专题5.3 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量基本定理及坐标表示核心考点，涵盖定理意义、正交分解、坐标运算及共线条件等新课标要求内容，按“知识点梳理-解题策略总结-题型例析-变式训练-综合练习”逻辑架构，通过7类典型题型（基底辨析、向量表示、参数求解等）及近三年高考真题融入，帮助学生系统构建知识网络，突破转化推理难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如设计基底拆分专题训练学生几何直观，通过坐标参数运算题组提升符号意识，设置基础巩固到综合应用分层练习。结合即时反馈机制，助力学生在有限时间内掌握高频考点，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用教学支撑。

专题5.3 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)了解平面向量基本定理及其意义 (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 平面向量基本定理 全国一卷：第2题，5分 平面向量的坐标表示 新课标I卷：第3题，5分 全国甲卷（理数）：第9题，5分 全国一卷：第6题，5分 全国二卷：第12题，5分 命题规律分析 1、平面向量基本定理及坐标表示 平面向量基本定理与坐标表示是高考的重点、热点内容，核心考查平面向量基本定理、平面向量的坐标运算、向量共线的坐标表示及线性关系转化，常结合几何图形综合命题。 从近三年的高考情况来看，本节内容主要以选择题、填空题的形式考查，是选择、填空题中的常规高频考点，考查形式、频率比较稳定，一般考查1题，难度较易；平面向量基本定理及坐标表示以小题为主，侧重基底拆分、坐标参数运算，融合几何场景考查转化推理能力，学生在高考复习中应注意加强这方面的练习。 考点1 平面向量基本定理 知识点1 平面向量基本定理及其解题策略 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.若不共线，我们把{}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路： 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 考点2 平面向量的坐标表示 知识点2 平面向量坐标运算及其解题策略 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区别 表示形式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理可得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．共线的坐标表示 (1)两向量共线的坐标表示 设，，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数λ，使=λ.如果用坐标表示，可写为()=λ()，即，消去λ，得.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是. (2)三点共线的坐标表示 若A()，B()，C()三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. 4．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 【方法技巧与总结】 1．若与不共线，且，则. 2．已知P为线段AB的中点，若A()，B()，则P点坐标为. 3．已知△ABC的重心为G，若A()，B()，C()，则G. 【题型1 基底的概念及辨析】 【例1】（2026·山西·二模）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可. 【解答过程】对于选项A，，两向量共线，不符合基底的定义，故A错误； 对于选项B，，两向量共线，不符合基底的定义，故B错误； 对于选项C，不存在实数，使得，故C正确； 对于选项D，，两向量共线，不符合基底的定义，故D错误. 故选：C. 【变式1-1】（2026·上海·三模）下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A．， B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线. 【解答过程】A选项：，与共线，A错误； 对于B，由，B错误； 对于C，两向量不存在倍数关系，所以C正确， 对于D，，与共线，D错误； 故选：C. 【变式1-2】（2026·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】C 【解题思路】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可. 【解答过程】对A：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对B：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量， 且存在实数，使得， 故和共线，不可作基底； 对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高一下·江苏无锡·期中）设是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解题思路】由平面向量基底定义可判断选项正误. 【解答过程】平面内不共线的一组向量可作为一组基底，则不可以作为基底的两向量共线. 对于A，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在，故这组向量可作为一组基底，A错误； 对于B，假设两向量共线，则存在实数，使，显然满足等式，故这组向量共线，B正确； 对于C，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在，故这组向量可作为一组基底，C错误； 对于D，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在，故这组向量可作为一组基底，D错误. 故选：B． 【题型2 用基底表示向量】 【例2】（2026·四川绵阳·模拟预测）设在中，点D为边上一点，且，点E为边上的中点. 若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用向量的线性运算，即可用基底表示. 【解答过程】 因为，所以为中点，即， 又因为点E为边上的中点，所以， 由， 因为，，所以， 故选：D. 【变式2-1】（2026·陕西西安·模拟预测）在等腰梯形中，，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】作图，分析图中的几何关系，用基底的方法表示即可． 【解答过程】已知在等腰梯形中，，如下图：    ， ， 故选：B. 【变式2-2】（2026·天津河北·模拟预测）如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】应用向量加减、数乘的几何意义用，表示出即可. 【解答过程】由题设，， 所以 . 故选：B. 【变式2-3】（2026·甘肃定西·模拟预测）已知在梯形中，，，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，由平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理即可求解. 【解答过程】因为，，， 所以， 因为，， 所以，， 所以. 故选：B. 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 【例3】（2026·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先利用基底表示，再设，即可构造关于的方程组. 【解答过程】因，则， 故， 因三点共线，故设，则， 因，则，解得． 故选：D． 【变式3-1】（2026·江苏南通·二模）在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先选择两条不共线的向量作基底，再进行向量的线性运算，最后利用平面向量基本定理来求解即可． 【解答过程】 由图可知：，， 因为，所以， 整理得：， 根据平面向量基本定理可得：，解得， 所以， 故选：A． 【变式3-2】（2026·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、. 设，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用三点共线，可求出的值. 【解答过程】 如图，连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C． 【变式3-3】（25-26高三上·辽宁·期中）在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把用得到，， ，再根据的范围即可求解. 【解答过程】以为基底， ， 又，所以由平面向量基本定理可知，， 则，又，所以． 故选：C. 【题型4 平面向量线性运算的坐标表示】 【例4】（2026·天津红桥·模拟预测）若向量，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用平面向量的坐标运算求得结果. 【解答过程】由，， 则. 故选：A. 【变式4-1】（2026·云南曲靖·二模）已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设点 ，求出，再列出方程，即可得解. 【解答过程】设点 ， 则， 又，所以， 所以点的坐标为， 故选：A. 【变式4-2】（2026高二上·贵州·学业考试）向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用平面向量减法的坐标运算可得结果. 【解答过程】因为向量，，则. 故选：A. 【变式4-3】（2026·甘肃甘南·模拟预测）向量 ，， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立坐标系，然后用坐标法计算即可 【解答过程】 如图，以O为坐标原点建立坐标系， 则 所以 则，则，则. 故选：C. 【题型5 向量共线的坐标表示】 【例5】（2026·河南·模拟预测）已知向量，，若，则（   ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【解题思路】由向量共线的坐标表示列出等式求解即可. 【解答过程】因为， 所以， 解得 ， 故选：A. 【变式5-1】（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解题思路】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【解答过程】由向量，因为，可得，解得. 故选：A. 【变式5-2】（2026·四川攀枝花·模拟预测）设向量，，且与的方向相反，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．不存在 【答案】A 【解题思路】先根据向量共线求的值，再根据两向量方向相反进行验证. 【解答过程】向量，，因为，所以，解得或. 当时，，，与的方向相同，舍去； 当时，，，与的方向相反，符合题意. 故选：A. 【变式5-3】（2026·河北邯郸·一模）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【解题思路】利用向量共线的坐标运算求解. 【解答过程】向量，若，则有，解得. 故选：B. 【题型6 利用坐标求向量的模】 【例6】（25-26高一下·山东东营·期中）已知向量，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】求出，求模即可. 【解答过程】∵，，∴， ∴. 故选：C. 【变式6-1】（2026·陕西咸阳·三模）已知向量满足，则＝（   ） A．5 B．－5 C．－11 D．11 【答案】B 【解题思路】由题可求，再求值即可. 【解答过程】， ，， 所以. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高一下·山东淄博·阶段检测）已知向量，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由向量线性运算的坐标表示及模长公式，再结合二次函数求最值即可； 【解答过程】由， 可得：， 所以，当取得最小值； 故选：C. 【变式6-3】（25-26高二下·云南曲靖·阶段检测）已知向量，，，则实数m的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解题思路】先求得的坐标，再由求解. 【解答过程】因为向量，， 所以， 又因为， 所以， 解得. 故选：D. 【题型7 向量坐标的线性运算解决几何问题】 【例7】（25-26高一下·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解题思路】构建以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求，，得到两个关系式，即可求值； 【解答过程】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 因为， ， 化简，即 化简得，即 所以，即, 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【解答过程】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B. 【变式7-2】（25-26高一下·安徽合肥·期中）设O为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点、、、，根据已知条件求出点的坐标，利用三角形的面积公式可求得结果. 【解答过程】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点、、， 则，，， 由，可得，解得，， 所以，，，因此，. 故选：D. 【变式7-3】（2026·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【解答过程】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设则，， 所以， 设，则， 所以，所以， 因为，所以， 即的取值范围是， 故选：C. 一、单选题 1．（2026·江苏南京·三模）已知向量，，若，则（    ） A．6 B．9 C．4 D．5 【答案】A 【解题思路】根据向量线性运算的坐标表示，及向量平行的坐标表示进行计算即可. 【解答过程】由题意得， 又向量，则，所以，解得． 故选：A． 2．（2026·云南·三模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由向量减法的坐标运算，求出的坐标，再求模即可. 【解答过程】因为， 所以， 故选：C. 3．（2026·甘肃·模拟预测）设向量，，，若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】先将转化为坐标方程组，然后求解，进而可得. 【解答过程】因为，所以， 即，解得，所以. 故选：D． 4．（2026·云南·模拟预测）在下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】根据向量的共线与否，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】选项A，是零向量，零向量与任意向量共线，不能作为基底； B，，两向量共线，不能作为基底； C，，两向量共线，不能作为基底； D、，两向量不共线，可以作为基底. 故选：D． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据三等分点的向量关系，先将通过和分解，再把用表示、用与表示，通过线性运算整理出关于的表达式，进而得到系数和，最后计算的值． 【解答过程】由点是线段上靠近的三等分点，得， 由点是线段上靠近的三等分点，得， 所以 ， 由，得，， 所以． 故选：B． 6．（2026·广东肇庆·一模）已知点，向量，，点P是线段AB靠近点A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量线性运算得，然后根据向量的坐标运算列式求解即可. 【解答过程】由题意得，所以，即， 设，则，所以. 故选：B. 7．（2026·河北保定·二模）如图，在中，若点满足 且 与 交于点 O，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，，，利用平面向量线性运算，用基底表示，根据平面向量基本定理求出系数即可求解. 【解答过程】设，则得，即， 再设，则，即， ，解得， 所以. 故选：B． 8．（2026·江苏盐城·模拟预测）在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据平面向量基本定理，结合向量共线得出相关线段比例关系，进而根据三角形的面积公式求解． 【解答过程】 已知，由共线，设， ，故， ，则， ， ，故，故； 设，则，即，则， ，解得， 由得出，故， 由知，设到的距离为，则， 由知，设到的距离为，则，即， ． 故选：C． 二、多选题 9．（25-26高一上·辽宁·期末）已知点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】根据平面向量线性运算的坐标表示进行运算求解即可. 【解答过程】因为， 所以，则，故A不正确； 因为，故B正确； 因为，故C正确； 因为，故D不正确． 故选：BC. 10．（25-26高一下·陕西榆林·阶段检测）设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BD 【解题思路】根据只有不共线的两个向量才能作为基底，只需判断各组向量是否共线即可. 【解答过程】选项，若与共线，则存在，使，即， 则且，矛盾，所以与不共线，可以作为基底； 选项，因为，所以与共线，因此不能作为基底； 选项，若与共线，则存在，使， 所以，无解，所以与不共线，可以作为基底； 选项，因为，所以与共线，因此不能作为基底. 故选：BD. 11．（25-26高一下·山东临沂·阶段检测）在中，点，分别在和上，且满足，，点在线段上，且，则下列各组数据适合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【解题思路】由点在线段上可设，.根据题意可得，，∴.结合平面向量基本定理即可得到，逐项判断即可求解. 【解答过程】∵点在线段上，∴设，. 又点，分别在和上，且满足，， ∴，，∴. 又，∴，即. 故选项A，C，D正确，选项B错误. 故选：ACD. 三、填空题 12．（2026·湖北·三模）已知向量，，若与平行，则实数________． 【答案】 【解题思路】由向量坐标的数乘及加减法运算求出与，然后利用向量共线的坐标表示列式求解． 【解答过程】已知向量，， 则，， 若与平行， 则，即. 故答案为：. 13．（2026·山西吕梁·模拟预测）如图，在正方形中，，，若 ，则___________． 【答案】 【解题思路】利用平面向量基本定理求解. 【解答过程】因为 ， 又 ,， 所以 . 故答案为：. 14．（2026·江西新余·一模）已知向量，若与是共线向量，则实数___________. 【答案】 【解题思路】由向量线性关系的坐标运算及共线的坐标表示列方程求参数即可. 【解答过程】由题设，，且两向量共线， 所以，则. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一下·甘肃庆阳·期末）已知向量． (1)若与共线，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据平面共线向量的坐标表示建立关于的方程进行求解； （2）根据平面向量的线性运算的坐标表示建立关于的方程组进行求解. 【解答过程】（1）由题得， 因为与共线，， 所以，解得． （2），即， 则， 解得． 16．（25-26高一下·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，已知，设． (1)若，求实数的值； (2)若M为线段靠近点C的三等分点，求点M的坐标． 【答案】(1)，． (2)点的坐标为． 【解题思路】（1）先计算的坐标表达式，因为两个向量相等则对应坐标相等，所以可以得到关于m、n的二元一次方程组，求解该方程组即可得到m、n的值; （2）根据三等分点的线段比例关系，得到与的数量关系，再利用向量的加法，代入对应坐标计算得到点的坐标. 【解答过程】（1）由已知得 ，,． 由得， 则 ，解得 ． （2）为线段靠近的三等分点，有． 故， 即点的坐标为． 17．（25-26高一下·河北·期末）已知两个不共线的向量，，设，，． (1)若，求实数，的值； (2)设，且，，三点共线，其中，，，为坐标原点，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意整理可得，结合平面向量基本定理运算求解即可； （2）根据三点共线的推论可知存在实数使得，即可得，结合平面向量基本定理运算求解即可. 【解答过程】（1）因为，即， 又因为，不共线，由平面向量基本定理得，解得. （2）因为，，三点共线，且，，， 所以存在实数使得， 又因为，即， 且不共线，由平面向量基本定理得，解得， 故实数的值为． 18．（25-26高一下·广东湛江·期末）已知向量，，，． (1)若A，B，C三点共线，求实数m的值； (2)若四边形为矩形，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据三点共线即向量平行求参数. （2）利用向量平行和垂直的坐标运算求解. 【解答过程】（1）向量，，， 所以，，                                     由A，B，C三点共线知， 即， 解得． （2）由，， ，，                 若四边形为矩形，则， 即，解得．                 由，得， 解得，，                                 所以． 19．（25-26高一下·山东青岛·期末）如图，在中，是上的一点，是的中点，过点的直线与边，分别相交于点，．设，． (1)若，，求的值． (2)在（1）的条件下，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由平面向量基本定理可得； （2）由，，三点共线可得，再结合基本不等式可得. 【解答过程】（1）因为，所以， 又因为是的中点，所以， 又， 所以，，所以； （2）因为，， 由（1）知，， 又，，三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)了解平面向量基本定理及其意义 (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 平面向量基本定理 全国一卷：第2题，5分 平面向量的坐标表示 新课标I卷：第3题，5分 全国甲卷（理数）：第9题，5分 全国一卷：第6题，5分 全国二卷：第12题，5分 命题规律分析 1、平面向量基本定理及坐标表示 平面向量基本定理与坐标表示是高考的重点、热点内容，核心考查平面向量基本定理、平面向量的坐标运算、向量共线的坐标表示及线性关系转化，常结合几何图形综合命题。 从近三年的高考情况来看，本节内容主要以选择题、填空题的形式考查，是选择、填空题中的常规高频考点，考查形式、频率比较稳定，一般考查1题，难度较易；平面向量基本定理及坐标表示以小题为主，侧重基底拆分、坐标参数运算，融合几何场景考查转化推理能力，学生在高考复习中应注意加强这方面的练习。 考点1 平面向量基本定理 知识点1 平面向量基本定理及其解题策略 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.若不共线，我们把{}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路： 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 考点2 平面向量的坐标表示 知识点2 平面向量坐标运算及其解题策略 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区别 表示形式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理可得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．共线的坐标表示 (1)两向量共线的坐标表示 设，，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数λ，使=λ.如果用坐标表示，可写为()=λ()，即，消去λ，得.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是. (2)三点共线的坐标表示 若A()，B()，C()三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. 4．平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解. 【方法技巧与总结】 1．若与不共线，且，则. 2．已知P为线段AB的中点，若A()，B()，则P点坐标为. 3．已知△ABC的重心为G，若A()，B()，C()，则G. 【题型1 基底的概念及辨析】 【例1】（2026·山西·二模）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·上海·三模）下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A．， B． C． D． 【变式1-2】（2026·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 【变式1-3】（25-26高一下·江苏无锡·期中）设是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型2 用基底表示向量】 【例2】（2026·四川绵阳·模拟预测）设在中，点D为边上一点，且，点E为边上的中点. 若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·陕西西安·模拟预测）在等腰梯形中，，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·天津河北·模拟预测）如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·甘肃定西·模拟预测）已知在梯形中，，，记，，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 【例3】（2026·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·江苏南通·二模）在直角梯形中，，，，是的中点，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【变式3-2】（2026·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、. 设，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】（25-26高三上·辽宁·期中）在中，为边上一点，且满足，设，，若存在实数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 平面向量线性运算的坐标表示】 【例4】（2026·天津红桥·模拟预测）若向量，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·云南曲靖·二模）已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026高二上·贵州·学业考试）向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·甘肃甘南·模拟预测）向量 ，， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【题型5 向量共线的坐标表示】 【例5】（2026·河南·模拟预测）已知向量，，若，则（   ） A． B． C．4 D．9 【变式5-1】（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【变式5-2】（2026·四川攀枝花·模拟预测）设向量，，且与的方向相反，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．不存在 【变式5-3】（2026·河北邯郸·一模）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D．6 【题型6 利用坐标求向量的模】 【例6】（25-26高一下·山东东营·期中）已知向量，，则（    ） A． B．2 C． D． 【变式6-1】（2026·陕西咸阳·三模）已知向量满足，则＝（   ） A．5 B．－5 C．－11 D．11 【变式6-2】（25-26高一下·山东淄博·阶段检测）已知向量，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式6-3】（25-26高二下·云南曲靖·阶段检测）已知向量，，，则实数m的值为（ ） A． B． C． D．1 【题型7 向量坐标的线性运算解决几何问题】 【例7】（25-26高一下·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式7-1】（25-26高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【变式7-2】（25-26高一下·安徽合肥·期中）设O为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2026·江苏南京·三模）已知向量，，若，则（    ） A．6 B．9 C．4 D．5 2．（2026·云南·三模）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃·模拟预测）设向量，，，若，，，则（   ） A． B． C．2 D．3 4．（2026·云南·模拟预测）在下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·广东肇庆·一模）已知点，向量，，点P是线段AB靠近点A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河北保定·二模）如图，在中，若点满足 且 与 交于点 O，则 （   ） A． B． C． D． 8．（2026·江苏盐城·模拟预测）在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·辽宁·期末）已知点，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·陕西榆林·阶段检测）设，是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 11．（25-26高一下·山东临沂·阶段检测）在中，点，分别在和上，且满足，，点在线段上，且，则下列各组数据适合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 三、填空题 12．（2026·湖北·三模）已知向量，，若与平行，则实数________． 13．（2026·山西吕梁·模拟预测）如图，在正方形中，，，若 ，则___________． 14．（2026·江西新余·一模）已知向量，若与是共线向量，则实数___________. 四、解答题 15．（25-26高一下·甘肃庆阳·期末）已知向量． (1)若与共线，求； (2)若，求． 16．（25-26高一下·四川绵阳·期末）在平面直角坐标系中，已知，设． (1)若，求实数的值； (2)若M为线段靠近点C的三等分点，求点M的坐标． 17．（25-26高一下·河北·期末）已知两个不共线的向量，，设，，． (1)若，求实数，的值； (2)设，且，，三点共线，其中，，，为坐标原点，求实数的值． 18．（25-26高一下·广东湛江·期末）已知向量，，，． (1)若A，B，C三点共线，求实数m的值； (2)若四边形为矩形，求的值． 19．（25-26高一下·山东青岛·期末）如图，在中，是上的一点，是的中点，过点的直线与边，分别相交于点，．设，． (1)若，，求的值． (2)在（1）的条件下，求的最小值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $