河南信阳市浉河中学2026-2027学年上学期开学自测试卷八年级数学

八年级数学 一.选择题（共10小题） 1.直径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右无滑动地滚动到如图的位置，则点O对应的数是() y (第1题) (第4题) A.2π B.n C.π D.t+2 2.如果不等式(a+2)x>a+2的解集为x<1,则a必须满足的条件是（ A.a≥-2 B.a>-2 C.a≤-2 D.a<-2 3.如果关于y的方程a-（-3-y） y-2有正整数解，且关于.x的不等式组 {x-2a-2>3 3 的解集为x≥1， 3 x-43(x-2) 则所有符合条件的a的和为() A.-18 B.-12 C.-8 D.-7 4.中国人是龙的传人，将龙视为文明象征、精神图腾.如图，将龙的剪纸图案放入平面直角坐标系中， 它盖住的点的坐标可能为（) A.(1,-2) B.(-1,2) C.(1,2) D.(-1,-2) 5.在平面直角坐标系中，某智能机器人P从站点A0（-2,0)出发，按照“能源探测路线”依次经过探 测点“A0→A1→A2→A3→A4→A5”进行信号采集（每秒一条直角边).已知A0(-2,0),1（-1,1), A2(0,0),A3(1,1)…设第n秒运动到点Am（n为正整数)，探测点的位置规律如图所示，△404142， △A2A3A4,△A445A6…是按规律摆放的等腰直角三角形，则点A2026的坐标是（) y个 P A12 COD Ao O(A2) (第5题) (第6题) A.(2024,0) B.(2024,1) C.(2025,1) D.(2025,-1) 6.一小区门口升降杆如图所示，BA⊥AE于点A,当杆抬升到最高处时，CD∥AE,∠BCD=120°·那么 此时∠ABC的度数为() A.120° B.150° C.1359 D.145 7.下列说法正确的有() ①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等： ③在同一平面内，不重合的两条直线若不相交，则必平行： ④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等； ⑤同旁内角互补； ⑥经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行】 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ▣减▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 8.如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是() B. 9.【传统文化】中华文明，上下五干载延绵不绝；甲骨惊世，跨越三千年历久弥新.安阳殷墟甲骨文成为 对话世界的新地标.下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是( 八.求.完. 10.在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“幸运点”，已知点A（-2,2),B（-2,-2), C(-1,-2),D(3,-2),现有以下结论： ①第一象限内有无数个“幸运点”；②第三象限内不存在“幸运点”；③若点P是“幸运点”且在坐 标轴上，则点P到直线AB的距离为8；④若点Q是“幸运点”且在第一象限或坐标轴上，将三角形 QCD的面积的最大值记为m,最小值记为，则m~n=12.⑤若点M是“幸运点”且在第二象限内， 横坐标为，三角形MCD的面积记为S,则8号其中正确的有C A.①② B.③④ c.②③④⑤ D.①②④⑤ 二.填空题（共5小题） 11.下列说法中，正确的有 ①三角形的中线、角平分线、高都是线段： ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部： ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点， 12.定义：若三角形一条边上的高在三角形内部，且等于这条边长的一半，则称这个三角形为“半高三角 形”.如图，在△ABC中，AB=AC=V13,BC=6,D为边BC上的一点.若△4ADC为“半高三角形”， 则BD的长为 D B (第12题) （第13题) (第15题) 13.已知：如图所示，在△ABC中，点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，且SAABC=4cm2,则阴影 部分的面积为 cm2. 14.已知直线a,b,c在同一平面内，且a∥b∥c,a与b之间的距离为4cm,b与c之间的距离为1cm, 则a与c之间的距离是 15.如图，直线I平行于BC,点A是1上一个动点，1与BC距离等于线段BC长，∠ABC>90°，那么 AC 最小值为 。夸克扫描王 ▣减▣ 极速扫描，就是高效 ▣6 三.解答题（共8小题） 「7x+4>5x 16.(1)2V2W5+-8+W2-2 (2)解不等式组 8-1≤2x-1·并把解集在数轴上表示出米 2 17,为提倡节约用水，自来水公司实行民用水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受 基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费。为更好地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用 水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解 用户用水量频数分布直方图 用户用水量扇形统计图 户数（单位：户） 40 10吨15吨 80吨35吨 30 10% 20 15吨 25吨 10 20吨 30吨 10外 20吨~25吨g 答下列问题： 0101520253035用水量（单位：吨） (1)此次调查共抽取 户用户的用水量数据，扇形统计图中“25-30吨”部分的圆心角为 度 (2)补全频数分布直方图 (3)如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，请估计该地区150万用户中享受基本价格的用户数， 18.若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是优雅数.如33,262,45654都是优雅数， 最小的优雅数是11，但没有最大的优雅数，因为数位是无穷的. (1)若将任意一个四位优雅数分解为前两位数表示的数和后两位数表示的数，请你证明：这两个数的 差一定能被9整除； （2)设一个三位优雅数为abc(a+b<10)与各数位上数字之和的差能被11整除，且该优雅数与11 相乘后得到一个四位数，且该四位数各位数字之和为8，求这个三位优雅数. 19.【代数推理】设△ABC的三边长是a、b、c,周长是x,其中a=4,b=6. (1)直接写出c及x的取值范围； (2)当c为奇数时，求x的最大值和最小值. (3)若x小于18的偶数，判断△ABC的形状. 20.按要求，画出图形并回答问题： (1)在下列三角形中，分别画出AB边上的高， (2)在方格纸中，过点C画线段AB的垂线，垂足为D,并量出C点到线段AB所在的直线的距离， ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ °21.为迎接校园文化艺术节，浉河中学举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买了A、B两种徽 章作为奖品.已知购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元；购买4个A种徽章和5个B种徽章需 284元. (1)求每个A种徽章和每个B种徽章的价格各是多少元？请按如下分析写出解答过程： 解：设每个A种徽章的价格是x元，每个B种徽章的价格是y元，根据题目中的数量关系，列方程组： 「() 1() 解这个方程组，得 =（） (=( ) 答： (2)溮河中学计划购进A、B两种徽章共60个，已知购进的A种徽章数不少于B种徽章数的2倍， 且总费用不超过2000元，那么购进A种徽章多少个？ 22.(1)如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； (2)如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数. 图 图2 图 23.在平面直角坐标系中如图1，点A的坐标为(0，a),点B的坐标为(b,0),且满足a+2Wb+4=0, 将线段AB平移至线段CD,点B的对应点D在y轴上，点A的对应点C(c,O). (1)直接写出a,b,c的值. .1 (2)若点P在y轴上且满足SAPACSAAC,求点P的坐标. (3)如图2，点E为线段AB上一点，点F为线段CD上一点，点G为线段OC上一点，∠DFG和 ∠BEG的平分线交于点H,试探究∠FHE和∠FGE之间的数量关系，并说明理由. (4)如图3，过点D作直线1∥x轴，点E为直线1上一点，若△ACE的面积为12；直接写出点E的 坐标. D D B C 图1 图2 图3 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 八年级数学答案 一．选择题（共11小题） 1．直径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右无滑动地滚动到如图的位置，则点O'对应的数是（　　） A．2π B．π C． D．π+2 【分析】半圆无滑动滚动半周时，其与数轴接触的弧长即为水平移动距离，无需额外增加直径长度；计算半圆弧长即可得到点O′对应的数． 【解答】解：直径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右无滑动地滚动到如图的位置， 已知半圆直径为2，则半径r＝1， 半圆弧长为， 半圆无滑动滚动半周，水平移动距离等于半圆弧长π， 因此点O′对应的数为π， 故选：B． 【点评】本题考查了半圆无滑动滚动的弧长计算与数轴对应关系，解题的关键是明确半圆仅沿弧长滚动时，水平移动距离等于半圆弧长． 2．如果不等式（a+2）x＞a+2的解集为x＜1，则a必须满足的条件是（　　） A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜﹣2 【分析】根据解集的不等号方向改变，可判断x系数的正负，进而求解a的取值范围． 【解答】解：由题知， 因为不等式（a+2）x＞a+2的解集为x＜1， 所以a+2＜0， 解得a＜﹣2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 3．如果关于y的方程有正整数解，且关于x的不等式组的解集为x≥1，则所有符合条件的a的和为（　　） A．﹣18 B．﹣12 C．﹣8 D．﹣7 【分析】先解关于y的方程，根据y是正整数得到a的范围和性质，再解不等式组，根据已知解集确定a的取值范围，最后找出符合条件的整数a求和即可． 【解答】解：， a+3+y＝3（y﹣2）， 解得：， ∵y为正整数， ∴，且a+9为偶数，即a≥﹣7，且a为奇数，a为整数， ∵， 解不等式①得：x≥2a+11， 解不等式②得：x≥1， ∵不等式组的解集为x≥1， ∴2a+11≤1， 解得a≤﹣5， 综上可得，满足条件的a满足﹣7≤a≤﹣5，且a为奇数，因此符合条件的整数a为﹣7，﹣5， 所有符合条件的a的和为：﹣7+（﹣5）＝﹣12， 故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．中国人是龙的传人，将龙视为文明象征、精神图腾．如图，将龙的剪纸图案放入平面直角坐标系中，它盖住的点的坐标可能为（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2） 【分析】根据各象限内点的坐标特点解答即可． 【解答】解：由图可知，龙的剪纸图案位于第三象限， ∴它盖住的点的坐标可能为（﹣1，﹣2）． 故选：D． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟知第三象限内点的横纵坐标均为负数是解题的关键． 5．在平面直角坐标系中，某智能机器人P从站点A0（﹣2，0）出发，按照“能源探测路线”依次经过探测点“A0→A1→A2→A3→A4→A5…”进行信号采集（每秒一条直角边）．已知A0（﹣2，0），A1（﹣1，1），A2（0，0），A3（1，1）…设第n秒运动到点An（n为正整数），探测点的位置规律如图所示，△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A5A6…是按规律摆放的等腰直角三角形，则点A2026的坐标是（　　） A．（2024，0） B．（2024，1） C．（2025，1） D．（2025，﹣1） 【分析】通过观察可知，每个点的横坐标比序号少2，纵坐标每6个点依次为：1，0，1，0，﹣1，0这样循环，即可得出答案． 【解答】解：由题意知，A1（﹣1，1），A2（0，0），A3（1，1），A4（2，0），A5（3，﹣1），A6（4，0）⋯， 观察可知，每个点的横坐标比序号少2，纵坐标每6个点依次为：1，0，1，0，﹣1，0这样循环， ∵2026÷6＝337⋯⋯4， ∴点A2026的坐标是（2024，0）， 故选：A． 【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，掌握其相关知识点是解题的关键． 6．一小区门口升降杆如图所示，BA⊥AE于点A，当杆抬升到最高处时，CD∥AE，∠BCD＝120°，那么此时∠ABC的度数为（　　） A．120° B．150° C．135° D．145° 【分析】添加辅助线作平行线，根据平行线的性质求解角度即可． 【解答】解：如图，过点B作BG∥CD， ∵BG∥CD，CD∥AE，∠BCD＝120°， ∴BG∥CD∥AE， ∴∠CBG＝180°﹣120°＝60°， ∵BA⊥AE， ∴∠BAE＝90°， ∴∠ABG＝90°， ∴∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝90°+60°＝150°． 故选：B． 【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解题的关键． 7．下列说法正确的有（　　） ①对顶角相等； ②两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等； ③在同一平面内，不重合的两条直线若不相交，则必平行； ④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等； ⑤同旁内角互补； ⑥经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】①根据对顶角的性质得对顶角相等，则①正确； ②根据两条平行线被第三条直线所截，所得的同位角相等得②不正确； ③根据在同一平面内，不重合的两条直线若不相交，则必平行得③正确； ④例如两个直角不是对顶角，则这两个直角相等，由此得④不正确； ⑤根据两条平行线被第三条直线所截，所得的同旁内角互补得⑤不正确； ⑥根据经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行得⑥正确；综上所述即可得出答案为B． 【解答】解：①根据对顶角的性质得对顶角相等， 故①正确； ②∵两条平行线被第三条直线所截，所得的同位角相等； ∴②不正确； ③∵在同一平面内，不重合的两条直线若不相交，则必平行， ∴③正确； ④例如两个直角不是对顶角，则这两个直角相等， ∴④不正确； ⑤∵两条平行线被第三条直线所截，所得的同旁内角互补， ∴⑤不正确； ⑥∵经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴⑥正确； 综上所述：正确的有①③⑥，共3个． 故选：B． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质，对顶角的性质是解决问题的关键． 8．如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据AD为三角形的高，则AD⊥BC．所以∠ADB＝90°，然后对各选项进行判断． 【解答】解：选项D中的AD是△ABC的高， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：正确理解三角形的角平分线、中线和高的定义是解决问题的关键． 9．【传统文化】中华文明，上下五千载延绵不绝；甲骨惊世，跨越三千年历久弥新．安阳殷墟甲骨文成为对话世界的新地标．下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平移前后图形的大小，形状和方向都不变，只是位置发生改变，进行判断即可． 【解答】解：能用其中一部分平移得到的是：． 故选：D． 【点评】本题考查生活中的平移现象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 10．在平面直角坐标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“幸运点”，已知点A（﹣2，2），B（﹣2，﹣2），C（﹣1，﹣2），D（3，﹣2），现有以下结论： ①第一象限内有无数个“幸运点”； ②第三象限内不存在“幸运点”； ③若点P是“幸运点”且在坐标轴上，则点P到直线AB的距离为8； ④若点Q是“幸运点”且在第一象限或坐标轴上，将三角形QCD的面积的最大值记为m，最小值记为n，则m﹣n＝12． ⑤若点M是“幸运点”且在第二象限内，它的横坐标为m，三角形MCD的面积记为S，则． 其中正确的有（　　） A．①② B．③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【分析】①②根据平面直角坐标系中点的坐标特征判断即可； ③根据“幸运点”的定义确定点P的坐标，从而判断正误即可； ④⑤画图，利用三角形面积公式计算即可． 【解答】解：第一象限内有无数个“吉祥点”，故①正确，符合题意； ∵第三象限内的点的横、纵坐标均小于0， ∴第三象限内的点的横、纵坐标之和小于0，不可能等于6， 故②正确，符合题意； ∵点P是“吉祥点”且在坐标轴上， ∴P的坐标为（6，0）或（0，6）， 如图： ∴点P到直线AB的距离为8或2， 故③不正确，不符合题意； ∵C（﹣1，﹣2），D（3，﹣2）， ∴CD＝3﹣（﹣1）＝4，且CD在直线y＝﹣2上， ∴S△QCD＝×4×|yQ﹣（2）|＝2|yQ+2|， 如图： ∵点Q是“幸运点”且在第一象限或坐标轴上， ∴x+y＝6，且0≤x≤6，0≤y≤6， ∴当y＝6时，yQ+2＝8，Smax＝2×8＝16；当y＝0时，yQ+2＝2，Smin＝4， ∴m﹣n＝16﹣4＝12， 故④正确，符合题意； 若点M是“幸运点”且在第二象限内，满足x＜0，y＞0，且x+y＝6， ∴M（m，6﹣m），其中m＜0，6﹣m＞0， ∴S＝S△MCD＝×4×（yM+2）＝2（yM+2）＝2（6﹣m+2）＝2（8﹣m）＝16﹣2m， ∴m＝＝8﹣， 故⑤正确，符合题意．故选：D． 【点评】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，掌握平面直角坐标系中点的坐标特征和三角形的面积计算公式是解题的关键． 11．下列说法中，正确的有（　　） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义与性质，逐一判断各说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【解答】解：①：三角形的中线、角平分线、高都是两个端点确定的线段，分别三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段；三角形的角平分线是指角平分线在三角形内部的部分，是线段；三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段．它们都是线段，因此①正确； ②：钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，并非所有高都在三角形内部，因此②错误； ③：直角三角形共有三条高，两条直角边本身就是两条高，斜边上还有第三条高，因此③错误； ④：三角形的三条角平分线、三条中线都分别交于三角形内部一点，而任意三角形的三条高（或所在直线）也都交于一点，因此④正确． 综上，正确的说法共2个， 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形相关线段的知识点判断，掌握其相关知识点是解题的关键． 二．填空题（共4小题） 12．定义：若三角形一条边上的高在三角形内部，且等于这条边长的一半，则称这个三角形为“半高三角形”．如图，在△ABC中，，BC＝6，D为边BC上的一点．若△ADC为“半高三角形”，则BD的长为　2或　 ． 【分析】过点A作AP⊥BC，，设BD＝x，则CD＝6﹣x，0＜x＜6，分情况讨论：①在△ADC中，当CD上的高在三角形内部，且等于CD的一半时，CD＝2AP＝4，可推得BD＝2；②在△ADC中，当AC上的高在三角形内部，且等于AC的一半时，由和可推得；③在△ADC中，当AD上的高在三角形内部，且等于AD的一半时，D只能在P的左边，在Rt△ADP中，AD2＝AP2+DP2＝x2﹣6x+13，和可推得不满足0＜x＜3，舍去． 【解答】解：若三角形一条边上的高在三角形内部，且等于这条边长的一半，则称这个三角形为“半高三角形”． 如图，过点A作AP⊥BC， ∵，BC＝6， ∴， ∴， 设BD＝x，则CD＝6﹣x，0＜x＜6， 分情况讨论： ①在△ADC中，当CD上的高在三角形内部，且等于CD的一半时， CD＝2AP＝4， ∴6﹣x＝4，解得x＝2，即BD＝2； ②在△ADC中，当AC上的高在三角形内部，且等于AC的一半时， ， ， ∴，解得，，即； ③在△ADC中，当AD上的高在三角形内部，且等于AD的一半时， ∵如图，当D在P的右边时，∠ADC＞90°，AD上的高不在三角形内部， ∴D只能在P的左边，如图，此时0＜x＜3， ， ， 在Rt△ADP中，AD2＝AP2+DP2＝4+（3﹣x）2＝x2﹣6x+13， ∴，即x2﹣6x+13＝24﹣4x， 化简得，x2﹣2x﹣11＝0，解得，不满足0＜x＜3，舍去； 综上所述，BD＝2或． 【点评】本题考查三角形的高，中线，角平分线，正确进行计算是解题关键． 13．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　 cm2． 【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半． 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）． 故答案为1． 【点评】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等． 14．已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为4cm，b与c之间的距离为1cm，则a与c之间的距离是　3cm或5cm ． 【分析】分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【解答】解：如图，直线c在a、b外时， ∵a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm， ∴a与c的距离为4+1＝5（cm）， 如图，直线c在直线a、b之间时， ∵a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm， ∴a与c的距离为4﹣1＝3（cm）， 故答案为：3cm或5cm． 【点评】此题考查了平行线间的距离，正确分情况是解题关键． 15．如图，直线l平行于BC，点A是l上一个动点，l与BC距离等于线段BC长，∠ABC＞90°，那么最小值为　　 ． 【分析】先以BC为边构造正方形，通过同角的余角相等推导等角，利用ASA证明△AEB≌△FCB得到AB＝BF，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半设线段长度，借助两点之间线段最短AG+GC≥AC建立不等式，最后通过分式分母有理化化简，求出比值的最小值． 【解答】解：直线l平行于BC，点A是l上一个动点，l与BC距离等于线段BC长， 如图，以BC为边向A点同侧构造正方形BCDE，过点B作BF⊥AB交CD于点F，取BF中点为G，连接AG、CG， 则l与BC的距离为线段BE的长度，BE＝BC， ∵∠ABE+∠EBF＝90°，∠EBF+∠FBC＝90°， ∴∠ABE＝∠FBC， 又∵∠AEB＝∠BCF＝90°， 在△ABE和△FBC中， ∴△AEB≌△FCB（ASA）， ∴AB＝BF， 设CG＝x，则BG＝GF＝CG＝x，BF＝AB＝2x， 在Rt△ABG中，， ∵AG+GC≥AC， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查平行线间的距离，正确进行计算是解题关键． 三．解答题（共8小题） 16．（1） （2）解方程 （3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【分析】（1）先计算算术平方根、立方根、去绝对值符号，再计算加减可得； （2）将方程组整理为一般式，再利用加减消元法求解可得； （3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：（1）原式＝2+3﹣2+2﹣ ＝+3； （2）原方程组整理可得：， ①+②，得：8x＝24， 解得：x＝3， 将x＝3代入②，得：15+y＝10， 解得：y＝﹣5， 则原方程组的解为； （3）由①，可得：7x﹣5x＞﹣4， 即2x＞﹣4， ∴x＞﹣2， 由②，可得：5（x﹣1）≤2（2x﹣1）， ∴5x﹣5≤4x﹣2， ∴x≤3， ∴﹣2＜x≤3． 在数轴上表示为 【点评】本题考查的是实数的混合运算、解一元一次不等式组和二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 17．（1）如图1，图中共有三角形 　10　 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 　24　 个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 【分析】（1）给每个小三角形分别标上序号，然后将小三角形进行组合计算； （2）结合图1与图2中的三角形个数得到增加2条线的时候的三角形个数进行归纳，然后得到增加10条线时的三角形个数． 【解答】解：（1）如图1，给每个小三角形分别标上序号， ∴单个三角形有4个，两个小三角形组成的三角形有3个，三个小三角形组成的三角形有2个，四个小三角形组成的三角形有1个， ∴图1中的三角形共有4+3+2+1＝10（个）， 由图1可知，顶点与直线l之间的三角形中有10个三角形，大三角形中有10个较小的三角形， 其中，图中2直线l下面还有4个三角形， ∴图2中的三角形共有10+10+4＝24（个）， 故答案为：10，24． （2）当增加2条线时，图形在图2的基础上增加10个三角形和左下角部分增加2个，共计3×10+4×（1+2）＝42个， ∵增加0条线时，三角形的个数为10个， 增加1条线时，三角形的个数为24个，24＝2×10+4， 增加2条线时，三角形的个数为42个，42＝3×10+4×（1+2），••• ∴增加10条线时，三角形的个数为11×10+4×（1+2+…10）＝330个． 【点评】本题考查了三角形的定义，解题的关键是找到每增加一条线时三角形增加个数的规律． 18．若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是优雅数．如33，262，45654都是优雅数，最小的优雅数是11，但没有最大的优雅数，因为数位是无穷的． （1）若将任意一个四位优雅数分解为前两位数表示的数和后两位数表示的数，请你证明：这两个数的差一定能被9整除； （2）设一个三位优雅数为（a+b＜10）与各数位上数字之和的差能被11整除，且该优雅数与11相乘后得到一个四位数，且该四位数各位数字之和为8，求这个三位优雅数． 【分析】（1）设四位优雅数分解为前两位数所表示的数为：10a+b，后两位数所表示的数为10b+a，用a、b的代数式表示这两个数的差即可解决问题； （2）设这个三位优雅数为：100a+10b+a，由题意100a+10b+a﹣（2a+b）＝99a+9b＝11（9a+b），根据整除的定义解答即可． 【解答】（1）证明：设四位优雅数分解为前两位数所表示的数为：10a+b，则后两位数所表示的数为10b+a， 由题意（10a+b）﹣（10b+a）＝9a﹣9b＝9（a﹣b）， ∵a、b为整数， ∴（a﹣b）是整数， ∴9（a﹣b）一定能被9整除， ∴这两个数的差一定能被9整除． （2）解：设这个三位优雅数为100a+10b+a， 由题意100a+10b+a﹣（2a+b）＝99a+9b＝11（9a+b）， ∵所得的结果能被11整除， ∴9a+b为整数， ∵a、b为整数，且0≤b≤9， ∴b是整数， ∴b＝0，a有9种可能， ∴满足条件的三位优雅数共有9个，分别是101，202，303，404，505，606，707，808，909； 只有202满足与11相乘后得到一个四位数，202×11＝2222， 该四位数前两位所表示的数和后两位所表示的数相等，且该四位数各位数字之和为8． ∴这个三位优雅数是202． 【点评】本题考查的是数的十进制、因式分解的应用、数字问题等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 19．【代数推理】设△ABC的三边长是a、b、c，周长是x，其中a＝4，b＝6． （1）直接写出c及x的取值范围； （2）当c为奇数时，求x的最大值和最小值． （3）若x小于18的偶数，判断△ABC的形状． 【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案； （2）根据奇数的定义和x的取值范围，可求解； （3）根据偶数的定义，以及x的取值范围即可求c的值，利用等腰三角形的定义得出即可． 【解答】解：（1）因为a＝4，b＝6， 所以2＜c＜10． 故周长x的范围为12＜x＜20． （2）∵a＝4，b＝6，c为奇数， ∵12＜x＜20， ∴x最大为19，最小为13． （3）∵周长为小于18的偶数， ∴x＝16或x＝14． 当x为16时，c＝6； 当x为14时，c＝4． 当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形； 当c＝4时，a＝c，△ABC为等腰三角形． 综上所述，△ABC是等腰三角形． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，三角形的分类等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 20．为迎接校园文化艺术节，某校举办了“青春绘梦，艺彩飞扬”绘画比赛，并购买了A、B两种徽章作为奖品．已知购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元；购买4个A种徽章和5个B种徽章需284元． （Ⅰ）求每个A种徽章和每个B种徽章的价格各是多少元？请按如下分析写出解答过程： 解：设每个A种徽章的价格是x元，每个B种徽章的价格是y元，根据题目中的数量关系，列方程组： ． 解这个方程组，得 ， 答：　每个A种徽章的价格是36元，每个B种徽章的价格是28元　 ． （Ⅱ）学校计划购进A、B两种徽章共60个，已知购进的A种徽章数不少于B种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进A种徽章多少个？ 【分析】（Ⅰ）设每个A种徽章的价格是x元，每个B种徽章的价格是y元，根据购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元；购买4个A种徽章和5个B种徽章需284元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （Ⅱ）设购进A种徽章m个，则购进B种徽章（60﹣m）个，根据购进的A种徽章数不少于B种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：（Ⅰ）设每个A种徽章的价格是x元，每个B种徽章的价格是y元， 根据题目中的数量关系，列方程组：， 解得：， 答：每个A种徽章的价格是36元，每个B种徽章的价格是28元； 故答案为：每个A种徽章的价格是36元，每个B种徽章的价格是28元； （Ⅱ）设购进A种徽章m个，则购进B种徽章（60﹣m）个， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式组的解集为m＝40， 答：购进A种徽章40个． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（Ⅰ）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（Ⅱ）找准数量关系，正确列出一元一次不等式组． 21．按要求，画出图形并回答问题： （1）在下列三角形中，分别画出AB边上的高． （2）在方格纸中，过点C画线段AB的垂线，垂足为D，并量出C点到线段AB所在的直线的距离． （3）过△ABC的顶点C，画MN∥AB，再过△ABC的边AB的中点D，画平行于AC的直线，交BC于点E． 【分析】（1）首先找到AB边对的顶点C，以C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点N，再以点N和A为圆心，以任意长为半径，画弧，两弧交于点Q，连接CQ交AB于点M，CM即是要画的AB边上的高． （2）连接CA和CB，以点C为圆心，以AB长为半径画弧，角AB于点M，以点M和B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交点为N，连接CN交AB于点D，CD即要画的垂线．C点到线段AB所在的直线的距离，即线段CD的长度． （3）过△ABC的顶点C，画MN∥AB，即是画∠ACN＝∠A即可； 先找到△ABC的边AB的中点D，画平行于AC的直线，即是画∠BDE＝∠A． 利用画一个角等于一个已知角的画法去画即可． 【解答】解：（1）首先找到AB边对的顶点C，以C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点N，再以点N和A为圆心，以任意长为半径，画弧，两弧交于点Q，连接CQ交AB于点M，CM即是要画的AB边上的高．同理可画出余下的两个三角形的高CM． （2）连接CA和CB，以点C为圆心，以AB长为半径画弧，角AB于点M，以点M和B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交点为N，连接CN交AB于点D，CD即要画的垂线．C点到线段AB所在的直线的距离，即线段CD的长度． （3）分别画∠1＝∠2，∠3＝∠2．如图所示． 【点评】作图方法有两种，一是尺规作图，不去度量；二是用刻度尺作图，可以度量．本题的解答是尺规作图的作法． 22．为提倡节约用水，自来水公司实行民用水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行加价收费．为更好地决策，自来水公司随机抽取部分用户的用水量数据，并绘制了如下不完整的统计图（每组数据包括右端点但不包括左端点），请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查共抽取 　100　 户用户的用水量数据，扇形统计图中“25﹣30吨”部分的圆心角为 　90　 度． （2）补全频数分布直方图． （3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，请估计该地区150万用户中享受基本价格的用户数． 【分析】（1）根据用水量在10吨～15吨的用户数和所占的百分比，可以计算出样本容量，再根据直方图中的数据，可以计算出扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数； （2）根据（1）中的结果和直方图中的数据，可以计算出用水量15吨～20吨的用户数，然后即可将直方图补充完整； （3）根据直方图中的数据，可以计算出该地150万用户中约有多少用户享受基本价格． 【解答】解：（1）样本容量是：10÷10%＝100，扇形统计图中“25吨～30吨”部分的圆心角度数为：360°×＝90°； 故答案为：100，90； （2）用水量15吨～20吨的用户为：100﹣10﹣36﹣25﹣9＝20（户）， 补全的频数分布直方图如图所示， （3）150×＝99（万户）， 答：估计该地区150万用户中享受基本价格的用户为99万户． 【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23．在平面直角坐标系中如图1，点A的坐标为（0，a），点B的坐标为（b，0），且满足，将线段AB平移至线段CD，点B的对应点D在y轴上，点A的对应点C（c，0）． （1）直接写出a，b，c的值． （2）若点P在y轴上且满足，求点P的坐标． （3）如图2，点E为线段AB上一点，点F为线段CD上一点，点G为线段OC上一点，∠DFG和∠BEG的平分线交于点H，试探究∠FHE和∠FGE之间的数量关系，并说明理由． （4）如图3，过点D作直线1∥x轴，点E为直线l上一点，若△ACE的面积为12，直接写出点E的坐标． 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值得到点A和点B的坐标，则可判断出平移方式，进而可得c的值； （2）求出△ABC的面积，得到△PAC的面积，根据三角形的面积公式求出PA的长，即可得到答案； （3）分两种情况：点E在直线FG左侧和点E在直线FG右侧，画出示意图讨论求解即可； （4）根据（1）可求出点D的坐标，再分三种情况：点E在y轴左侧，点E在y轴右侧，且在直线AB的左侧，点E在直线AB的右侧，分别画出示意图讨论求解即可． 【解答】解：（1）a＝﹣2，b＝﹣4，c＝4；理由如下： ∵点A的坐标为（0，a），点B的坐标为（b，0），且满足， 依题意得：a+2＝0，b+4＝0， 解得：a＝﹣2，b＝﹣4， ∴点A的坐标为（0，﹣2），点B的坐标为（﹣4，0）， ∵将线段AB平移至线段CD，点B的对应点D在y轴上，点A的对应点C（c，0）， ∴平移方式为向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度， ∴c＝0+4＝4； （2）∵点A（0，﹣2），点B（﹣4，0），点C（4，0）， ∴OA＝2，BC＝4﹣（﹣4）＝8，OC＝4， ∴， ∵点P在y轴上且满足，即PA×4＝×8， 解得：PA＝1， ∴点P的纵坐标为：﹣2﹣1＝﹣3，或点P的纵坐标为：﹣2+1＝﹣1， ∴点P（0，﹣3）或（0，﹣1）； （3）当点E在直线FG左侧时，∠FGE+2∠FHE＝360°；当点E在直线FG右侧时，∠FGE＝2∠FHE；理由如下： 设∠BEG＝2α，∠DFG＝2β， ∵∠DFG和∠BEG的平分线交于点H， ∴； 如图2.1，当点E在直线FG左侧时，过点H作HT∥AB， ∵将线段AB平移至线段CD，点B的对应点D在y轴上， ∴AB∥CD， ∴AB∥CD∥HT， ∴∠THF＝∠DFH，∠THE＝∠BEH， ∴∠FHE＝∠THF+∠THE＝∠DFH+∠BEH＝α+β； 同理可得∠FGE＝∠CFG+∠AEG； ∵∠CFG＝180°﹣∠DFG＝180°﹣2β，∠AEG＝180°﹣∠BEG＝180°﹣2α， ∴∠FGE＝360°﹣2（α+β）， ∴∠FGE＝360°﹣2∠FHE， ∴∠FGE+2∠FHE＝360°； 如图2.2，当点E在直线FG右侧时， 同理可得∠FHE＝∠DFH+∠BEH＝α+β， ∠FGE＝∠DFG+∠BEG＝2α+2β＝2（α+β）， ∴∠FGE＝2∠FHE； 综上所述，当点E在直线FG左侧时，∠FGE+2∠FHE＝360°；当点E在直线FG右侧时，∠FGE＝2∠FHE； （4）点E的坐标为（﹣4，2）或（20，2）．理由如下： 由（1）可得点D的坐标为（0，2）； 如图3.1，当点E在y轴左侧时，连接OE， ∴S△ACE＝S△AOE+S△AOC+S△COE＝12， ∴，即， 解得：xE＝﹣4， ∴点E的坐标为（﹣4，2）； 如图3.2，当点E在y轴右侧，且在直线AC左侧时，连接OE， 此时S△ACE＝S△COE+S△AOC﹣S△AOE ＝ ＝8﹣S△AOE＜12，不符合题意； 如图3.3，当点E在直线AC右侧时，连接OE， 此时S△ACE＝S△AOE﹣S△COE﹣S△AOC ＝ ＝ ＝12， 解得：xE＝20， ∴点E的坐标为（20，2）； 综上所述，点E的坐标为（﹣4，2）或（20，2）． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了非负数的性质，平移的性质，三角形的面积，分类讨论是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $