精品解析：河南平顶山市鲁山县第七教研区2026-2027学年九年级上学期开学数学试题

2026—2027学年第一学期开学摸底检测试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、单选题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 数学文化的学习有利于激发学生学习数学的兴趣．某校为了解学生对数学文化知识掌握情况，以班级为单位组织七、八年级学生开展了数学文化知识竞赛活动，其中甲、乙、丙、丁四个班的成绩较为突出，部分数据如下表： 甲 乙 丙 丁 87 87 82 85 0.12 0.67 0.16 0.85 根据表中数据，成绩较好且较为稳定的班级是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列几组数中，勾股数有（ ） 4，5，6； 8，12，15； 9，15，17； 10，24，26． A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 7. 如图，中， 平分交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点是内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 4 B. 4.5 C. 6 D. 3.5 10. 如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写一个使为有理数的的值：______． 12. 若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而___________．（选填“增大”或“减小”） 13. 某班男生人数占全班人数的．在一次体育课上，对全班学生进行立定跳远测试，已知男生测试成绩的优秀率为，女生测试成绩的优秀率为，则该班此次测试成绩的优秀率为________． 14. 古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺． 15. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是_______. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 【数据收集】 某射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① 9 9.5 10 B 8 8 9 ② 10 表格中，①处应填______，②处应填______；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数______（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 【作出决策】 （2）请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 18. 如图是可调躺椅示意图，与的交点为C，测得． （1）若，求的长； （2）为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得，求此时的长度． 19. 如图，已知过点的直线与直线：相交于点. （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积. 20. 如图，在中，交的延长线于点E，． （1）求证：四边形是矩形； （2）F为的中点，连接，．已知，，求的长． 21. 2026年，山东省持续推进黄河三角洲生态湿地修复工程，东营市某生态修复基地计划采购甲、乙两种新型节水灌溉设备，用于湿地植被养护．已知采购2台甲种设备和3台乙种设备共需要11.5万元；采购3台甲种设备和1台乙种设备共需要8.5万元．如果该基地计划一共采购甲、乙两种设备共50台，设采购甲种设备x台，采购总费用为y万元，总费用y与x之间满足一次函数关系．若受场地限制，乙种设备的数量不能少于甲种设备数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种节水灌溉设备的单价各是多少万元？ （2）直接写出总费用y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围，并求出在满足所有限制条件下，如何采购可使总费用最低？最低费用是多少万元？ 22. 阅读理解：如果把勾股定理比作黄金矿的话，可以把黄金分割比作钻石矿． （1）如图，点把线段分成两部分，如果， 那么称点为线段的黄金分割点．在图中，若，则__________（保留根号）． （2）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形． 下面我们用宽为的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 第一步  在矩形纸片一端，利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步  如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步  如图，折出内侧矩形的对角线，并把折到图中所示的处． 第四步  展平纸片，按所得的点折出，使，则图④中就出现黄金矩形． 问题解决：①图中 （保留根号）； ②请写出图中所有的黄金矩形： ． 23. 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合），探索线段之间的数量关系． （1）线段间的数量关系是________________； （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出此时线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期开学摸底检测试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、单选题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、2不能再开方，是最简二次根式； D、，不是最简二次根式． 故选：C． 2. 数学文化的学习有利于激发学生学习数学的兴趣．某校为了解学生对数学文化知识掌握情况，以班级为单位组织七、八年级学生开展了数学文化知识竞赛活动，其中甲、乙、丙、丁四个班的成绩较为突出，部分数据如下表： 甲 乙 丙 丁 87 87 82 85 0.12 0.67 0.16 0.85 根据表中数据，成绩较好且较为稳定的班级是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差的意义，以及在生活中的实际应用，属于基础题． 可根据平均数和方差的意义来判断成绩较好且较为稳定的班级． 【详解】解：由平均数可知，甲和乙成绩较好， 又因为甲班方差，乙班方差， 所以甲的方差小于乙的方差， 所以成绩较好且较为稳定的班级是甲． 故选：． 3. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 4. 已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴时， 时， 故选： ． 5. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 6. 下列几组数中，勾股数有（ ） 4，5，6； 8，12，15； 9，15，17； 10，24，26． A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，求出两个较小正整数的平方和与最大整数的平方进行比较． 根据勾股数是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数进行判断即可． 【详解】解：∵，∴，，不是勾股数； ∵，∴，，不是勾股数； ∵，∴，，不是勾股数； ∵，∴，，是勾股数； 综上所述：勾股数有1组． 故选：A． 7. 如图，中， 平分交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形和角平分线的性质，通过等量代换得到，从而得到，从而解出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴ ． 8. 小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，点是内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 4 B. 4.5 C. 6 D. 3.5 【答案】A 【解析】 【分析】过点作平行四边形边的垂线段，因为，所以该垂线段同时也是边上的高，可据此将两个阴影三角形的面积用底和对应的高表示．根据平行四边形的高是两个阴影三角形分别以、为底时的高之和，结合三角形面积公式与平行四边形面积公式，可推出阴影部分面积和平行四边形总面积的数量关系． 【详解】如图，过点作平行四边形边的垂线， 根据平行四边形的性质：，且， 设点到的距离为​，点到的距离为， 则平行四边形中，与之间的总高为， 平行四边形面积满足： ， 阴影部分为和，面积和为 ， 因此阴影部分面积为4． 10. 如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，，进而，又根据，过点作于点，可得，则可求． 【详解】解：根据题意得：直线向右平移个单位长度时，直线经过点，此时直线的解析式为， 设直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当时，，当时，， 则， ∴， ∴， 当直线经过点，点时， 设过点的直线与的交点为，过点的直线与的交点为， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 根据函数图象得， 设直线分别与轴交于点，点， 则四边形是平行四边形， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写一个使为有理数的的值：______． 【答案】0（答案不唯一，，2等答案也正确） 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，要使为有理数，只需为一个非负有理数的平方，取满足条件的即可． 【详解】解：要使为有理数，则需为非负完全平方数， 令 ， 解得， 此时 ，是有理数，符合题意， 故答案为（答案不唯一）． 12. 若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而___________．（选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出，结合正比例函数的性质，即可得出的值随的增大而减小． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ， 解得：， 又， 的值随的增大而减小． 故答案为：减小． 13. 某班男生人数占全班人数的．在一次体育课上，对全班学生进行立定跳远测试，已知男生测试成绩的优秀率为，女生测试成绩的优秀率为，则该班此次测试成绩的优秀率为________． 【答案】 【解析】 【分析】将全班总人数看作整体，分别计算男生优秀人数和女生优秀人数占全班总人数的比例，求和即可得到该班此次测试的优秀率。 【详解】设全班总人数为， 由题意得，男生人数为 ，女生人数为 ， 男生优秀人数为 ，女生优秀人数为 ， 全班优秀总人数为 ， 则该班此次测试成绩的优秀率为 ． 14. 古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺． 【答案】 【解析】 【分析】设尺，则尺，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为水深． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知,尺， 设尺，则尺， 在中，， ， 解得：， 尺， 答：水深尺． 15. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是_______. 【答案】5 【解析】 【分析】先根据正方形的性质证明，可得，再根据直角三角形的性质得，然后在延长线上截取，连接，根据“边角边”证明，可得，接下来说明当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵点M是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． ∴的最小值为5． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出结果； （2）先计算二次根式的乘除，再计算加减即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 【数据收集】 某射击队为了从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对A，B两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图①，将A，B两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小颖利用四分位数（如下表）、箱线图（如图②）进行分析． 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① 9 9.5 10 B 8 8 9 ② 10 表格中，①处应填______，②处应填______；基于四分位数或箱线图，可以发现选手A射击成绩的中位数______（填“>”“<”或“=”）选手B射击成绩的中位数，且选手A的射击成绩明显比选手B的射击成绩波动大． 【作出决策】 （2）请你根据八轮射击成绩，从A，B两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1）7.5；10； （2）解：选择选手B参加青少年射击比赛． 理由：因为A，B两名选手的中位数相等，但选手B的成绩波动小，更加稳定． 【解析】 【分析】（1）根据上四分位数、中位数、下四分位数的定义求解即可， （2）根据中位数、方差的含义进行决策即可． 【小问1详解】 解法一：∵选手的数据从小到大排列为， ∴， ∵选手B的数据从小到大排列为， ∴， 解法二：∵选手的数据从小到大排列为，， ∴， ∵选手B的数据从小到大排列为，， ∴， ∴选手A射击成绩的中位数选手B射击成绩的中位数. 【小问2详解】 略 18. 如图是可调躺椅示意图，与的交点为C，测得． （1）若，求的长； （2）为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得，求此时的长度． 【答案】（1）的长为； （2）此时的长为． 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理即可求解； （2）过点作于点，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 答：的长为； 【小问2详解】 解：过点作于点，如图： ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， 答：此时的长为． 19. 如图，已知过点的直线与直线：相交于点. （1）求直线的解析式； （2）求四边形的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据P点是两直线交点，可求得点P的纵坐标，再利用待定系数法将点B、点P的坐标代入直线l1解析式，得到二元一次方程组，求解即可. （2）根据解析式可求得点啊（-2，0），点C（0，1），由可求得四边形的面积 【详解】 解：（1）∵点P是两直线的交点， 将点P（1，a）代入 得，即 则的坐标为， 设直线的解析式为：， 那么， 解得： . 的解析式为：. （2）直线与轴相交于点，直线与x轴相交于点A 的坐标为，点的坐标为 则， 而， 【点睛】本题考查了一次函数求解析式，求一次函数与坐标轴围成的图形面积，解本题的关键是求得各交点坐标求得线段长度，将不规则图形转化为规则图形求面积. 20. 如图，在中，交的延长线于点E，． （1）求证：四边形是矩形； （2）F为的中点，连接，．已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先由四边形是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答． （2）因为四边形是矩形，则，因为为CD的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是矩形，， ， 为的中点， ， ∵ ， 由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 21. 2026年，山东省持续推进黄河三角洲生态湿地修复工程，东营市某生态修复基地计划采购甲、乙两种新型节水灌溉设备，用于湿地植被养护．已知采购2台甲种设备和3台乙种设备共需要11.5万元；采购3台甲种设备和1台乙种设备共需要8.5万元．如果该基地计划一共采购甲、乙两种设备共50台，设采购甲种设备x台，采购总费用为y万元，总费用y与x之间满足一次函数关系．若受场地限制，乙种设备的数量不能少于甲种设备数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种节水灌溉设备的单价各是多少万元？ （2）直接写出总费用y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围，并求出在满足所有限制条件下，如何采购可使总费用最低？最低费用是多少万元？ 【答案】（1）甲种节水灌溉设备的单价2万元，乙种节水灌溉设备的单价2.5万元 （2），（x为整数）；采购甲20台、乙30台，最低费用115万元 【解析】 【分析】（1）设甲种节水灌溉设备的单价m万元，乙种节水灌溉设备的单价n万元，根据题意列方程组求解即可； （2）根据题意即可得到总费用y关于x的函数解析式，进而得到x的取值范围，再根据一次函数的性质求最低费用即可． 【小问1详解】 解：设甲种节水灌溉设备的单价m万元，乙种节水灌溉设备的单价n万元． 根据题意可得， 解得． 答：甲种节水灌溉设备的单价2万元，乙种节水灌溉设备的单价2.5万元． 【小问2详解】 解：设采购甲种设备x台，则采购乙种设备台， 根据题意得：； 由，得， 又， ∴（x为整数）； ∵，y随x增大而减小， ∴时，可使总费用最低，且． 答：采购甲20台、乙30台，最低费用115万元． 22. 阅读理解：如果把勾股定理比作黄金矿的话，可以把黄金分割比作钻石矿． （1）如图，点把线段分成两部分，如果， 那么称点为线段的黄金分割点．在图中，若，则__________（保留根号）． （2）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形． 下面我们用宽为的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 第一步  在矩形纸片一端，利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步  如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步  如图，折出内侧矩形的对角线，并把折到图中所示的处． 第四步  展平纸片，按所得的点折出，使，则图④中就出现黄金矩形． 问题解决：①图中 （保留根号）； ②请写出图中所有的黄金矩形： ． 【答案】（1） （2）①；②矩形和矩形 【解析】 【分析】（1）根据黄金分割点的定义可求出的长度； （2）①用勾股定理可算得答案； ②根据黄金矩形的判定进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：①如图3： 根据题意可得， ∴； ②图4中的黄金矩形有：矩形、矩形， ，， ， ， ， 矩形是黄金矩形， ，， ， ， 矩形是黄金矩形． 综上所述，矩形，是黄金矩形． 23. 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合），探索线段之间的数量关系． （1）线段间的数量关系是________________； （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出此时线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为________ 【答案】（1） （2） 解：，理由如下； 如图2，取的中点T，连接，则， ∵四边形为的菱形， ∴，，平分 ∴是等边三角形， ∴， ， ， ， ∴是等边三角形， ∴，，， 又∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）由正方形，可得，，证明，则，进而可得； （2）如图2，取的中点T，连接，由四边形为的菱形，可得，，证明是等边三角形，是等边三角形，证明，则，； （3）由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解；①当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G．由（2）可知，是等边三角形，证明是等边三角形，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，则，由（2）可知，，则，根据，求解作答；②当点P靠近点D时，同理①，求解作答即可． 【小问1详解】 解： ∵正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解； ①当点P靠近点B，如图，过点A作于H，连接，作交于G． 由（2）可知，是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形，则， ∴，即， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴； ②当点P靠近点D时，如图， 同理①，可得，，， ∴； 综上所述，满足条件的的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $