2026-2027学年高一上学期数学第一次月考自编模拟（二）（山东济南适用）

**基本信息** 以函数与不等式为核心，融合环保、天文等真实情境，通过基础巩固与综合应用的梯度设计，考查数学抽象、运算推理及模型构建能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、函数零点、不等式性质|基础概念辨析，如第3题结合不等式发展史考查性质判断| |多选题|3/18|星等亮度计算（对数应用）、命题真假判断|跨学科情境，如第9题用天文学公式考查指数对数运算| |填空题|3/15|函数零点、幂函数定义、不等式恒成立|分层设问，如第14题递进考查不等式与方程有解问题| |解答题|5/77|指数对数运算、环保成本分析（函数应用）、函数奇偶性单调性、梯形周长（几何应用）、基本不等式求最值|真实问题建模，如第16题以污水处理为情境考查函数最值；逻辑推理，如第19题结合条件式求代数式最小值|

山东省济南市2026-2027学年高一上学期数学第一次月考自编模拟卷2 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智书》一书中首先用“=”作为等号以后，后来英国数学家哈里奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．若，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 7．若，若，则m与n的大小关系是（　　） A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．m≥m 8．若方程的非整数根是函数的一个零点，则图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值.天体亮度越强，星等的数值越小，星等的数值越大，天体的亮度就越暗.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是，天狼星的星等是，南极星的星等是，则（    ） A．天狼星的星等大约是南极星星等的倍 B．太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是 C．天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是 D．天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是 10．命题“，使”是假命题，则实数m的取值可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．命题：“，”的否定为真命题的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数在区间上有两个零点，实数的取值范围为 ________. 13．已知是幂函数，则_____. 14．若不等式对一切实数x均成立，则实数m的取值范围为__________.若存在实数b，使得关于m的方程在上述范围有解，则实数b的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15（13分）．（1）用分数指数幂的形式表示． （2）计算：． （3）设，用表示． 16（15分）．习近平总书记一直十分重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题．某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴． (1)当时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？ (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 17（15分）．若是定义在上的偶函数，当时，. (1)求的解析式； (2)讨论在上的单调性，并用定义证明. 18（17分）．某学校计划在半径为2的半圆形广场规划一等腰梯形绿化，等腰梯形下底边为半圆直径，、在圆周上． (1)写出这个梯形周长与腰长的函数解析式，并求出它的定义域； (2)当所截梯形的周长最大时，用一条垂直于底边（垂足为）的直线从左至右移动（与梯形有公共点）时，直线把梯形分成两部分，若左边部分的面积为时，求的长． 19（17分）．已知a，b均为正数，且满足． (1)求的最小值及取到最小值时a与b的值； (2)求的最小值及取到最小值时a与b的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 山东省济南市2026-2027学年高一上学期数学第一次月考自编模拟卷2 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B C C A B AC CD 题号 11 答案 AB 1．C 【分析】先判断函数的单调性，再利用零点存在定理即可确定零点所在区间. 【详解】由可知，该函数在上减函数， 又，而， 由,利用零点存在定理，可得函数的零点所在区间是. 故选：C. 2．A 【分析】根据集合交集的概念和运算，求得. 【详解】依题意， 故选：A 3．C 【分析】根据不等式性质结合作差法分析判断. 【详解】对A：∵，则，且 ∴，则，即，A正确； 对B：∵，且 ∴，B正确； 对C： ∵，则 ∴，则，C错误； 对D：∵，则 又∵，则 ∴，D正确； 故选：C. 4．B 【分析】首先根据，判断出二次函数的对称轴，然后再根据二次函数的单调性即可得出答案. 【详解】因为，所以二次函数的对称轴为， 又因为，所以， 又，所以. 故选：B. 5．C 【分析】根据已知条件利用基本不等式分析判断即可 【详解】因为，，且， 所以，所以，当且仅当时取等号，所以B错误， 所以由，得，所以，当且仅当时取等号，所以C正确， 所以，当且仅当时取等号，所以A错误， 由，，且，得，当且仅当时取等号，所以D错误， 故选：C 6．C 【分析】根据新定义求出集合，再根据补集的运算即可求出. 【详解】因为，，所以，． 故选：C． 7．A 【分析】利用作差法分析判断. 【详解】由题意可得：， ∵，则， ∴，即， 故选：A. 8．B 【分析】先求方程的非整数根，代入函数即可求得，最后验证和即可求解. 【详解】由有，得或（舍去）， 所以， 即，所以， 所以，所以函数图象的对称中心为， ， 故选：B. 9．AC 【分析】根据题意，利用对数与指数的关系式即可求解，判断各选项的正误. 【详解】解：设太阳的星等与亮度为、，天狼星的星等与亮度为、，南极星的星等与亮度为、，由题意可知，，， 对于A，，则A选项正确； 对于B，由得，， 所以，即太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是，则B选项错误； 对于C，由得，， 所以，即天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是，则C选项正确； 对于D，由得，， 所以，即天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是，则D选项错误； 故选：AC. 10．CD 【分析】由题可得，使是真命题，然后分类讨论结合二次不等式的解法即得. 【详解】若，使是假命题， 则，使是真命题， 当时，转化，不合题意； 当时，则，解得，综上，.故选：CD. 11．AB 【分析】先求出命题的否定，再判断取值范围即可得出结果. 【详解】命题：“，”的否定为“，”， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，综上，，故选：AB 12． 【分析】先换元对原函数进行化简，然后根据对勾函数的性质判断单调性和最值，进而求出结果. 【详解】令，因为，所以， 则有方程在内有2个根，即在内有2个解， 即直线与函数的图象在内有2个交点， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 所以. 故答案为：. 13．-3 【分析】根据幂函数的定义列出等式求解即可. 【详解】由题意知，即，解得，此时. 故答案为：-3. 14． 【分析】①由条件转化为不等式恒成立，运用分类讨论思想及一元二次不等式恒成立条件可求出m的范围；②由条件转化为方程有解，求b的范围即转化为函数的值域，运用分离常数法及对勾函数的单调性即可得结果. 【详解】由条件可知即为不等式恒成立， 当时不等式显然恒成立； 当时，由一元二次不等式恒成立可得， 即，，综上可知：m的取值范围为； 因为，可知，依题意，方程有解， 即方程有解， 所以求b的范围即转化为求函数的值域， ， 令，， 又对勾函数在上为增函数，且，， ，即，所以b的取值范围为， 故答案为：；. 15．（1）；（2）13；（3）． 【分析】（1）应用分数指数幂及根式转化化简； （2）应用指数运算律及对数运算律化简求值； （3）应用换底公式及对数运算律化简. 【详解】（1）． （2）原式． （3）． 16．(1)不会，政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损 (2)400吨 【分析】（1）当时，由项目获利为求解； （2）由生活垃圾每吨的平均处理成本求解. 【详解】（1）解：当时，该项目获利为S， 则， ∴当时，， 因此，该项目不会获利，当时，S取得最大值， 所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损； （2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为： ， 当时，， 所以当时，取得最小值240； 当时， ， 当且仅当，即时，取得最小值200， 因为， 所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 17．(1) (2)在区间上单调递增，证明如下， 由（1）知，当时，， 任取，且， 则， 因为，且，所以，得到，即， 所以在区间上单调递增. 【分析】（1）设，得到，根据条件，采用代入法即可得到的解析式，从而求出结果； （2）直接利用定义法即可证明. 【详解】（1）设，则，又当时，， 所以，又是定义在上的偶函数， 所以，故的解析式为. 18．(1)，(2) 【分析】（1）过作于，圆心为，连接，设，由勾股定理得，进而求解即可； （2）令，表示出梯形左边部分的面积列出方程求解即可． 【详解】（1）如图，过作于，圆心为，连接， 设，则，由， 得，整理得， 则，所以， 由于，，所以． 故所求函数为，. （2）由（1）知，，， 则当时，取得最大值， 此时，，，， 则等腰梯形的底角为，面积为， 令，则时，，解得（舍去）； 当时，，解得； 当时，， 解得（舍去）或（舍去）. 综上所述，.    19．(1)当时，所求最小值为16 (2)当时，所求最小值为9 【分析】(1)由基本不等式可得，结合条件列不等式可求的最小值；(2)化简，利用基本不等式可求其最小值. 【详解】（1）∵，，∴，由已知得， ∴，，， ∵，∴，解得：， 当且仅当即时等号成立， 所以当时，取最小值，最小值为16． （2）由已知得 ， ∵，，∴，∴， 当且仅当即时等号成立， 所以当，时，取最小值，最小值为9． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $