26.4 实际问题与二次函数---商品销售问题 专项训练 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦商品销售中二次函数的实际应用，通过不同情境题型构建“问题抽象-模型建立-最值求解”的完整逻辑链，培养模型意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|选择1-4/填空11-12|单一利润与售价关系|利润公式→二次函数表达式→顶点求最值| |综合应用|选择5-9/填空13-15|含一次函数销量关系|销量与售价一次函数→利润二次函数→结合自变量范围求最值| |拓展提升|选择10/解答17-25|多变量/图表数据问题|多情境抽象建模→二次函数性质综合应用→实际意义验证|

人教版九年级上册数学 26.4 实际问题与二次函数---商品销售问题 专项训练 一．选择题（共10小题） 1．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足y=-2x+60，则销售该文具每天获得的最大利润是（　　） A．200元 B．180元 C．170元 D．160元 2．某旅行社组团参加某地二天游．如果一次预订人数为10人．那么每人收费400元．若要增加人数，则每增加1人．可使每人少收20元．则使该旅行社一次收入最多时增加的人数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3．山西吕梁生产的沙棘汁以其口感独特，营养丰富而广受消费者欢迎．某超市销售一种产自吕梁的沙棘汁，当售价为每瓶10元时，平均每天能售出60瓶，若售价每瓶每降低0.5元，平均每天多售出5瓶，则超市销售该种沙棘汁能获得的最大销售收入为（　　） A．640元 B．605元 C．600元 D．560元 4．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价x（单位：元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，由于某种原因，价格需满足15≤x≤18，那么一周可获得的最大利润是（　　） A．1508元 B．1550元 C．1554元 D．1558元 5．某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y千克与售价x元/千克之间满足一次函数关系，部分信息如下表，则下列结论： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为y=-x+300 ②当售价为72元时，月销售利润为7296元 ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元 ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元 其中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2x2+80x+758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是（　　） A．1554元 B．1556元 C．1558元 D．1560元 7．已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当售价为57元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为5850元时，可以将该商品的零售价定为55元或59元； ③每星期的最大利润为6125元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 8．某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为（　　）时，宾馆利润取得最大值 A．210 B．220 C．230 D．240 9．某超市销售一种水果，进价为每千克40元．规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查发现，日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 超市要想每天获得最大利润，每千克水果应定价为（　　） A．70元 B．65元 C．60元 D．55元 10．某专业户计划投资种植茶树及果树，根据市场调查与预测，种植茶树的利润y1（万元）与投资量x（万元）成正比例关系，如图①所示：种植果树的利润y2（万元）与投资量x（万元）成二次函数关系，如图②所示．如果这位专业户投入种植茶树及果树资金共10万元，则他能获取的最大总利润是（　　） A．20 B．32 C．48 D．50 二．填空题（共6小题） 11．某商店销售一种玩具，每件的进货价为40元，经市场调研，当该玩具每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，现该商店决定涨价销售，若该玩具每件销售价不低于57元，则销售该玩具每天获得的利润w最大为______元． 12．某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为 ______元时，网店该商品每天盈利最多． 13．剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，也是国家级非物质文化遗产之一．某店购进一种剪纸，每盒进价为50元，该店月销售量y（盒）与售价x（元/盒）满足一次函数关系y=-20x+2600（售价不低于进价）．若该种剪纸的每盒利润不超过进价的30%，设这种剪纸每月的总利润为w（元），则每月可获得的最大总利润为______元． 14．（2025春•同步）某超市购进一批水果，成本为8元/kg,根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价m（元/kg）与时间第x天之间满足函数关系式，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量y（kg）与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值．在这10天中，第______天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为______元． 时间第x天 … 2 5 9 … 销售量y/kg … 33 30 26 … 15．某宾馆有若干间标准房，该宾馆规定每间标准房的价格不低于180元，且不高于250元．经市场调查表明，每天入住的房间数y（单位：间）与每间标准房的价格x（单位：元）之间满足函数关系式：，则当该宾馆每间标准房的价格x= ______元时，标准房日营业额w（单位：元）最大，最大营业额为 ______元． 16．（2026•德州）某水果店单件水果售价y1（元）与销售月份x满足一次函数关系y1=-2x+21，单件水果进价y2（元）与销售月份x满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为（6，3）并且经过（3，12），则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为______元． 三．解答题（共9小题） 17．某超市以每件15元的价格购进一种商品，经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（不用分析取值范围）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润W最大？最大利润是多少？ 18．随着国家乡村振兴战略的实施，一村民在政府帮助下因地制宜种植某种农产品，获得了较为可观的经济收入．经过几年的种植销售，该村民发现此农产品在上市季节，日销售数量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足如图所示的函数关系，并且当销售单价x超过14元/kg时，此农产品下市不再销售． （1）当x≥10时，求日销售数量y关于销售单价x的函数关系式； （2）已知此农产品种植成本为每千克5元，请你帮该村民计算，此农产品销售单价定为每千克多少元时，才能使日销售利润达到最大？并求出最大利润． 19．某文创公司设计了一款纪念章，若按利润率20%定价，可获利10元；若以每个高于成本价且不超过成本150%的价格销售，当定价为55元时，销售量为700个，售价每增加1元，则销量减少20个．设售价为x（元/个），销售量为y（个）． （1）求该纪念章的成本价； （2）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）求当x为何值时，每天的利润最大． 20．党的二十大即将召开，各行各业的人们用拼搏奋斗凝聚起奋进新征程、建功新时代的磅礴力量，信心满怀向未来．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件6元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件．根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整数），这批商品的日利润为w元（利润=售价-成本），请解决以下问题： （1）设商品售价x元，则一天可以卖出______件； （2）当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ （3）若商店每卖一件就捐m元（m＞0）给希望小学，该店发现售价为11元时可获得最大日利润，直接写出m的取值范围． 21．（2025秋•盐城期末）正在举行的2025年全运会，其吉祥物“喜洋洋”正火遍全国．某网店售卖一款进价为30元/个的“喜洋洋”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元．试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个．该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． （1）直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是______； （2）当销售单价为多少元时，每天销售利润为8000元？ （3）求该网点每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值． 22．随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．设每组手办降价x元． （1）用x的代数式表示： ①每一组手办的利润是______． ②每天可销售的手办组数是______． （2）当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ （3）当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 23．某茶叶种植基地风景秀丽，每年都吸引全国各地的游客，茶园旅游景区在2023年五一长假期间，共接待游客7万人次，2025年五一长假期间，接待游客8.47万人次． （1）求该茶叶基地景区以2023-2025年五一长假期间接待游客人次的平均增长率； （2）新茶上市时，一茶商在该地收购新茶，茶商经过包装处理试销数日发现，平均每斤茶叶利润为20元，并且每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤．设销售单价每增加x元，每天售出y斤． ①直接写出y与x的函数关系式：______； ②求该茶商每天的最大利润． 24．某校数学兴趣小组到水果店了解一种苹果的销售情况，并利用所学的数学知识对水果店销售提出合理化建议．经市场调研发现： 材料一：当每千克苹果的售价为10元时，每天能销售40千克． 材料二：当每千克苹果的售价每降低1元，每天的销售量就会增加20千克． 任务一：建立函数模型 （1）设每千克苹果降价x元，每天销售这种苹果的收入为y元，求y与x的函数关系式； 任务二：设计销售方案 （2）若该水果店老板11月1日销售这种苹果的收入为640元，请求出x的值； （3）当每千克苹果降价多少元时，该水果店每天销售这种苹果的收入最多？最多为多少元？ 25．我市一家电子计算器专卖店每只进价12元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20-10）=1（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元． （1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买； （2）求该专卖店当一次销售x只时（x＞10），所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少元？ 人教版九年级上册数学 26.4 实际问题与二次函数---商品销售问题 专项训练 (参考答案) 一．选择题（共10小题） 1、A 2、A 3、A 4、B 5、C 6、B 7、B 8、B 9、A 10、D  二．填空题（共6小题） 11、2210； 12、80； 13、19500； 14、7和8；378； 15、180；14400； 16、7；  三．解答题（共9小题） 17、解：（1）设y与x之间的函数关系式是y=kx+b,把x=14时，y=220；x=16时，y=180，分别代入得： ， 解得， ∴y与x之间的函数关系式是y=-20x+500； （2）设每天所获利润为w元， 依题意得：w=（x-15）（-20x+500）=-20（x-20）2+500， ∵a=-20＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x=20时，w有最大值， w最大值=500（元）， 答：销售单价定为20元时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润是500元． 18、解：（1）由题意，当x≥10时，设日销售数量y关于销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0）， 又∵图象过（10，50），（14，42）， ∴． ∴． ∴所求函数关系式为y=-2x+70； （2）由题意，设日销售利润为W元，单件利润为（x-5）元/千克，可分两段讨论： ①当8≤x≤10时，此时y=50， ∴利润W=50（x-5）=50x-250， ∵k=50＞0， ∴W随x增大而增大， ∴当x=10时，Wmax=50×10-250=250（元）； ②当10≤x≤14时，此时y=-2x+70， ∴利润W=（x-5）（-2x+70） =-2x2+80x-350 =-2（x2-40x+400-400）-350 =-2（x-20）2+450． ∵-2＜0且10≤x≤14， ∴当x=14时，W取最大值，最大值为378． 答：此农产品销售单价定为每千克为14元时，才能使日销售利润达到最大，最大利润是378元． 19、解：（1）设成本价x元，由题意得20%•x=10， ∴x=50， ∴该纪念章的成本价是50元； （2）∵定价为55元时，销售量为700个，售价每增加1元，则销量减少20个， y=700-20（x-55）， ∴y=-20x+1800； （3）设利润为W元， ∵每个高于成本价且不超过成本150%的价格销售， ∴50≤x≤75， W=（x-50）（-20x+1800）， W=-20x2+2800x-90000， ∵-20＜0，∴抛物线开口向下，二次函数有最大值， 当x=70时，每天的利润最大． 20、解：（1）由题意，∵调查单价每降低1元，每天可多售出40件， ∴当售价为x元时，一天的销量为：80+40（12-x）=（-40x+560）件， 故答案为：（-40x+560）； （2）根据题意得：w=（x-6）（-40x+560）， ∴w=-40（x-10）2+640， ∵-40＜0， ∴当x=10时，w有最大值，最大值为640， ∴当商品的售价x为10元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为640元； （3）根据题意得：w=（x-6-m）（-40x+560）=-40x2+（800+40m）x-3360-560m, ∴对称轴为， ∵当售价为11元时可获得最大日利润， ∴． ∴1≤m≤3． 21、解：（1）由题意得，y=500-10（x-40）=-10x+900， ∴y与x之间的函数关系式为：y=-10x+900． ∵单个销售利润不低于10元，且不高于25元， ∴10≤x-30≤25． ∴40≤x≤55． 故答案为：y=-10x+900（40≤x≤55）； （2）由题意，结合（1）y=-10x+900， ∴（-10x+900）（x-30）=8000， ∴x1=50，x2=70， ∵40≤x≤55， ∴x=50， 答：当销售单价为50元时，每天销售利润为8000元； （3）结合（2）可得，每天销售利润W=（-10x+900）（x-30） =-10x2+1200x-27000 =-10（x-60）2+9000． ∵-10＜0，且40≤x≤55， ∴当x=55时，每天销售利润最大，最大值为8750． 答：该网点每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值为8750元． 22、解：（1）①由题意，由每组手办的利润为售价减去成本，且原售价100元， ∴降价x元后售价为（100-x）元． 又∵成本为60元， ∴利润为：[（100-x）-60]=（40-x）元． ②由题意，∵原销量为80组，每降价1元销量增加4组， ∴降价x元后销量为（80+4x）组． 故答案为：（40-x）元；80+4x. （2）由题意得：（40-x）（80+4x）=3500， ∴x2-20x+75=0． ∴x1=5，x2=15． 答：每组手办降价5元或15元时利润可以为3500元． （3）由题意得，每天的利润为（40-x）（80+4x）=-4x2+80x+3200 =-4（x2-20x）+3200 =-4（x2-20x+100）+3600 =-4（x-10）2+3600． 又∵-4＜0， ∴可得当x=10时，有利润y的最大值为3600元． 23、解：（1）由题意，设平均增长率为r, ∴7（1+r）2=8.47． ∴r=0.1（舍去负根）， ∴平均增长率为10%． （2）①∵单价每增加x元， ∴销量减少斤， ∴y=60-2x. 故答案为：y=60-2x.  ②由题意，设每天利润为W元，每斤利润为（20+x）元， ∴y=60-2x, ∴W=（20+x）（60-2x） =-2x2+20x+1200 =-2（x-5）2+1250 ∴当x=5时，W取得最大值1250元． 24、解：（1）设每千克苹果降价x元，每天销售这种苹果的收入为y元， 由题意得，y=（10-x）（40+20x）=-20x2+160x+400； （2）由题意可得：y=-20x2+160x+400=640， 整理得x2-8x+12=0， 解得x1=2，x2=6， 答：当x的值为2或6时，老板的收入为640元； （3）y=-20x2+160x+400=-20（x-4）2+720， ∵-20＜0， ∴当x=4时，y有最大值为720， ∴当每千克苹果降价4元时，该水果店每天的收入最多，最多为720元． 25、解：（1）设一次购买x只，才能以最低价购买， 则有：0.1（x-10）=20-16， 解这个方程得x=50； 答：一次至少买50只，才能以最低价购买． （2）当10＜x≤50时，y=（20-12）x-0.1（x-10）x=-x2+9x； 当x＞50时，y=16x-12x=4x； 综上所述：y=-x2+9x；（10＜x≤50）； y=4x（x＞50）； （3）y=-x2+9x； 当x=-=45时，y最大==202.5， ∴店主一次卖45只时可获得最高利润，最高利润为202.5元． 学科网（北京）股份有限公司 $