1.1.2 集合的基本关系（学习讲义）-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书word（人教B版）

本讲义聚焦集合的基本关系核心知识点，系统梳理子集（概念、⊆表示、性质A⊆A和∅⊆A）、真子集（概念、⫋表示、传递性）、集合相等（A⊆B且B⊆A则A=B），通过实例引入构建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于融合数学抽象与直观想象，以“想一想”引导概念辨析，维恩图可视化集合关系，题型分层（判断、子集个数、参数问题）并配跟踪训练。课中助教师系统授课，课后学生可借例题解析和练习查漏补缺，提升逻辑推理能力。

1.1.2　集合的基本关系 1.理解集合之间包含与相等的含义（数学抽象）. 2.能识别给定集合的子集（数学抽象）. 3.了解空集与其他集合的关系（数学抽象）. 4.能使用维恩图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用（数学抽象、直观想象）. 　　所有中国公民构成的集合为B，北京市的中国公民构成的集合为A. 【问题】　（1）集合A中元素与集合B中元素存在怎样的关系？ （2）集合A与集合B有什么关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　子集 1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）. 2.如果A不是B的子集，记作A⊈B（或B⊉A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）. 3.性质：A⊆A；∅⊆A. 【想一想】 1.任意两个集合之间是否有包含关系？ 2.符号“∈”与“⊆”有什么区别？ 知识点二　真子集 1.真子集的有关概念与性质 （1）概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）； （2）性质：对于集合A，B，C，①如果A⊆B，B⫋C，则A⫋C；②如果A⫋B，B⫋C，则A　　C. 2.维恩图 （1）概念：如果用平面上一条封闭曲线的　　　　来表示集合，这种示意图通常称为维恩图； （2）维恩图的优点及其表示 ①优点：形象直观； ②表示：通常用　　　　的　　　　代表集合. 【想一想】 1.任何集合A是其本身的真子集吗？ 2.空集是任何集合的真子集吗？ 3.你认为“⊆”和“⫋”有什么区别和联系？ 知识点三　集合的相等与子集的关系 性质：由集合相等的定义可知：如果　　　　且　　　　，则A＝B；反之，如果A＝B，则　　　　且　　　　. 1.〔多选〕下列表述正确的是（　　） A.{1}⊆{1，2}　　　 B.{0}⊆{1，2} C.{1，2}⊇{2} D.{1，2}⊆{2，1} 2.若集合A＝{2，3，4，5，6}， 则A的真子集的个数为（　　） A.32 B.31 C.25 D.24 3.若M＝{x｜（x－1）（x＋2）＝0}，N＝{1，－2}，P＝{（x，y）｜y＝（x－1）（x＋2）}，则这三个集合中，具有相等关系的是　　　　. 　　 题型一｜集合间关系的判断 【例1】　（链接教科书第13页例3）指出下列各对集合之间的关系： （1）A＝{－1，1}，B＝{（－1，－1），（－1，1），（1，－1），（1，1）}； （2）A＝{x｜－1＜x＜4}，B＝{x｜x－5＜0}； （3）A＝{x｜x是等边三角形}，B＝{x｜x是等腰三角形}； （4）M＝{x｜x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x｜x＝2n＋1，n∈N*}； （5）A＝{x｜x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x｜x＝a2－4a＋5，a∈R}. 尝试解答 通性通法 判断集合间关系的常用方法 【跟踪训练】 1.下列各组两个集合A和B表示同一集合的是（　　） A.A＝{π}，B＝{3.14} B.A＝{2，3}，B＝{（2，3）} C.A＝{1，，π}，B＝{π，1，｜－｜} D.A＝{x∈N｜－1＜x≤1}，B＝{1} 2.若集合M＝，N＝，则集合M，N之间的关系是　　　　. 题型二｜确定有限集合的子集、真子集及其个数 【例2】　（链接教科书第11页例1）（1）集合M＝{1，2，3}的真子集个数是（　　） A.6　　　　　　　　 B.7 C.8 D.9 （2）〔多选〕下列各个选项中，满足{x｜x2－2x－3＝0}⊆A⫋{－1，0，1，3}的集合A有（　　） A.{－1，3} B.{－1，1} C.{－1，0，3} D.{－1，0，1，3} 尝试解答 通性通法 1.求集合子集、真子集个数的3个步骤 2.与子集、真子集个数有关的3个结论 假设集合A中含有n个元素，则有： （1）A的子集的个数为2n个； （2）A的真子集的个数为2n－1个； （3）A的非空真子集的个数为2n－2个. 【跟踪训练】 1.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，则C＝{x｜x＝2a＋b，a∈A，b∈B}的子集个数为（　　） A.8 B.16 C.32 D.64 2.若集合A＝{x｜x2－3x＝0}，B＝{0，1，2，3}，则满足A⊆M⊆B的集合M的个数是　　　　 　. 题型三｜由集合间的关系求参数值（范围） 角度1　由集合相等求参数 【例3】　已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值. 尝试解答 通性通法 由集合相等求参数的方法 　　解决由两集合相等求参数问题的关键是明确“两集合相等即两集合中所含元素完全相同，且与元素排列顺序无关”，利用分类讨论的思想方法呈现所有可能的对应情况即可.另外，需注意检验所求参数的值是否满足题中的限制条件，以及是否满足集合中元素的互异性. 角度2　已知包含关系求参数 【例4】　（链接教科书第11页例2）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B⫋A，求实数m的取值范围. 尝试解答 【母题探究】 1.（变条件）在本例条件下，若B⊆A，求实数m的取值范围. 2.（变条件）在本例条件下，若A⫋B，求实数m的取值范围. 通性通法 　　应用集合关系求参数的4个步骤 【跟踪训练】 1.设集合A＝{1，a}，B＝{a＋1，a2，3}，若A⊆B，则a＝（　　） A.3 B.1 C.0 D.－1 2.已知a∈R，b∈R，若集合{a，，1}＝{a2，a＋b，0}，则a2 024＋b2 025的值为（　　） A.－2　 　B.1 C.－1　　　D.2 1.已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x｜x∈P且x∉Q}，则M＝（　　） A.{1} B.{2} C.{1，2} D.{1，2，3} 2.已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，2a＋3}，若A＝B，则a等于（　　） A.－1或3 B.0或－1 C.3 D.－1 3.若集合A＝{x｜x＝3k，k∈Z}，B＝{x｜x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是（　　） A.A⊆B B.A⊇B C.A⫋B D.B⫋A 4.〔多选〕已知集合A＝{x｜ax≤4}，B＝{4，}，若B⊆A，则实数a的值可能是（　　） A.－1 B.1 C.－2 D.2 5.集合{x∈N*｜∈Z}的真子集的个数是　　　　　. 提示：完成课后作业　第一章　1.1　1.1.2 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2　集合的基本关系 【基础落实】 新知初探 知识点一 想一想 1.提示：不一定，如集合A＝{1，3}，B＝{2，3}，这两个集合就没有包含关系. 2.提示：（1）“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N. （2）“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}. （3）“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合. 知识点二 1.（2）⫋　2.（1）内部　（2）②封闭曲线　内部 想一想 1.提示：任何集合A不可能是其本身的真子集. 2.提示：空集是任何非空集合的真子集. 3.提示：（1）“⊆”和“⫋”均表示集合与集合之间的关系. （2）“⊆”表示子集关系，“⫋”表示真子集关系. （3）若A⫋B，则A⊆B.但是，若A⊆B，则A⫋B不一定成立. 知识点三 A⊆B　B⊆A　A⊆B　B⊆A 自我诊断 1.ACD　由子集的概念知A、C、D表述正确；因为0∉{1，2}，所以{0}⊈{1，2}. 2.B　集合A＝{2，3，4，5，6}共有5个元素，所以集合A共有25－1＝31个真子集.故选B. 3.M和N　解析：M为方程（x－1）（x＋2）＝0的解集，故M＝{1，－2}，P表示点集，M，N都为数集，且元素完全相同.故填M和N. 【典例研析】 【例1】　解：（1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. （2）集合B＝{x｜x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A⫋B. （3）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A⫋B. （4）两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N⫋M. （5）A＝{x｜x＝a2＋1，a∈R}＝{x｜x≥1}，B＝{x｜x＝（a－2）2＋1，a∈R}＝{x｜x≥1}，所以A＝B. 跟踪训练 1.C　A选项中集合A中的元素为无理数，而B中的元素为有理数，故A≠B； B选项中集合A中的元素为实数，而B中的元素为有序数对，故A≠B； C选项中｜－｜＝，则集合A＝{1，，π}，B＝{π，1，}，故A＝B； D选项中集合A中的元素为0，1，而B中的元素为1，故A≠B.故选C. 2.M⫋N　解析：因为M＝ ＝， N＝＝. 若x∈M，则x＝＝. 因为k∈Z，所以2k－1∈Z，所以x∈N，所以M⊆N， 又因为0∈N，0∉M，所以M⫋N. 【例2】　（1）B　（2）AC　解析：（1）集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个为∅，含有1个有3个真子集{1}，{2}，{3}，含有2个元素有3个真子集{1，2}，{1，3}和{2，3}，共有7个真子集.故选B. （2）因为x2－2x－3＝（x－3）（x＋1）＝0，即有{－1，3}⊆A⫋{－1，0，1，3}，所有满足条件的集合A为{－1，3}，{－1，0，3}，{－1，1，3}.故选A、C. 跟踪训练 1.B　因为A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，x＝2a＋b，a∈A，b∈B， 所以当a＝1，b＝3时，x＝2×1＋3＝5， 当a＝1，b＝5时，x＝2×1＋5＝7， 当a＝2，b＝3时，x＝2×2＋3＝7， 当a＝2，b＝5时，x＝2×2＋5＝9， 当a＝3，b＝3时，x＝2×3＋3＝9， 当a＝3，b＝5时，x＝2×3＋5＝11， 所以C＝{5，7，9，11}，所以集合C的子集个数为24＝16.故选B. 2.4　解析：因为集合A＝{x｜x2－3x＝0}＝{0，3}，B＝{0，1，2，3}，因为A⊆M⊆B，故M有元素0，3，且可能有元素1或2，所以M＝{0，3}或M＝{0，1，3}或M＝{0，2，3}或M＝{0，1，2，3}，故满足A⊆M⊆B的集合M的个数为4. 【例3】　解：∵A＝B，∴或 当时，消去b得ac2＋a－2ac＝0. 若a＝0，则a＝ac＝ac2＝0，不满足集合中元素的互异性， ∴a≠0，∴c2－2c＋1＝0，∴c＝1，此时a＝ac＝ac2＝a，不满足集合中元素的互异性，舍去. 当时，消去b得2ac2－ac－a＝0. ∵a≠0，∴2c2－c－1＝0. 而c≠1，∴c＝－. 将c＝－代入得b＝－a. 从而可得A＝，B＝，满足题意. 故c的值为－. 【例4】　解：①当B≠∅时，如图所示. ∵B⫋A， ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3. ②当B＝∅时，由m＋1＞2m－1，得m＜2，此时B⫋A. 综上可得，m的取值范围是（－∞，3]. 母题探究 1.解：当B＝∅时，m＋1＞2m－1，即m＜2. 当B≠∅时，解得 即2≤m≤3. 综上可知，m的取值范围为（－∞，3]. 2.解：∵A⫋B. ∴或 即或 ∴不存在m使A⫋B. 跟踪训练 1.C　因为A＝{1，a}，B＝{a＋1，a2，3}且A⊆B，所以1∈B，则a＋1＝1或a2＝1，解得a＝0或a＝1或a＝－1.当a＝0时，A＝{1，0}，B＝{1，0，3}，符合题意；当a＝1时，集合A不满足元素的互异性，故舍去；当a＝－1时，A＝{1，－1}，B＝{1，0，3}，不满足A⊆B，故舍去.同理a∈B，则a＝a2或a＝3，即a＝0或a＝1或a＝3，由以上分析可知a＝0符合题意，a＝1不符合题意，当a＝3时，A＝{1，3}，B＝{4，9，3}，不符合题意.综上可得a＝0.故选C. 2.B　∵，∴a≠0.∵{a，，1}＝{a2，a＋b，0}，∴＝0，即b＝0，∴{a，0，1}＝{a2，a，0}，∴当时，a＝－1或a＝1.当a＝1时，即得集合{1，0，1}，不符合元素的互异性，故舍去.当时，a＝1，即得集合{1，0，1}，不符合元素的互异性，故舍去.综上，a＝－1， b＝0，∴a2 024＋b2 025＝（－1）2 024＋02 025＝1.故选B. 随堂检测 1.A　集合M由在P中且不在Q中的元素构成，则M＝{1}.故选A. 2.C　因为A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，2a＋3}，若 A＝B，则a2＝2a＋3，解得a＝3或a＝－1.又因为集合元素的互异性，所以a≠－1，即a＝3.故选C. 3.D　依题意，集合A的元素是3的倍数，集合B的元素是6的倍数，所以集合B是集合A的真子集.故选D. 4.ABC　因为B⊆A，所以4∈A，∈A，则解得a≤1.故选A、B、C. 5.7　解析：由题意得，x为4的正因数，故{x∈N*｜∈Z}＝{1，2，4}， 所以此集合的真子集个数为23－1＝7. 学科网（北京）股份有限公司 $