第四章 相似三角形单元检测 2026-2027学年浙教版九年级上册数学

**基本信息** 本单元卷聚焦相似三角形核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合实际应用与文化传承情境，适配初中数学单元复习，有效检测学生空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|相似多边形性质、位似变换等|第10题融入黄金分割历史文化| |填空题|6|比例线段、相似三角形判定等|第15题正六边形面积体现层次性| |解答题|8|综合应用、函数关系等|第24题结合正方形与相似，考查推理能力|

第四章 相似三角形 单元检测 一、单选题 1.下列说法错误的是（   ） A. 所有矩形都是相似的 B. 若线段a＝5cm，b＝2cm，则a：b＝5：2 C. 若线段AB＝ cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ cm D. 四条长度依次为lcm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段 2.一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（   ） A. 一种                                     B. 两种                                     C. 三种                                     D. 四种 3.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（    ） A. （-1，2）          B. （-9，18）          C. （-9，18）或（9，-18）          D. （-1，2）或（1，-2） 4.如图，已知在 中， ， ， ，点 是 的重心，则点 到 所在直线的距离等于（   ） A.                                           B.                                           C.                                           D.  5.已知 ，则直线 一定经过的象限是（   ） A. 第一、三、四象限             B. 第一、二、四象限             C. 第一、四象限             D. 第二、三象限 6.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（   ） A.                                     B. 13                                    C.                                     D.  7.有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1 ， S2 ， 则S1：S2等于（  ） A. 1：                                    B. 1：2                                   C. 2：3                                   D. 4：9 8.下列命题正确的有（　　）个 ①40°角为内角的两个等腰三角形必相似； ②若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为75°； ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c ， （a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1； ⑤若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c ， 则此△为等腰直角三角形． A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个 9.如图，P为反比例函数y= （k＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A，B．若∠AOB=135°，则k的值是（   ） A. 2                                           B. 4                                           C. 6                                           D. 8 10.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 分为两线段 ， ，使得其中较长的一段 是全长 与较短的段 的比例中项，即满足 ，后人把 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段 的“黄金分割”点．如图，在 中，已知 ， ，若D ， E是边 的两个“黄金分割”点，则 的面积为（    ） A.                             B.                             C.                             D.  二、填空题 11.若 ，请再写出一条线段的长，使它与a、b这三条线段中的一条是另外两条的比例中项，则这条线段长为________． 12.如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为________时，△ADP和△ABC相似. 13.如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是________． 14.在ΔABC 中，AC＝4，BC＝2. 点 D 在射线 AB 上，在构成的图形中，ΔACD 为等腰三角形，且存在两个互为相似的三角形，则 CD 的长是________. 15.如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2；正六边形A2B2C2D2E2F2的6条对角线又围成一个正六边形A3B3C3D3E3F3…；如此继续下去，则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是________. 16.如图，直线l1∥l2∥l3 ， A，B，C分别为直线l1 ， l2 ， l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D.设直线l1 ， l2之间的距离为m，直线l2 ， l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且 则m+n的最大值为________. 三、解答题 17.如图，在△ABC中，AB=6cm ， AC=12cm ， 动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t ， 使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 18.如图，在△ABC中，BC边上依次有B、D、E、C，AC边上依次有A、G、F，满足BD=CE= BC，CF=AG= AC，BF交AE于点J，交AD于I，BG交AE于点K，交AD于点H，且S△ABC=1，求S四边形KHIJ ． 19.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心P逆时针旋转90°后得到△A1B1C1 ． （1）在图中标示出旋转中心P，并写出它的坐标； （2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2 ， 在图中画出△A2B2C2 ， 并写出C2的坐标． 20.如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB． （1）求线段CD的长； （2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长； （3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 21.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB于点O，D是线段OB上一点，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD的中点分别为P、Q． （1）求AO的长； （2）求PQ的长； （3）设PQ与AB的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值． 22.在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H. （1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标； （2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标； （3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标. 23.在 中， ， .点D在边 上， 且 ， 交边 于点F，连接 . （1）特例发现：如图1，当 时，①求证： ；②推断： ▲ .； （2）探究证明：如图2，当 时，请探究 的度数是否为定值，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当 时，过点D作 的垂线，交 于点P，交 于点K，若 ，求 的长. 24.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F， 已知OB=8. （1）求证：四边形AEFD为菱形. （2）求四边形AEFD的面积. （3）若点P在x轴正半轴上(异于点D)，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P， Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由. 答案解析部分 一、单选题 1. A 考点：矩形的性质，比例线段，黄金分割，相似多边形的性质 解：A.所有矩形对应边的比不一定相等，所以不一定都是相似的，A符合题意； B.若线段a＝5cm ， b＝2cm ， 则a：b＝5：2，B不符合题意； C.若线段AB＝ cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC＝ cm，C不符合题意； D. ∵1：2=2：4，∴四条长度依次为lcm ， 2cm ， 2cm ， 4cm的线段是成比例线段，D不符合题意； 故答案为：A ． 分析：根据相似多边形的性质，矩形的性质，成比例线段，黄金分割判断即可． 2. B 考点：三角形三边关系，相似三角形的应用 解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边， 设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120）， 由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x、y有大于120cm， 当长60cm的木条与100cm的一边对应，则 ， 解得：x＝45，y＝72； 当长60cm的木条与120cm的一边对应，则 ， 解得：x＝37.5，y＝50. 答：有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段. 故答案为：B. 分析：分类讨论：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，设从120cm的一根上截下的两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），易得长60cm的木条不能与75cm的一边对应，所以当长60cm的木条与100cm的一边对应时有 ；当长60cm的木条与120cm的一边对应时有 ，然后分别利用比例的性质计算出两种情况下得x和y的值. 3. D 考点：位似变换 解：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且 ＝ .∴ ＝ ＝ .∴A′E＝  AD＝2，OE＝  OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,-2）. 方法二：∵点A（-3，6）且相似比为 ，∴点A的对应点A′的坐标是（-3× ，6× ），∴A′（－1,2）. ∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,-2）. 故答案为：D. 分析：方法一：分A点与其对应点在位似图形中心O的同侧和异侧，根据位似图形是特殊的相似，可得△ ABO∽△A′B′O，利用相似三角形对应边成比例，可求出A'E、OE的长，即得A′坐标, 方法二：平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心的位似图形的位似比为k,那么与原图上的点（x,y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx.ky）或（-kx,-ky）,据此解答即可. 4. A 考点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形 解：如图，连接CP并延长交AB于D,连接BP交AC于E，并延长到F,使EF=PE, ∵∠C=90°，AC=BC,AB=6, ∴AC=BC=3， 又∵P为△ABC的重心， ∴CD=AB=3.∠CDB=90° 在△AEF和△CEP中， ∵ ∴△AEF≌△CEP. ∴∠FAD=90°,CP=AF=3-DP. 又∵CD‖FA, ∴△BPD∽△BFA. ∴=. ∴=. ∴PD=1. 故答案为A. 分析：如图，根据三角形的重心是三条中线的交点，根据等腰直角三角形可知CD=3，可连接CP并延长交AB于D,则∠FAD=90°，连接BP交AC于E， 并延长到F,使EF=PE,然后可知△A，可得EF≌△CEP，∠FAD=90°,CP=AF=3-DP，因此可根据两角对应相等的两三角形相似，可得 △BPD∽△BFA.即可求出PD. 5. C 考点：比例的性质，一次函数图象、性质与系数的关系 解：当 时， ， ， 此时， ，经过第一、四、三象限； 当 时， ，此时， ， 此时， 经过第二、一、四象限． 综上所述， 一定经过第一、四象限， 故答案为：C． 分析：由于a+b+c的符号不能确定，分两种情况讨论①当a+b+c≠0时，利用等比性质求出k值；②当a+b+c=0时，可得b+c=-a，然后求出k值；分别得出一次函数解析式，由k的符号，判断出直线经过的象限即可. 6. D 考点：勾股定理，矩形的性质，平行线分线段成比例 解：在矩形ABCD中，AB=2，BC=3， ∴AC=BD= = = ， ∵EF∥AC∥HG，∴ ， ∵EH∥BD∥FG， ∴ ， ∴ =1， ∴EF+EH=AC= ， ∵EF∥HG，EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH的周长=2（EF+EH）= ． 故答案为：D. 分析：先利用勾股定理求出AC和BD，然后由平行线截线段成比例分别列式，两式联立，得出∴EF+EH=AC，可知EF和EH的长度之和，于是根据平行四边形的性质可得四边形EFGH的周长. 7. D 考点：相似三角形的性质 解：设小正方形的边长为x，根据图形可得： ∵ = ， ∴ = ， ∴ = ， ∴S1= S正方形ABCD ， ∴S1= x2 ， ∵ = ， ∴ = ， ∴S2= S正方形ABCD ，   ∴S2= x2 ， ∴S1：S2= x2： x2=4：9． 故选D. 分析：设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案． 8. A 考点：相似三角形的判定 解：①40°角为内角两个等腰三角形有2种情况， 一是顶角为40°的一个等腰三角形，二是底角为40°的一个等腰三角形，那么这两个三角形不相似，所以此结论不正确； ②高在内部时，顶角为30度，底角75度高在外部时，顶角的外角30度，底角15度．所以有2种情况：15度或75度，所以此结论不正确； ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可以是梯形，所以此结论不正确； ④∵一个等腰直角三角形的三边是a、b、c ， （a＞b=c）， ∴a为等腰直角三角形的斜边， ∴a2=2b2=2c2 ∴a2：b2：c2=2：1：1； ∴此结论正确； ⑤∵a2+b2+c2=10a+24b+26c-338，∴（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0， ∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，即a=5，b=12，c=13． ∵52+122=132 ， ∴△ABC是直角三角形．而不是等腰直角三角形． ∴此结论不正确； 因此命题正确的有1个． 故选A ． 分析：根据三角形的内角和定理，平行四边形的判定定理，相似三角形的判定定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，配方法的应用对5个结论逐一分析即可． 9. D 考点：反比例函数的图象，相似多边形的性质，相似三角形的判定 解：方法1、作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP；设P点坐标（n， ）， ∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴， ∴C（0，﹣4），G（﹣4，0）， ∴OC=OG， ∴∠OGC=∠OCG=45° ∵PB∥OG，PA∥OC， ∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°， ∴PA=PB， ∵P点坐标（n， ）， ∴OD=CQ=n， ∴AD=AQ+DQ=n+4； ∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4， ∴OC=DQ=4，GE=OE= OC= ； 同理可证：BG= BF= PD= ， ∴BE=BG+EG= + ； ∵∠AOB=135°， ∴∠OBE+∠OAE=45°， ∵∠DAO+∠OAE=45°， ∴∠DAO=∠OBE， ∵在△BOE和△AOD中， ， ∴△BOE∽△AOD； ∴ = ，即 = ； 整理得：nk+2n2=8n+2n2 ， 化简得：k=8； 故答案为：D． 方法2、如图1， 过B作BF⊥x轴于F，过点A作AD⊥y轴于D， ∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴， ∴C（0，﹣4），G（﹣4，0）， ∴OC=OG， ∴∠OGC=∠OCG=45° ∵PB∥OG，PA∥OC， ∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°， ∴PA=PB， ∵P点坐标（n， ）， ∴A（n，﹣n﹣4），B（﹣4﹣ ， ） ∴AD=AQ+DQ=n+4； ∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4， ∴OC=4， 当y=0时，x=﹣4． ∴OG=4， ∵∠AOB=135°， ∴∠BOG+∠AOC=45°， ∵直线AB的解析式为y=﹣x﹣4， ∴∠AGO=∠OCG=45°， ∴∠BGO=∠OCA，∠BOG+∠OBG=45°， ∴∠OBG=∠AOC， ∴△BOG∽△OAC， ∴ = ， ∴ = ， 在等腰Rt△BFG中，BG= BF= ， 在等腰Rt△ACD中，AC= AD= n， ∴ ， ∴k=8， 故答案为：D． 分析：求k可求出P的横纵坐标的积即可，设出P坐标（n,),可观察出一组相似三角形△BOG∽△OAC，可得出对应边成比例，用n,k的代数式表示出对应边，代入比例式，变为乘积式后即可求出k. 10. A 考点：三角形的面积，等腰三角形的性质，黄金分割 解：过点A作AF⊥BC， ∵AB=AC， ∴BF= BC=2， 在Rt ,AF= ， ∵D是边 的两个“黄金分割”点， ∴ 即 ， 解得CD= ， 同理BE= ， ∵CE=BC-BE=4-( -2)=6- ， ∴DE=CD-CE=4 -8， ∴S△ABC= = = ， 故答案为：A. 分析：作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到 中DE的长，利用三角形面积公式即可解题. 二、填空题 11.或 或12 考点：比例线段 解：设写出的线段为c， 若线段c是线段a，b的比例中项，则有c2=ab， ∵a=3，b=6， ∴c2=18， ∴c= ； 若线段a是线段c，b的比例中项，则有a2=bc， ∵a=3，b=6， ∴32=6c， 解得c= ； 若线段b是线段a，c的比例中项，则有b2=ac， ∵a=3，b=6， ∴62=3c， 解得c=12， ∴c= 或 或12， 故答案为： 或 或12. 分析：设写出的线段为c，分三种情况讨论：若线段c是线段a，b的比例中项；若线段a是线段c，b的比例中项；若线段b是线段a，c的比例中项，分别列出比例式，解方程取出c的值即可。 12. 4或9 考点：相似三角形的判定 解：当△ADP∽△ACB时，需有 ，∴ ，解得AP＝9.当△ADP∽△ABC时，需有 ，∴ ，解得AP＝4.∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似. 故答案为： 4或9 . 分析：此题需要分类讨论：①当△ADP∽△ACB时，需有 ， 根据比例式就可算出AP的长；②当△ADP∽△ABC时，需有 ， 根据比例式就可算出AP的长，综上所述即可得出答案. 13.3≤AP＜4 考点：相似三角形的判定 解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E， 则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB， 此时0＜AP＜4； 如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F， 则△APF∽△ABC， 此时0＜AP≤4； 如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G， 此时，△CPG∽△CBA， 当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4， ∴CP=1，AP=3， ∴此时，3≤AP＜4； 综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4． 故答案为：3≤AP＜4． 分析：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，得出△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0＜AP＜4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，根据两组角对应相等的两个三角形相似，得出△APF∽△ABC，此时0＜AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，根据相似三角形对应边成比例得出CB2=CP×CA，即22=CP×4，故CP=1，AP=3，此时，3≤AP＜4；综上所述即可得出答案。 14. 2或4或 考点：等腰三角形的性质，相似三角形的性质 解：如图， 当点D在线段AB上，DC=AD，且△BCD∽△BAC， 设CD=x，BD=y， ∴， 即得, 解得x=； 如图， 当点D在AB的延长线上，AC=AD=4，△DCB∽△DAC， 设CD=x，BD=y， ∴， 即得， 解得x=2，即得CD=2， 当AC=CD=4，△ACB∽△DCB， ∴CD的长为2或4或. 分析：分两种情况①当点D在线段AB上，DC=AD，且△BCD∽△BAC，②当点D在AB的延长线上，AC=AD=4，△DCB∽△DAC，当AC=CD=4，△ACB∽△DCB，利用相似三角形的性质分别求解即可. 15. 考点：相似多边形的性质 解：由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2 ， ∴B1B2＝ A1B1＝ ， ∴A2B2＝ A1B2＝B1B2＝ ， ∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2 ， ∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ， ∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ， ∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积＝ × ＝ ， 同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积＝（ ）3× ＝ ； 故答案为： . 分析：由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2 ， 进而得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，结合正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，即可得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积，以此类推，即可得到答案. 16. 考点：相似三角形的判定与性质 解：过B作BE⊥l1交于点E，作BF⊥l3交于点F，过点A作AN⊥l2交点点N，过点C作CM⊥l2交于点M，BE=m，BF=n，如图， 设AE=x，CF=y，则BN=x，BM=y， ∵BD=4，BE=m，BF=n， ∴DM=y-4，DN=4-x，CM=n，AN=m， ∵∠ABC=90°，且∠AEB=∠BFC=90°，∠CMD=∠AND=90°， ∴△AEB∽△BFC，△CMD∽△AND， ∴ ， ， 即 ， ， ∴mn=xy，y=10- x， 又∵ , ∴n= m， ∴m+n=m+ m= m， 要使m+n最大，则只要m最大， ∵mn= m2=xy=x（10- x）=- x2+10x， ∴对称轴x= 时，（- x2+10x）最大= ， ∴ m2= ， ∴m最大= ， ∴（m+n）最大= × = . 故答案为： . 分析：过B作BE⊥l1交于点E，作BF⊥l3交于点F，过点A作AN⊥l2交点点N，过点C作CM⊥l2交于点M，BE=m，BF=n，设AE=x，CF=y，则BN=x，BM=y，根据题意得DM=y-4，DN=4-x，CM=n，AN=m，再由相似三角形的判定和性质得 ， ，即mn=xy，y=10- x，由 得n= m，从而可得m+n= m，要使m+n最大，则只要m最大，由mn= m2=xy=x（10- x）=- x2+10x，从而可转化成二次函数的最值来做，根据二次函数的性质求得其最大值，即 m2= ，从而可得到m最大= ，从而可得m+n的最大值. 三、解答题 17.解答：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分） 设经过t秒时，△AMN与△ABC相似， 此时，AM=t ， CN=2t ， AN=12-2t（0≤t≤6）， ①当MN∥BC时，△AMN∽△ABC ， 则 ＝ ，即 ＝ ， 解得t=3； ②当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC ， 则 ＝ ，即 = ， 解得t=4.8； 故所求t的值为3秒或4.8秒． 考点：相似三角形的性质 分析：首先设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，可得AM=t ， CN=2t ， AN=12-2t（0≤t≤6），然后分别从当MN∥BC时，△AMN∽△ABC与当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案． 18.解：过G作GP∥BC，交AD于P，AE于Q， 则 = ， ∵BD= BC， ∴ = ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 同理可得：  = ， 即 = ， ∴ ， ∴ = ， ∴BH：HK：KG=52：32：7， 过F作FM∥BC，交AD于M，AE于N， 同理得：BI：IJ：JF=20：32：13， ∵S△ABC=1， ∴S△ABF= ，S△ABG= ， ∴S△AIJ= S△ABF= × = ， S△AHK= S△ABG= × = ， ∴S四边形KHIJ=S△AIJ﹣S△AHK ， = ﹣ ， = ． 考点：三角形的面积，比例的性质 分析：作平行线GP和FM，根据平行线分线段成比例定理列比例式得： ， = ，从而得：BH：HK：KG=52：32：7，BI：IJ：JF=20：32：13，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可以得出S△ABF= ，S△ABG= ，S△AIJ= S△ABF= × = ，S△AHK= S△ABG= × = ，作差可得S四边形KHIJ ． 19. （1）解：如图，点P为所作，P点坐标为（3，1） （2）解：如图，△A2B2C2为所作，C2的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）． 考点：位似变换，作图﹣位似变换 分析：（1）根据旋转的性质，根据三角形逆时针向左旋转90°即可写出对应的中心点坐标。 （2）根据位似比，C2的坐标在第一象限或第四象限，根据位似中心确定相关的对应点，描点连线即可。 20. （1）解：（1）作DH⊥AB于H，如图1， 易得四边形BCDH为矩形， ∴DH=BC=12，CD=BH， 在Rt△ADH中，AH= ， ∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7， ∴CD=7； （2）当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE， ∵∠AGE=∠DAB， ∴∠GAE=∠DAB， ∴G点与D点重合，即ED=EA， 作EM⊥AD于M，如图1，则AM= AD= ， ∵∠MAE=∠HAD， ∴Rt△AME∽Rt△AHD， ∴AE：AD=AM：AH，即AE：15= ：9，解得AE= ； 当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG， ∵∠AGE=∠DAB， 而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG， ∴∠GAE=∠ADG， ∴∠AEG=∠ADG， ∴AE=AD=15， 综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为 或15； （3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9， 在Rt△ADE中，DE= = ， ∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA， ∴△EAG∽△EDA， ∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x： ， ∴EG= ， ∴DG=DE﹣EG= ﹣ ， ∵DF∥AE， ∴△DGF∽△EGA， ∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（ ﹣ ）： ， ∴y= （9＜x＜ ）． 考点：勾股定理，相似三角形的判定 分析：（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，则DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长； （2）分类讨论：当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，则判断G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM= AD= ，通过证明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，可证明AE=AD=15，（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，先利用勾股定理表示出DE= ，再证明△EAG∽△EDA，则利用相似比可表示出EG= ，则可表示出DG，然后证明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系． 21. （1）解：如图1中， ∵CO⊥AB， ∴∠AOC=∠ACB=90°，∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACO， ∴ = ， ∵AB= = =13， ∴OA= = （2）解：如图2中，取BD中点F，CD中点Q，连接PF、QF， 则PF∥ED，FQ∥BC，PF⊥FQ，且PF= ED=1，FQ= BC=6， 在Rt△PFQ中，PQ= = = （3）解：如图3中，取AD中点G，连接GQ， ∵GQ∥AC，ED∥AC，PF∥ED， ∴PF∥GQ， ∴△PMF∽△QMG， ∴ = = ， ∵PM+QM= ， ∴PM= ，MQ= ， ∴|PM﹣QM|= 考点：平行线分线段成比例 分析：（1）由△ABC∽△ACO，得 = ，由此即可求出OA．（2）如图2中，取BD中点F，CD中点Q，连接PF、QF，在Rt△PFQ中，求出PF，QF即可解决问题．（3）如图3中，取AD中点G，连接GQ，由PF∥GQ，推出△PMF∽△QMG，推出 = = ，由PM+QM= ，可以求出PM，QM，即可解决问题． 22. （1）解：设抛物线的解析式为 ， ∵抛物线过点A(-3，0),B(1，0)，D(0，3)， ∴ ，解得，a=-1，b=-2，c=3， ∴抛物线解析式为 ，顶点C（-1,4）； （2）解：如图1，∵A(-3，0)，D(0，3), ∴直线AD的解析式为y=x+3， 设直线AD与CH交点为F，则点F的坐标为(-1，2) ∴CF=FH， 分别过点C、H作AD的平行线，与抛物线交于点E， 由平行间距离处处相等，平行线分线段成比例可知，△ADE与△ACD面积相等， ∴直线EC的解析式为y=x+5， 直线EH的解析式为y=x+1， 分别与抛物线解析式联立，得 ， ， 解得点E坐标为(-2，3)， ， ； （3）解：①若点P在对称轴左侧（如图2），只能是△CPQ∽△ACH，得∠PCQ=∠CAH， ∴ ， 分别过点C、P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，交点为M和N， 由△CQM∽△QPN， 得 =2， ∵∠MCQ=45°， 设CM=m，则MQ=m，PN=QN=2m，MN=3m， ∴P点坐标为(-m-1，4-3m)， 将点P坐标代入抛物线解析式，得 ， 解得m=3，或m=0(与点C重合，舍去) ∴P点坐标为(-4，-5)； ②若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH， ∴ ， 延长CD交x轴于M，∴M(3，0) 过点M作CM垂线，交CP延长线于点F，作FN x轴于点N， ∴ ， ∵∠MCH=45°，CH=MH=4 ∴MN=FN=2， ∴F点坐标为(5，2)， ∴直线CF的解析式为y= ， 联立抛物线解析式，得 ，解得点P坐标为( ， )， 综上所得，符合条件的P点坐标为(-4，-5)，( ， ). 考点：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质，相似三角形的判定，二次函数与一次函数的综合应用 分析：（1）将A（-3，0）、B（1，0）、D(0，3)，代入y=ax2+bx+3求出即可；(2)求出直线AD的解析式，分别过点C、H作AD的平行线，与抛物线交于点E，利用△ADE与△ACD面积相等，得出直线EC和直线EH的解析式，联立出方程组求解即可;(3) （3）分两种情况讨论：①点P在对称轴左侧；②点P在对称轴右侧. 23. （1）证明：① ②90° （2）证明： 为定值， 理由如下： 由（1）得：               （3）解： ， 设 则                           ， 解得：   考点：相似三角形的判定与性质 解：（1）②推断： 理由如下： 分析：（1）①利用已知条件证明 即可得到结论，②先证明 利用相似三角形的性质再证明 结合相似三角形的性质可得答案；（2）由（1）中②的解题思路可得结论；（3）设 则 利用等腰直角三角形的性质分别表示： 由 表示 再证明 利用相似三角形的性质建立方程求解 ，即可得到答案. 24. （1）证明：∵DF∥AE，EF∥AD， ∴四边形AEFD是平行四边形. ∵四边形ABOC是正方形， ∴OB＝OC＝AB＝AC，∠ACE＝∠ABD＝Rt∠. ∵点D，E是OB，OC的中点， ∴CE＝BD， ∴△ACE≌△ABD(SAS)， ∴AE＝AD， ∴□AEFD是菱形. （2）解：如图1，连结DE. ∵S△ABD＝ AB·BD＝ ， S△ODE＝ OD·OE＝ ， ∴S△AED＝S正方形ABOC－2 S△ABD－ S△ODE ＝64－2 －8＝24， ∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48. （3）解：由图1，连结AF与DE相交于点K，易得△ADK的两直角边之比为1:3. 1）当AP为菱形一边时，点Q在x轴上方，有图2、图3两种情况： 如图2，AG与PQ交于点H， ∵菱形PAQG∽菱形ADFE， ∴△APH的两直角边之比为1:3. 过点H作HN⊥x轴于点N，交AC于点M，设AM=t. ∵HN∥OQ，点H是PQ的中点， ∴点N是OP中点， ∴HN是△OPQ的中位线， ∴ON＝PN＝8－t. 又∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PNH＝∠AMH＝90°， ∴△HMA∽△PNH， ∴ ＝ ＝ ， ∴HN＝3AM＝3t， ∴MH＝MN－NH＝8－3t. ∵PN＝3MH， ∴8－t =3(8－3t)，解得t＝2. ∴OP＝2ON＝2(8－t)＝12， ∴点P的坐标为(12，0). 如图3，△APH的两直角边之比为1:3. 过点H作HI⊥y轴于点I，过点P作PN⊥x轴交IH于点N，延长BA交IN于点M. ∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠AMH＝∠PNH， ∴△AMH∽△HNP， ∴ ＝ ＝ ，设MH＝t， ∴PN＝3MH＝3t， ∴AM＝BM－AB＝3t－8， ∴HN＝3AM＝3(3t－8) ＝9t－24. 又∵HI是△OPQ的中位线， ∴OP＝2IH， ∴HI＝HN， ∴8＋t＝9t－24，解得 t＝4. ∴OP＝2HI＝2(8＋t)＝24， ∴点P的坐标为(24，0). 2）当AP为菱形一边时，点Q在x轴下方，有图4、图5两种情况： 如图4，△PQH的两直角边之比为1:3. 过点H作HM⊥y轴于点M，过点P作PN⊥HM于点N. ∵MH是△QAC的中位线， ∴HM＝ ＝4. 又∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠HMQ＝∠N， ∴△HPN∽△QHM， ∴ ＝ ＝ ，则PN＝ ＝ ， ∴OM＝ . 设HN＝t，则MQ＝3t. ∵MQ＝MC， ∴3t＝8－ ，解得t＝ . ∴OP＝MN＝4＋t＝ ， ∴点P的坐标为( ，0). 如图5，△PQH的两直角边之比为1:3. 过点H作HM⊥x轴于点M，交AC于点I，过点Q作NQ⊥HM于点N. ∵IH是△ACQ的中位线， ∴CQ＝2HI，NQ＝CI＝4. ∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PMH＝∠QNH， ∴△PMH∽△HNQ， ∴ ＝ ＝ ＝ ，则MH＝ NQ＝ . 设PM＝t，则HN＝3t， ∵HN＝HI， ∴3t＝8+ ，解得 t＝ . ∴OP＝OM－PM＝QN－PM＝4－t＝ ， ∴点P的坐标为( ，0).  3）当AP为菱形对角线时，有图6一种情况： 如图6，△PQH的两直角边之比为1:3. 过点H作HM⊥y轴于点M，交AB于点I，过点P作PN⊥HM于点N. ∵HI∥x轴，点H为AP的中点， ∴AI＝IB＝4，∴PN＝4. ∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PNH＝∠QMH＝90°， ∴△PNH∽△HMQ， ∴ ＝ ＝ ＝ ，则MH＝3PN＝12，HI＝MH－MI＝4. ∵HI是△ABP的中位线， ∴BP＝2HI＝8，即OP＝16， ∴点P的坐标为(16，0). 综上所述，点P的坐标为(12，0)，(24，0)，( ，0)，( ，0)，(16，0). 考点：坐标与图形性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质 分析：（1）根据两组对边分别平行可证四边形AEFD是平行四边形，利用正方形的性质可得OB＝OC＝AB＝AC，∠ACE＝∠ABD＝90°.根据线段中点的定义可得CE＝BD，根据“SAS”可证 △ACE≌△ABD ，可得AE=AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即证； （2）如图1，连结DE. 根据三角形的面积公式求出S△ABD＝  AB·BD＝,16， S△ODE＝  OD·OE=8，利用S△AED＝S正方形ABOC－2 S△ABD－ S△ODE =24，由S菱形AEFD＝2S△AED即可求出结论； （3）由图1，连结AF与DE相交于点K，易得△ADK的两直角边之比为1:3. 分两种情况讨论：①当AP为菱形一边时，点Q在x轴上方，有图2（△APH的两直角边之比为1:3）；图3(△APH的两直角边之比为1:3).两种情况；②当AP为菱形一边时，点Q在x轴下方，有图4( △PQH的两直角边之比为1:3 )、图5( △PQH的两直角边之比为1:3)两种情况；据此分别解答即可. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $