第一章 集合与常用逻辑用语 章末整合提升 体系构建 素养提升-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

该高中数学单元复习讲义以数学抽象、数学运算、逻辑推理、数学建模四大核心素养为主线构建知识体系，通过知识框架图梳理集合的概念、运算、关系及应用等内容，清晰呈现重难点分布和内在逻辑联系。 讲义亮点在于“素养导向”的分层练习设计，如通过定义集合运算（A*B={z|z=xy,x∈A∩B,y∈A∪B}）培养数学抽象能力，结合高考真题（2023全国甲卷集合运算题）强化数学运算素养，逻辑推理部分设计充分条件判定等题型。解析详细且方法多样，基础学生可掌握运算规则，优秀学生能提升推理能力，助力教师实施精准分层教学。

一、数学抽象 　　数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系，在本章中，主要表现在集合概念的理解及应用中. 培优一｜集合的基本概念 【例1】　（1）定义集合运算：A*B＝{z｜z＝xy，x∈A∩B，y∈A∪B}.若集合A＝{1，2，3}，B＝{0，1，2}，则∁（A*B）A＝（　D　） A.{0}　　　　　　　 B.{0，4} C.{0，6}　 D.{0，4，6} 解析：因为A＝{1，2，3}，B＝{0，1，2}，所以A∩B＝{1，2}，A∪B＝{0，1，2，3}，所以当x∈A∩B，y∈A∪B时，z＝0，1，2，3，4，6，所以A*B＝{0，1，2，3，4，6}，所以∁（A*B）A＝{0，4，6}.故选D. （2）已知集合{1，a，2b}＝，则a＋b＝　2或4或1　. 解析：∵{1，a，2b}＝，∴2∈{1，a，2b}，∴a＝2或2b＝2，即a＝2或b＝1.当a＝2时，{1，2，2b}＝{2，b2，1}，即b2＝2b，解得b＝0或b＝2，此时a＋b＝2＋0＝2或a＋b＝2＋2＝4；当b＝1时，{1，a，2}＝，即a＝，解得a＝0，a＋b＝0＋1＝1.综上，a＋b＝2或4或1. 二、数学运算 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.在本章中，主要表现在集合的交、并、补运算中. 培优二｜集合的运算 【例2】　（1）（2023·全国甲卷1题）设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U（M∪N）＝（　A　） A.{x｜x＝3k，k∈Z}　 B.{x｜x＝3k－1，k∈Z} C.{x｜x＝3k－2，k∈Z}　 D.∅ 解析：法一（列举法）　M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}.故选A. 法二（描述法）　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集.故选A. （2）已知集合A＝{x｜2≤x＜7}，B＝{x｜3＜x＜10}，C＝{x｜x＜a}. ①求A∪B，（∁RA）∩B； ②若A∩C≠∅，求a的取值范围. 解：①因为A＝{x｜2≤x＜7}，B＝{x｜3＜x＜10}， 所以A∪B＝{x｜2≤x＜10}. 因为A＝{x｜2≤x＜7}， 所以∁RA＝{x｜x＜2，或x≥7}， 则（∁RA）∩B＝{x｜7≤x＜10}. ②因为A＝{x｜2≤x＜7}，C＝{x｜x＜a}， 且A∩C≠∅，所以a＞2， 所以a的取值范围是{a｜a＞2}. 三、逻辑推理 　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.本章主要表现在集合的基本关系、充要条件及全称量词命题和存在量词命题中. 培优三｜集合间的关系 【例3】　（1）已知集合A＝{（x，y）｜xy＝9，x∈Z，y∈Z}，则满足{（3，3），（－3，－3）}⊆B⊆A的集合B的个数为（　A　） A.16　 B.14 C.8　 D.2 解析：由集合A＝{（x，y）｜xy＝9，x∈Z，y∈Z}， 可得集合A中元素有（1，9），（3，3），（9，1），（－1，－9），（－3，－3），（－9，－1），所以集合{（1，9），（9，1），（－1，－9），（－9，－1）}的任何一个子集，添加元素（－3，－3），（3，3）后都可以作为集合B，所以符合条件的集合B共有24＝16个.故选A.（2）已知集合A＝{1，a＋2}，B＝{a2，1，3}，若对∀x∈A，都有x∈B，则a为（　C　） A.1　 B.－1 C.2　 D.1或2 解析： 由题意得A⊆B，当a＋2＝a2时，解得a＝2或a＝－1，当a＝2时，B＝{4，1，3}满足要求，当a＝－1时，a＋2＝1，a2＝1，A，B中元素均与互异性矛盾，舍去，当a＋2＝3时，a＝1，此时a2＝1，B中元素与互异性矛盾，舍去.综上，a＝2.故选C. （3）已知集合M＝{x｜x＝2m＋，m∈Z}，N＝{x｜x＝n－，n∈Z}，P＝{x｜x＝p＋，p∈Z}，则M，N，P的关系（　B　） A.M＝N⫋P　 B.M⫋N＝P C.M⫋N⫋P　 D.N⫋P⫋M 解析：由N＝{x｜x＝n－，n∈Z}＝{x｜x＝（n－1）＋，n∈Z}，又M＝{x｜x＝2m＋，m∈Z}，P＝{x｜x＝p＋，p∈Z}，而2m为偶数，n－1和p为整数，所以M⫋N＝P.故选B. 培优四｜充分条件与必要条件的判定 【例4】　（1）已知p：x∈（A∪B），q：x∈（A∩B），则p是q的（　B　） A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件　 D.既不充分也不必要条件 解析：若x∈（A∪B），则x∈（A∩B）可能成立，也可能不成立，比如x∈A∩（∁UB），故p推不出q.若x∈（A∩B），则x∈（A∪B）必定成立，故q能推出p，故p是q的必要不充分条件.故选B. （2）已知p：x＜m，q：－1≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则m的值可能为　4（答案不唯一）　.（填一个满足条件的值即可） 解析：∵p是q的必要不充分条件，∴m＞3.故答案可为4. 培优五｜充分条件与必要条件的探求及应用 【例5】　（1）〔多选〕“－＜x＜2”的一个必要不充分条件可以是（　AD　） A.－4＜x＜3　 B.0＜x＜1 C.－＜x＜　 D.x＜2 解析： 由题意可知{x｜－＜x＜2}是选项中对应集合的真子集，结合选项可知{x｜－＜x＜2}是{x｜－4＜x＜3}的真子集，{x｜－＜x＜2}是{x｜x＜2}的真子集，故选项A、D符合.故选A、D. （2）若x，y∈R，则“x＞y”的一个充分不必要条件可以是（　D　） A.｜x｜＞｜y｜　 B.x2＞y2 C.＞1　 D.x－y＞1 解析：对于A，当x＝－2，y＝1时，｜x｜＞｜y｜，x＜y，故A不符题意；对于B，当x＝－2，y＝1时，x2＞y2，x＜y，故B不符题意；对于C，当x＝－2，y＝－1时，＞1，x＜y，故C不符题意；对于D，因为x－y＞1，所以x＞y＋1＞y，若x＝2，y＝1，则x－y＝1，所以“x＞y”的一个充分不必要条件可以是x－y＞1，故D符合题意.故选D. 培优六｜全称量词命题和存在量词命题及其否定 【例6】　分别求满足下列条件的实数a的取值范围： （1）“∀x∈[a，＋∞），x2≥1”是真命题； 解：当x2≥1时，解得x≥1或x≤－1.又因为“∀x∈[a，＋∞），x2≥1”为真命题.故a∈[1，＋∞）. （2）“∃x∈（－∞，a]，x2＝1”是假命题. 解：求解x2＝1可得x＝±1，又“∃x∈（－∞，a]，x2＝1”为假命题，故“∀x∈（－∞，a]，x2≠1”，故a∈（－∞，－1）. 四、数学建模 　　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章中，主要表现在集合的实际应用问题中. 培优七｜集合的实际应用 【例7】　向50名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人.问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 解：赞成A的人数为50×＝30，赞成B的人数为30＋3＝33. 记50名学生组成的集合为U，赞成A的学生全体为集合M，赞成B的学生全体为集合N，设对A，B都赞成的学生人数为x，则对A，B都不赞成的学生人数为＋1，赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x，作出维恩图如图所示，依题意可得（30－x）＋（33－x）＋x＋＝50，解得x＝21，所以对A，B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $