精品解析：河南省信阳市浉河中学2025-2026学年九年级上学期开学收心考试数学试卷

九（上）开学收心考试数学试题 一．选择题（共10小题） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项不符合题意； B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项不符合题意； C、，是最简二次根式；故C选项符合题意； D．=，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项不符合题意； 故选C． 2. 用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 3. 已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　） A. 5 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣5 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决． 【详解】∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m， ∴-2+m=−， 解得，m=-1， 故选B． 4. 在平面直角坐标系中，将直线y＝kx﹣6沿x轴向左平移3个单位后恰好经过原点，则k的值为（ ） A. ﹣2 B. 2 C. ﹣3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先利用函数的平移规律得到平移后的直线解析式，然后把坐标原点代入即可 ． 【详解】将直线y＝kx﹣6沿x轴向左平移3个单位后得到y＝k（x+3）﹣6， ∵直线经过原点， ∴0＝k×（0+3）﹣6， 解得：k＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的平移规律，熟记函数平移时，“左加右减，上加下减”是解题的关键． 5. 六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每个同学送一份小礼品，全班共互送1035份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可直接列出方程进行排除选项． 【详解】解：由题意得：； 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 6. 下列命题正确的是（　　） A. 菱形的对角线相等 B. 平行四边形的对角互补 C. 有三个角为直角的四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】利用菱形、平行四边形的性质及正方形、矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故原命题错误，不符合题意； B、平行四边形的对角互补，故原命题 错误，不符合题意； C、有三个角是直角的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形、平行四边形的性质及正方形、矩形的判定方法等知识，属于基础知识，比较简单 7. 设点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y＝﹣x2+a上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A. y3＞y2＞y1 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y1＞y2 D. y1＞y2＞y3 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得对称轴为y轴，则（-1，y1）关于y轴的对称点为（1，y1），根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系． 【详解】∵抛物线y＝﹣x2+a ∴对称轴为y轴 ∴（﹣1，y1）关于对称轴y轴对称点为（1，y1） ∵a＝﹣1＜0 ∴当x＞0时，y随x的增大而减小 ∵1＜2＜3 ∴y1＞y2＞y3 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小是本题的关键. 8. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　） A. 4尺 B. 4.55尺 C. 5尺 D. 5.55尺 【答案】B 【解析】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：． 所以，原处还有4.55尺高的竹子． 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 9. 关于x的一元二次方程x2+（2a﹣3）x+a2+1＝0有两个实数根，则a的最大整数解是（　　） A. 1 B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况，用一元二次方程的判别式代入对应系数得到不等式计算即可. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 则a的最大整数值是0． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是能够熟练地掌握和运用一元二次方程根的判别式. 10. 如图，把一段抛物线记为抛物线，它与x轴交于点O、A；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于点，…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点在此“波浪线”上，则m的值为（ ） A. B. 7 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换，关键在于能根据函数图象发现规律并进行计算．根据题意可以得到：整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，而，由此即可计算． 【详解】解：由，结合函数图象观察整个函数图象得到每隔个单位长度，函数值就相等， 又因为， 所以的值等于时的纵坐标， 所以． 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11. 写出一次函数的解析式且函数y随x的增大而减小，请你写出一个符合条件的函数解析式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质可知取一个的一次函数即可． 【详解】解：∵一次函数的解析式且函数y随x的增大而减小， ∴这个一次函数解析式可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟知一次函数，当时，y随x的增大而减小是解本题的关键． 12. 一元二次方程的的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，通过移项和因式分解法求解． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， 所以 或， 解得． 故答案为：． 13. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解∠CBE=∠BEC，即可得CB=CE，利用等腰三角形的性质得到BF=EF，进而可得GF是△ABE的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解． 【详解】在平行四边形ABCD中，AB∥CD， ∴∠ABE=∠BEC． ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴∠CBE=∠BEC， ∴CB=CE． ∵CF⊥BE， ∴BF=EF． ∵G是AB的中点， ∴GF是△ABE的中位线， ∴GF=AE， ∵AE=4， ∴GF=2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明GF是△ABE的中位线是解题的关键． 14. 如图，将函数y＝(x﹣2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(5，n)平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为16(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是_______． 【答案】y＝(x﹣2)2 +5 【解析】 【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C(5，)，AC＝5﹣1＝4，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为16(图中的阴影部分)，得出AA′＝4，然后根据平移规律即可求解． 【详解】解：∵函数y＝(x﹣2)2+1的图象过点A(1，m)，B(5，n)， ∴m＝(1﹣2)2+1＝， ∴A(1，)， 过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C(5，)， ∴AC＝5﹣1＝4， 连接AB、A′B′，由平移性质可知曲线段AB扫过的面积为16（图中的阴影部分）等于平行四边形A A′B′B的面积， ∵曲线段AB扫过的面积为16（图中的阴影部分）， ∴AC•AA′＝4AA′＝16， ∴AA′＝4， 即将函数y＝(x﹣2)2+1的图象沿y轴向上平移4个单位长度得到一条新函数的图象， ∴新图象的函数表达式是y＝(x﹣2)2 +5． 故答案是：y＝(x﹣2)2 +5． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题关键． 15. 中，若，，，将沿某直线翻折，使得点A与的中点F重合，若折痕与直线交于点E，，则m的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：如图1，当点E在线段上时，过点F作交的延长线于点H，根据平行四边形的性质可得，，利用锐角三角函数求得，，再利用勾股定理求得，即可求解；如图2，当点E在线段的延长线上时，通理可得，此时点E与H重合，求解即可． 【详解】解：如图1，当点E在线段上时，过点F作交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2，当点E在线段的延长线上时，通理可得， 此时点E与H重合，，， 综上所述，m的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查翻折变化−折叠问题、菱形的性质、等边三角形的性质与判定、解直角三角形的计算以及平行四边形的性质，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程． （1）先计算二次根式的乘法，再化简二次根式，最后计算加减即可； （2）移项后根据公式法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得：． 17. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动，为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校名学生进行调查，得到如下未完成的统计表． 体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操 人数 6 10 9 8 5 （1）表格中的值为_____________； （2）若该校有名学生，请估计该校参加足球活动的学生人数； （3）为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示，你建议选拔哪名同学，请说明理由． 【答案】（1） （2）人 （3）选拔甲同学， 理由： 由图知，，， ∴， 又∵甲成绩明显比乙成绩更稳定， ∴选拔甲同学． 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，用样本估计总体，解题的关键是正确理解统计图表中的信息． （1）根据种体育活动的总人数为人，可得的值； （2）用总人数乘以样本中足球人数所占比例即可； （3）求出甲、乙的平均成绩，比较后再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：（人） 答：估计该校参加足球活动的学生人数约为人． 【小问3详解】 略 18. 如图，在中，，是边上的中线． （1）尺规作图：在直线右侧作射线，在射线上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）当满足什么条件时，四边形为正方形，并说明理由． 【答案】（1） 如图，射线、线段即为所求． （2） 解：当是等腰直角三角形时，四边形为正方形． 理由：，， 四边形为平行四边形． ，是边上的中线， ， 四边形为菱形． 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形为正方形． 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、直角三角形斜边上的中线、正方形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）在的右侧作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接即可． （2）当是等腰直角三角形时，四边形为正方形．结合直角三角形斜边上的中线的性质、正方形的判定、等腰直角三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 解：在的右侧作，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接， 则射线、线段即为所求． 【小问2详解】 略 19. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）按要求作图： ①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1； ②画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2； （2）按照（1）中②作图，回答下列问题：△A2B2C2中顶点A2坐标为 ，C2坐标为 ，若P（a，b）为△ABC边上一点，则点P对应的点P2的坐标为 ． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）（4，2），（1，3），（b，-a） 【解析】 【分析】（1）①利用中心对称的性质分别作出A，B，C对应点A1，B1，C1即可． ②利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可． （2）根据A2，C2的位置写出坐标即可，探究规律，利用规律写出P2坐标即可． 【小问1详解】 解：①如图，△A1B1C1即为所求． ②如图，△A2B2C2即为所求． 【小问2详解】 解：点A2坐标为（4，2），C2坐标为（1，3），若P（a，b）为△ABC边上一点，则点P对应的点P2的坐标为（b，-a）． 故答案为：（4，2），（1，3），（b，-a）． 【点睛】本题考查了作图旋转变换，中心对称变化等知识，解题的关键是掌握中心对称变换，旋转变换的性质． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守一盔一带的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意得：，即可求解； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元个，则，即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， ， ， 解得：，（舍， 该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：该品牌头盔的实际售价应定为元个， 则， ， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元个． 21. 阅读下列材料： 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 再例如；求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． （1）【直接应用】代数式的最小值为______； （2）【类比应用】若多项式，试求M的最小值； （3）【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】（1） （2）最小值为 （3）围成的菜地的最大面积是 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方式、偶次方的非负性是解题的关键． （1）把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用完全平方式把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用完全平方式把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 对于任意实数x都有， ∴， 当时，代数式有最小值，最小值为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意，∵ ， 当，时，M有最小值，最小值为； 【小问3详解】 解：由题意，设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米， ， 当时，S有最大值，最大值是， 围成的菜地的最大面积是． 22. 如图所示，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点A的坐标为，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当直线经过点C时，结合图象直接写出不等式的解集； （3）已知点，，连接，若抛物线向下平移个单位长度时，与线段只有一个公共点，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标； （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）①抛物线向下平移1个单位时，抛物线和有一个交点，即；②当时， ，当时，，当抛物线向下平移个单位时，抛物线和恰好有2个交点，当抛物线向下平移10个单位时，抛物线和恰好有1个交点，之后再没有交点，即可得解． 【小问1详解】 ∵抛物线过点,且对称轴为直线， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 由（1）知，令得， ∴ ∴ 令得 ∴ ∴ ∴ ∴当直线过点C时，直线的表达式为：，该直线恰好过点B， 观察函数图象知，不等式的解集为：或； 【小问3详解】 ①由抛物线的表达式知，其顶点坐标为：， 则抛物线向下平移1个单位时，抛物线和有一个交点，即； ②当时， ，当时，， 当抛物线向下平移个单位时，抛物线和恰好有2个交点， 当抛物线向下平移个单位时，抛物线和恰好有1个交点，之后再没有交点， 故， 综上，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、图形的平移等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 23. 【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1）， 理由如下， 如图，当点G，H重合时， ∵正方形与正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下， 由（1）得， ∴， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3），理由如下， 由（1）得， ∴，， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， 同理，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质求得，证明，推出，根据即可求解； （2）在上截取，证明，推出，，证明是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得； （3）在上截取，证明，得到，，同理，得到是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得． 【详解】略 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，作出辅助线，证明三角形全等是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九（上）开学收心考试数学试题 一．选择题（共10小题） 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A. B. C. D. 3. 已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　） A. 5 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣5 4. 在平面直角坐标系中，将直线y＝kx﹣6沿x轴向左平移3个单位后恰好经过原点，则k的值为（ ） A. ﹣2 B. 2 C. ﹣3 D. 3 5. 六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每个同学送一份小礼品，全班共互送1035份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意列出方程为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（　　） A. 菱形的对角线相等 B. 平行四边形的对角互补 C. 有三个角为直角的四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 7. 设点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y＝﹣x2+a上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A. y3＞y2＞y1 B. y1＞y3＞y2 C. y3＞y1＞y2 D. y1＞y2＞y3 8. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（　　） A. 4尺 B. 4.55尺 C. 5尺 D. 5.55尺 9. 关于x的一元二次方程x2+（2a﹣3）x+a2+1＝0有两个实数根，则a的最大整数解是（　　） A. 1 B. C. D. 0 10. 如图，把一段抛物线记为抛物线，它与x轴交于点O、A；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于点；将抛物线绕点旋转得抛物线，交x轴于点，…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点在此“波浪线”上，则m的值为（ ） A. B. 7 C. D. 5 二．填空题（共5小题） 11. 写出一次函数的解析式且函数y随x的增大而减小，请你写出一个符合条件的函数解析式______． 12. 一元二次方程的的解是_______． 13. 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接GF，若AE＝4，则GF＝_____． 14. 如图，将函数y＝(x﹣2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(5，n)平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为16(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是_______． 15. 中，若，，，将沿某直线翻折，使得点A与的中点F重合，若折痕与直线交于点E，，则m的值为_______． 三．解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加了其中一项活动，为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校名学生进行调查，得到如下未完成的统计表． 体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操 人数 6 10 9 8 5 （1）表格中的值为_____________； （2）若该校有名学生，请估计该校参加足球活动的学生人数； （3）为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示，你建议选拔哪名同学，请说明理由． 18. 如图，在中，，是边上的中线． （1）尺规作图：在直线右侧作射线，在射线上截取，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）当满足什么条件时，四边形为正方形，并说明理由． 19. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度． （1）按要求作图： ①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1； ②画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2； （2）按照（1）中②作图，回答下列问题：△A2B2C2中顶点A2坐标为 ，C2坐标为 ，若P（a，b）为△ABC边上一点，则点P对应的点P2的坐标为 ． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守一盔一带的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21. 阅读下列材料： 我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． 可知当时，有最小值，最小值是． 再例如；求代数式的最大值． ，可知当时，有最大值，最大值是． （1）【直接应用】代数式的最小值为______； （2）【类比应用】若多项式，试求M的最小值； （3）【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 22. 如图所示，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点A的坐标为，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当直线经过点C时，结合图象直接写出不等式的解集； （3）已知点，，连接，若抛物线向下平移个单位长度时，与线段只有一个公共点，请直接写出k的取值范围． 23. 【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $