关于x的不等式bx+c>0的解集是 试卷第2页，共3页 xx>2”是 命题（填“真”或“假”） 13.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：“今有出钱五百七十六，买竹七 十八，欲其大小率之，问各几何？”其意是：“今有人出钱576，买竹子78根，拟分大、 小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每 种竹子单价各是多少钱？”则在这个问题中大竹子的单价可能为钱： 14.已知a、b、c是实数，下列三个命题： ①若a-2c=b-2c,则a=b: ②若0-b 则a=b: ③若a<b<c<0,则c-a=a-b+b-c.其中是真命题的序号为 三、解答题 15.求关于x的方程ax=x+1的解集，其中a是常数： 16.设a、b∈R,求关于x的方程aX=X+ab-b的解集. 试卷第3页，共3页