精品解析：湖南长沙市湖南师大附中集团2025-2026学年人教版小升初丘班选拔初试数学试卷

2026湖南省长沙市附中集团丘班选拔初试 数学 一、单选题。 1. 甲、乙两个非零自然数，如果甲数的恰好是乙数的，那么甲、乙两数之和的最小值是（ ）。 A. 13 B. 24 C. 15 D. 31 2. 甲、乙二人各走一段路，他们速度比是3∶5，时间比是8∶9，则路程比是（ ）。 A. B. C. D. 3. 用2、4、5和小数点一共能组成（ ）个小数？ A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 4. 如图所示，图①中的多边形（边数为12）是由等边三角形“扩展”而来的，图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，……依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为（ ）。 A. n（n－1） B. n（n＋1） C. （n＋1）（n－1） D. 5. 有一些八位数都是由数字1和2组成，在这些八位数中，恰好连续五位都是1的有（ ）个。 A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 二、填空题。 6. 在一场绕着环形车道的汽车比赛中，其中一辆8号车的前面汽车数量的加上这辆车后面汽车数量的恰好就是本次汽车比赛的赛车总数，那么这场比赛共有汽车________辆。 7. 计算________。 8. 计算________。 9. 某仓库的门上有若干把锁，且有11位管理人员身上分别带有若干把钥匙，其中任何5人都不能把锁全部打开，而任何6人都可以把锁全部打开，那么这个仓库的门上至少有________把锁。 10. 将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友，原计划甲、乙、丙三人所得糖果数比为，实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为，其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果，那么这位小朋友是________（填“甲”、“乙”或“丙”），他实际所得的糖果数为________块。 11. 我们用r（n）表示n的因数个数，比如r（20）＝6，满足r（n）＋r（n＋1）＝r（100）的正整数n以n＜100的所有取值的总和是________。 12. 一个美术老师在课堂上进行立体图形素描教学时，把14个棱长1分米的正方体摆在课桌上成如图的形状，然后他把露出的表面都涂上颜色，则被他涂上颜色的部分的面积为________平方分米。 三、解答题。 13. 在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多3人；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人；50个人没有摘草莓；11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子。如果参与采摘水果的总人数是100，你能回答下列问题吗？ （1）有________人摘了山莓； （2）有________人同时摘了三种水果； （3）有________人只摘了山莓； （4）有________人摘了李子和草莓，而没有摘山莓； （5）有________人只摘了草莓。 14. 如图，E，F，G，H是边长为2的正方形ABCD各边的中点，则图中阴影部分的面积等于____。 15. 如图，圆形湖泊周长1200米，除了A点和B点之外，每隔100米就有一只蜜蜂，一共十只蜜蜂。它们按照顺时针的方向飞行，各个蜜蜂的速度均标在了图上，单位是“米/秒”。小偷从A点出发沿湖顺时针逃到位于B点的家中，只要被沿途的蜜蜂碰到，小偷就会被蜇一下。请问：小偷最少会被几只蜜蜂蜇到？ 16. 光华超市对顾客实行优惠购物，优惠规定如下： 如果一次性购物在500元以内，按标价给予九折优惠； 如果一次性购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 （1）王叔叔在该超市购买了一台标价750元的吸尘器，他应付________元。 （2）李阿姨先后两次去该超市购物，分别付款198和554元。如果李阿姨一次性购买，只需要付款多少元？ 17. 有甲、乙、丙三瓶溶液，甲比乙浓度高6%，乙的浓度则是丙的4倍，如果把乙溶液倒入甲中，就会使甲溶液的浓度比原来下降2.4%；如果把丙溶液倒入乙溶液中，就会使乙溶液的浓度比原来下降2.25%；如果把甲、丙两瓶溶液混合，则混合液的浓度正好等于乙溶液的浓度。请问： （1）甲、乙、丙三瓶溶液的质量比是________； （2）甲溶液的浓度是：________； （3）乙溶液的浓度是：________； （4）丙溶液的浓度是：________。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026湖南省长沙市附中集团丘班选拔初试 数学 一、单选题。 1. 甲、乙两个非零自然数，如果甲数的恰好是乙数的，那么甲、乙两数之和的最小值是（ ）。 A. 13 B. 24 C. 15 D. 31 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知：甲×＝乙×，把乙数看作单位“1”，则甲数是：＝＝，可知甲与乙的比为∶1，即15∶16。因为甲、乙两数是非零自然数，则甲乙两数之和也是自然数，要让它最小，乙只能是16，甲数是15，和即为31，据此解答。 【详解】把乙数看作单位“1”，则 ＝＝ 甲与乙的比为：∶1＝（×16）∶（1×16）＝15∶16 15＋16＝31 2. 甲、乙二人各走一段路，他们速度比是3∶5，时间比是8∶9，则路程比是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“路程＝速度×时间”。由题意，甲和乙速度比是3∶5，将甲和乙的速度分别看作3份、5份；甲和乙时间比是8∶9，将甲和乙的时间分别看作8份、9份，则甲和乙的路程比为（3×8）:（5×9）＝8:15，据此解答。 【详解】（3×8）∶（5×9） ＝24∶45 ＝（24÷3）∶（45÷3） ＝8∶15 3. 用2、4、5和小数点一共能组成（ ）个小数？ A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】按小数点后数位的不同，分一位小数和两位小数两类分别计数。注意按顺序列举，避免重复或遗漏。 【详解】组成的两位小数有：2.45，2.54，4.25，4.52，5.24，5.42，共6个； 组成的一位小数有：24.5，42.5，25.4，52.4，45.2，54.2，共6个； 总个数：（个） 4. 如图所示，图①中的多边形（边数为12）是由等边三角形“扩展”而来的，图②中的多边形是由正方形“扩展”而来的，……依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为（ ）。 A. n（n－1） B. n（n＋1） C. （n＋1）（n－1） D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察扩展规律。图①由等边三角形扩展，三角形有3条边，每条边上长出一个三角形，每条边多出3条边。图②由正方形扩展，正方形有4条边，每条边上长出一个正方形，每条边多出4条边。依此类推，由正n边形扩展时，正n边形有n条边，每条边多出n条边。扩展后边数＝原有边数＋每条边多出的边数×边数。 【详解】正n边形扩展后边数为n＋n×n＝n×（n＋1）。 5. 有一些八位数都是由数字1和2组成，在这些八位数中，恰好连续五位都是1的有（ ）个。 A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】连续五位都是1，即五个1连在一起。在一个八位数中，连续五位1的位置可以在第1到第5位、第2到第6位、第3到第7位、第4到第8位，共4种位置。要保证恰好连续五位是1，连续五位1的两端不能都是1。 【详解】整体占第1到5位：第6位必须为2，第7、8位各有2种选择，共2×2＝4个； 整体占第2到6位：第1位和第7位必须为2，第8位有2种选择，共2个； 整体占第3到7位：第2位和第8位必须为2，第1位有2种选择，共2个； 整体占第4到8位：第3位必须为2，第1、2位各有2种选择，共2×2＝4个。 总数：4＋2＋2＋4＝12（个） 二、填空题。 6. 在一场绕着环形车道的汽车比赛中，其中一辆8号车的前面汽车数量的加上这辆车后面汽车数量的恰好就是本次汽车比赛的赛车总数，那么这场比赛共有汽车________辆。 【答案】 13 【解析】 【分析】环形赛道是闭合的，对于任意一辆车来说，前后数量都相同。它前面的车辆数它后面的车辆数总车辆数（减去它自己）。根据前面汽车数量的后面汽车数量的汽车的总数量列出方程，求出未知数即可。 【详解】设这场比赛共有汽车辆，那么前后车辆数为辆。 所以这场比赛共有汽车辆。 7. 计算________。 【答案】174 【解析】 【分析】先将被减数和减数都转化为假分数。观察发现分子都含有145，可以利用乘法分配律提取公因数。除数中的两项也含有公因数5，同样提取。最后进行除法计算并约分。 【详解】 8. 计算________。 【答案】 【解析】 【分析】先计算所有小括号里的分数加、减法，其中结果是带分数的，改写为假分数；将上一步得到的结果的分子和分母的各个因数，利用乘法交换律和乘法结合律，重新组合，构造成可以约分的形式，分子中是从到一共有个数，将中的41个3，分别与上一步加法计算出的各个分数分组相乘，各组再相乘，写在分子上；分母中是从到一共有个数，将中的41个5，分别与上一步减法计算出的各个分数分组相乘，各组再相乘，写在分母上；上一步各组中，分母与约分、分母与约分；将上一步得出的结果，分子上与分母上相同的分数分别约分，得出最终结果。据此计算。 【详解】 9. 某仓库的门上有若干把锁，且有11位管理人员身上分别带有若干把钥匙，其中任何5人都不能把锁全部打开，而任何6人都可以把锁全部打开，那么这个仓库的门上至少有________把锁。 【答案】 462 【解析】 【分析】根据题意，任何5个人凑在一起，都至少有一把锁打不开；只要凑够6个人，就一定能打开所有锁。要实现这一点，最简单的办法就是：给每一把锁，都指定一个“打不开它的5人小组”。这个小组里的5个人，谁都没有这把锁的钥匙，所以他们凑在一起就打不开这把锁。但是，任何其他的人，都有这把锁的钥匙。所以，只要5个人里加入任意1个“外人”，变成6个人，就一定有人能打开这把锁。此时，问题就变成了：从11个管理人员里，一共能选出多少个不同的“5人小组”，比如，管理员编号是A、B、C、D……K：小组1：A、B、C、D、E对应一把锁，这5个人没钥匙；小组2：A、B、C、D、F对应另一把锁，这5个人没钥匙；……每一个不同的5人组合，都对应一把新锁；要满足“每把锁对应一组不同的5人组合”，锁的最少数量从11人中选5人的组合数。把所有这样的组合数算出来，就是锁的总数，即C（11，5）。 【详解】 （把） 所以这个仓库的门上至少有把锁。 10. 将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友，原计划甲、乙、丙三人所得糖果数比为，实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为，其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果，那么这位小朋友是________（填“甲”、“乙”或“丙”），他实际所得的糖果数为________块。 【答案】 ①. 丙 ②. 150 【解析】 【分析】根据比的应用，原计划甲、乙、丙三人所得糖果数比为，原计划中甲、乙、丙三人的糖果数占总数的，，，实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为，而实际的占比分别为：，，；根据甲、乙、丙三人原计划和实际的糖果数所占分数大小，可求出是哪个小朋友；有一位小朋友比原计划多得了15块糖果，求出这个小朋友比原来糖果数多了几分之几，然后根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。再依据按比例分配的知识点求出实际所得糖果数，据此得出答案。 【详解】原计划糖果分成：（份）， 原计划甲、乙、丙三人的糖果数占总数的，，， 实际上糖果分成：（份）， 实际甲、乙、丙三人的糖果数占总数的，，， ，，因为，所以，即甲的糖果数量是减少的； ，，因为，所以，即乙的糖果数量是不变的； ，，因为，所以，即丙的糖果数量是增加的； 所以其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果，那么这位小朋友是丙， （块） 所以将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友，原计划甲、乙、丙三人所得糖果数比为，实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为，其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果，那么这位小朋友是丙，他实际所得的糖果数为150块。 11. 我们用r（n）表示n的因数个数，比如r（20）＝6，满足r（n）＋r（n＋1）＝r（100）的正整数n以n＜100的所有取值的总和是________。 【答案】145 【解析】 【分析】100的因数有1、2、4、5、10、20、25、50、100，所以，即，由于9是奇数，因此n和n＋1必须一个为奇数、一个为偶数，即n和n＋1中一个为完全平方数，另一个不是。分两种情况考察：n是平方数时与当是完全平方数时，看符合条件的n有几个。 【详解】当n是平方数时，检查n为1、4、9、16、25、36、49、64、81： 当时，，，，不符合题意； 当时，，，，不符合题意； 当时，，，，不符合题意； 当时，，，，不符合题意； 当时，，，，不符合题意； 当时，，，，不符合题意； 当时，，，，符合题意； 当时，，，，不符合题意； 当时，，，，符合题意； 所以此时满足条件的为49和81。 当n＋1是完全平方数时，检查n为3、8、15、24、35、48、63、80、99： 当时，，，，不符合题意； 当时，，，，不符合题意； 当时，，，，符合题意； 当时，，，，不符合题意； 当时，，，，不符合题意； 当时，，，，不符合题意； 当时，，，，不符合题意； 当时，，，，不符合题意； 当时，，，，不符合题意。 所以此时满足条件的为15。综上，所有满足条件的为：15，49，81。 15＋49＋81＝145。 12. 一个美术老师在课堂上进行立体图形素描教学时，把14个棱长1分米的正方体摆在课桌上成如图的形状，然后他把露出的表面都涂上颜色，则被他涂上颜色的部分的面积为________平方分米。 【答案】33 【解析】 【分析】露出的要涂色的面实际上就是从前、后、左、右、上方看时的所有图形的面积和。其中，从前、后、左、右四个方向看到的图形都相同，都是三排小正方体，共6个面；从上面看的总面积就是最底层的轮廓面积，即9个面。每个面的面积是1平方分米，相加即可。 【详解】1×1＝1（平方分米） 总涂色面积： 6×4＋3×3 ＝24＋9 ＝33（平方分米） 三、解答题。 13. 在一个自助果园里，只摘山莓者两倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人数比只摘李子的人数多3人；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但没有摘李子者多4人；50个人没有摘草莓；11个人摘了山莓和李子但没有摘草莓；总共有60人摘了李子。如果参与采摘水果的总人数是100，你能回答下列问题吗？ （1）有________人摘了山莓； （2）有________人同时摘了三种水果； （3）有________人只摘了山莓； （4）有________人摘了李子和草莓，而没有摘山莓； （5）有________人只摘了草莓。 【答案】（1） 58 （2） 16 （3） 26 （4） 20 （5） 9 【解析】 【分析】如图，A表示只摘山莓的人数，B表示只摘李子的人数，C表示只摘草莓的人数，D表示只摘了山莓和李子但没有摘草莓的人数，E表示只摘了山莓和草莓但没有摘李子的人数，F表示只摘了草莓和李子但没有摘山莓的人数，G表示三种水果都摘的人数。 【小问1详解】 根据题意：，，，，，， 代入求解：，，，，，，， 所以有（人）摘了山莓； 【小问2详解】 有人同时摘了三种水果； 【小问3详解】 有人只摘了山莓； 【小问4详解】 有人摘了李子和草莓，而没有摘山莓； 【小问5详解】 有人只摘了草莓。 14. 如图，E，F，G，H是边长为2的正方形ABCD各边的中点，则图中阴影部分的面积等于____。 【答案】 【解析】 【分析】如图，阴影部分的面积可以分成下面的两部分，中间的红色正方形，和外周绿色的四个三角形，不难看出这四个三角形的面积都是相等的，所以这里只要求出小正方形的面积和外部的一个小绿色三角形的面积即可解决问题． （1）红色小正方形的面积可以利用大正方形的面积进行计算； （2）要求绿色三角形的面积，只要求出△APG的面积即可，△APG的面积等于大正方形的面积﹣△ADG﹣△BCG﹣△ABF＋△BPF，因为E，F，G，H是边长为2的正方形ABCD各边的中点：△ADG＝△BCG＝△ABF＝×1×2＝1；所以只要求得△BPF的面积即可解决问题，根据已知不难得出△BPF与△ABP相似，相似比是1：2，那么它们的面积的比是1：4，所以可得：△BPF的面积是△ABF的，所以：△BPF＝＝，由此即可求得小绿色三角形的面积。 【详解】（1）把中间的小正方形单独分析如右图：把所有的空白处拼起来等于4个与阴影部分相同的正方形， 也就是说阴影部分的正方形是大正方形的， 已知大正方形的面积是2×2＝4， 所以这个小正方形的面积是4×＝； （2）根据上图，E 是中点，ED∥BG， 可得：小绿色三角形与三角形APG相似，相似比是1∶2，那么面积比是1∶4， 根据题干分析可得： △APG的面积＝大正方形的面积﹣△ADG﹣△BCG﹣△ABF＋△BPF， ＝4－－－＋ ＝ 所以小绿色三角形的面积为：×＝ 故阴影部分的面积为：＋×4＝＋＝ 【点睛】此题是较复杂的图形的面积计算问题，这里关键是把这个不规则的图形转化成一个正方形和面积相等的四个小三角形进行分析计算。 15. 如图，圆形湖泊周长1200米，除了A点和B点之外，每隔100米就有一只蜜蜂，一共十只蜜蜂。它们按照顺时针的方向飞行，各个蜜蜂的速度均标在了图上，单位是“米/秒”。小偷从A点出发沿湖顺时针逃到位于B点的家中，只要被沿途的蜜蜂碰到，小偷就会被蜇一下。请问：小偷最少会被几只蜜蜂蜇到？ 【答案】3 【解析】 【分析】本题中，速度单位均为米/秒，时间单位均为秒，且称速度为1的蜜蜂为1号蜜蜂，其余编号类似。于是：7号、8号、9号、10号、11号蜜蜂跑到B点，所花的时间分别为： 1号、2号、3号、4号、5号蜜蜂跑到B点，所花的时间分别为： 这10个时间按从大到小排序，得： 如果7号到11号蜜蜂比小偷先到B点，那么途中就一定撞了小偷；如果1号到5号蜜蜂比小偷晚到B点，那么途中就一定撞了小偷。比如小偷用了120秒到达B点，120秒介于、之间，他会被速度比他早到B点的9、10、11号蜜蜂以及晚到B点的1、2号蜜蜂撞，一共被撞5次。 【详解】根据分析，通过逐次分析各段范围可以得到：当小偷到达B点所花时间大于秒且小于秒时，小偷只被1、2、3号蜜蜂撞，被撞次数达到最小。即3只蜜蜂。 答：小偷最少会被3只蜜蜂蜇到。 16. 光华超市对顾客实行优惠购物，优惠规定如下： 如果一次性购物在500元以内，按标价给予九折优惠； 如果一次性购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 （1）王叔叔在该超市购买了一台标价750元的吸尘器，他应付________元。 （2）李阿姨先后两次去该超市购物，分别付款198和554元。如果李阿姨一次性购买，只需要付款多少元？ 【答案】（1） 650 （2） 730元 【解析】 【分析】标价元元，要分段计算优惠。元这一部分打九折。超出元的部分：（元），这部分打八折。把两部分的钱相加，就是应付总钱数。 元是元以内打完九折后的钱，用除法还原出第一次购物的标价：（元）。元打九折是元，，说明第二次标价超过元。先算出元打折后的元；然后算出超出部分实际付的钱：（元）；这元是八折后的钱，除以得到超出的原价；然后加上得到第二次商品总标价：（元）。合并两次商品的标价：（元）。对总标价元，按照超过元的优惠规则分段计算应付金额。元部分九折，超过的部分八折，两部分求和即可。 【小问1详解】 九折，八折， （元） 所以王叔叔在该超市购买了一台标价元的吸尘器，他应付元。 【小问2详解】 因为九折，八折， （元） ， 所以原来标价为： （元）， ， 所以原来标价为： （元） （元） （元） 答：如果李阿姨一次性购买，只需要付款元。 17. 有甲、乙、丙三瓶溶液，甲比乙浓度高6%，乙的浓度则是丙的4倍，如果把乙溶液倒入甲中，就会使甲溶液的浓度比原来下降2.4%；如果把丙溶液倒入乙溶液中，就会使乙溶液的浓度比原来下降2.25%；如果把甲、丙两瓶溶液混合，则混合液的浓度正好等于乙溶液的浓度。请问： （1）甲、乙、丙三瓶溶液的质量比是________； （2）甲溶液的浓度是：________； （3）乙溶液的浓度是：________； （4）丙溶液的浓度是：________。 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】设乙溶液的浓度为，甲、乙、丙三种溶液的质量分别为A、B、C，则甲溶液的浓度为，丙溶液的浓度为。 如果把乙溶液倒入甲中，就会使甲溶液的浓度比原来下降，由此可列出等量关系； 如果把丙溶液倒入乙溶液中，就会使乙溶液的浓度比原来下降，由此可列出等量关系； 如果把甲、丙两瓶溶液混合，那么混合液的浓度正好等于乙溶液的浓度，由此可列出等量关系，由以上三个等量关系即可求出三者质量比和溶液浓度。 【小问1详解】 设乙溶液的浓度为，甲、乙、丙三种溶液的质量分别为A、B、C，则甲溶液的浓度为，丙溶液的浓度为。 ① ② ③ 将③代入①，则， ， ④ 将④代入②，则 解： ，， 将代入②，则， 由， 可知， 所以。 【小问2详解】 甲溶液的浓度为：； 【小问3详解】 乙溶液的浓度为； 【小问4详解】 丙溶液的浓度为：。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $