精品解析：山东省实验中学2025-2026学年高一上学期第一次诊断性考试数学试题

山东省实验中学2025~2026学年上学期第一次诊断性考试 高一数学试题 2025.12 注意事项： 1.答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举法表示出集合B，再由集合的交运算求即可. 【详解】由题设，， ∴. 故选：C 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由集合的包含关系结合充分必要条件的定义判断. 【详解】可化为，即， 因为，所以不等式的解集为 因为是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 若a、b是任意实数，且a > b，则下列不等式一定成立的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当时， ， ,,再根据指数函数单调性得D成立，选D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数解析式，由此可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为，且， 因此，函数的图象为选项D中的图象. 故选：D. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据诱导公式对条件和所求式子化简，再根据齐次化为切直接计算可得结果. 【详解】由诱导公式得，所以. 再由诱导公式， 所以 . 故选：B. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且以2为周期，当时，，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得：，代入中计算即可得到答案． 【详解】由于； 因为函数是定义在上的奇函数，且以2为周期； 所以 又因为，所以； 故答案选A 【点睛】本题主要考查函数的有关性质，奇偶性、周期性，以及对数的有关运算，属于基础题． 7. 设均为正数，且，，．则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，， 的图象， 与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出． 考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用． 【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解． 【详解】 8. 对于二次函数，若函数有4个零点，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，由至多有2个根，则的根至多有4个，利用二次函数的图象即可求解. 【详解】令，，由至多有2个根，则的根至多有4个， 故有4个根，所以有两个根，且和各产生2个根， 从而，结合二次函数图象可知，必有， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是第四象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由是第四象限角，确定，的范围，再进一步确定，即可判断各选项. 【详解】是第四象限角，则，， 则，， 故A，C，D正确，B错误. 故选：ACD. 10. 已知，，且，则下列不等式正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意构造函数，结合函数单调性可得，再利用指数函数单调性可判断A、C；举出反例可得B；结合对数函数定义域可得D. 【详解】由，则， 令，则有， 又在上单调递增，则； 对A：由在上单调递减，故，故A正确； 对B：取，，则，，此时，故B错误； 对C：由在上单调递增，故，故C正确； 对D：由、可取负数，故、不一定有意义，故D错误. 故选：AC. 11. 已知，若关于x的方程有两个不等实根，，则（ ） A. 的取值范围是 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，则关于的方程有两个不等实根、，从而可得或 ，则可得与有关不等式组，即可得A；由、，则，，结合的范围 可得B；结合B中所得，对平方并计算可得C、D. 【详解】令，则关于的方程有两个不等正实根、； 对A：有，即或，则， 解得，故的取值范围是，故A错误； 对B：由、，则，， 故， 由，则，故， 故，故B正确； 对C、D：， 由B知，，故，又， 故，故，，故C、D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数式，对数式运算性质化简计算即可. 【详解】原式 故答案为： 13. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】将两边平方，利用同角三角函数的平方关系和商数关系化简，可得． 【详解】将两边平方可得： 即 即，故，解得 故答案为： 【点睛】本题考查同角三角函数间的平方关系和商数关系，考查学生计算能力，属于中档题． 14. 设函数，若存在唯一的，使对任意都成立，则a的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据分段函数的特征分，，三种情况，前两种情况可直接判断，对再分，，三种情况讨论并结合数形结合可得结果. 【详解】因为存在唯一的，使对任意都成立，所以函数有最小值且有唯一的最小值点. 当时，是一次函数. （1）若，在单调递增，无最小值，且当时，，不符合题意； （2）若时，当时，，当时，单调递增，， 所以函数在定义域内有最小值为0，但最小值点不唯一，故不符合题意； （3）若时，当时，单调递减，所以.当时，， ①若时，函数在上单调递减，在单调递增，要使函数有唯一最小值点， 所以，，解得或， 所以，此时函数在处取得最小值0.如图： ②若时，函数在上单调递增，要使函数有唯一的最小值点， 所以，，解得或， 所以，此时函数在处取得最小值.如图： ③若时，此时由，函数无最小值，如图： 综上所述，a的取值范围为或，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知一个扇形的周长是40， （1）若扇形的面积为75，求扇形的圆心角； （2）求扇形面积S的最大值. 【答案】（1）扇形的圆心角为或 （2） 【解析】 【分析】（1）设扇形的半径为，扇形的弧长为，由题意可得，进而求解可得扇形的圆心角； （2）设扇形的半径为，扇形的弧长为，，利用基本不等式可求得扇形面积S的最大值. 【小问1详解】 设扇形的半径为，扇形的弧长为， 由题意可得，所以， 所以，所以， 所以，解得或. 当时，，扇形的圆心角为； 当时，，扇形的圆心角为； 综上所述：扇形的圆心角为或； 【小问2详解】 设扇形的半径为，扇形的弧长为， 由题意可得，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以扇形面积S的最大值为. 16. 记关于x的不等式的解集为P，不等式的解集为Q． （1）若a＝－3，求集合P； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合二次不等式的求解求出P， （2）结合绝对值不等式的求解求出Q，然后结合集合之间的包含关系即可求解． 【小问1详解】 当时，原不等式可转化为，解得， . 【小问2详解】 由可得，即解集为， 当时，，满足题意； 当时，，，； 当时，，，； 综上，a的范围． 17. 2021年中国载人航天工程相继发射了第十二、第十三艘飞船，与空间站完成对接，进入太空站完成任务。在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为． （1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度； （2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加．求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值. 参考数据：，. 【答案】（1） （2）74 【解析】 【分析】（1）代入公式中直接代入计算即可. （2）根据题意列出不等式求解，即可得出答案. 【小问1详解】 由题意总质比，，代入公式， 即. 所以，当总质比为200时， A型火箭的最大速度为. 【小问2详解】 经过材料更新和技术改进后，A型火箭得喷流相对速度为，总质比为. 要使得速度至少增加到，则需， 化简得， 所以， 由的单调性易得，即， 因为，所以. 所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74. 18. 已知是定义域为的奇函数．当时，. （1）求函数的解析式； （2）当时，设函数，求在上的最大值与最小值； （3）设，当时，的取值范围为，求实数a，b的值. 【答案】（1） （2）最大值5，最小值4； （3）， 【解析】 【分析】（1）当时，，由可得时的解析式，进而得到结果； （2）设，化简得到；分别在和的情况下，由的正负得到函数单调性，进而可求解； （3）分别在、和的情况下，根据的单调性确定最值点，结合最值求得的值. 【小问1详解】 当时，，； 为定义在上的奇函数，当时，； 综上所述：. 【小问2详解】 由题意得：； 设， 则； 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 又， 所以在上的最大值5与最小值4； 【小问3详解】 当时，， ①当时，在上单调递增，， ，即，，不合题意； ②当时，在上单调递减，， 即为方程在上的两根， 由得：， 解得：，，，则，； ③当时，在上单调递增，在上单调递减， ，解得：，不合题意； 综上所述：，. 19. 函数被称为小数距离函数，它的定义是指x与距离它自己最近的整数的距离，比如：是指2.7与距离它最近的整数3之间的距离，我们可以写成. （1）已知非负实数a，b满足，分别写出与的最小值和最大值. （2）已知，且在区间上有2025个解，求a的所有可能取值. （3）已知x为正实数，求的最大可能值. 【答案】（1）的最小值为0，最大值为1；的最小值为0，最大值为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对于，讨论即可；对于，讨论即可； （2）画图得出的对称性、周期性等，进而得出的性质，结合图像分析交点个数即可； （3）结合（2）画出图像，分析得出总在图像，即，求出其交点的最大值即可. 【小问1详解】 ①不妨设，则， 则，最小值为0，最大值为1； 当时，，， 单调递增，， 当时，， ， ，在单调递减， ，， 所以的最小值为0，最大值为. 【小问2详解】 ，， 作出图像如图，可得为偶函数，周期为1，最大值为， 则图像如图，同样为偶函数，周期为， 在第一象限与交点如图， 若与的个周期，各有两个交点，且与个周期无交点时， 则与共有个交点， 当时，共有个交点， 当时，共有个交点，如图， 则要使且在区间上有2025个解，只能恰与有1个交点，即，. 【小问3详解】 由（2）得，周期为， 如图，总在最下方的图像，即， 当时，， 令，得， 即最大为， 当时取得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学2025~2026学年上学期第一次诊断性考试 高一数学试题 2025.12 注意事项： 1.答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若a、b是任意实数，且a > b，则下列不等式一定成立的是（ ）. A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且以2为周期，当时，，则的值为 A. B. C. D. 7. 设均为正数，且，，．则（　　） A. B. C. D. 8. 对于二次函数，若函数有4个零点，则有（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是第四象限角，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，且，则下列不等式正确的为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，若关于x的方程有两个不等实根，，则（ ） A. 的取值范围是 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________. 13. 若，则______. 14. 设函数，若存在唯一的，使对任意都成立，则a的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知一个扇形的周长是40， （1）若扇形的面积为75，求扇形的圆心角； （2）求扇形面积S的最大值. 16. 记关于x的不等式的解集为P，不等式的解集为Q． （1）若a＝－3，求集合P； （2）若，求a的取值范围． 17. 2021年中国载人航天工程相继发射了第十二、第十三艘飞船，与空间站完成对接，进入太空站完成任务。在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为． （1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度； （2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加．求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值. 参考数据：，. 18. 已知是定义域为的奇函数．当时，. （1）求函数的解析式； （2）当时，设函数，求在上的最大值与最小值； （3）设，当时，的取值范围为，求实数a，b的值. 19. 函数被称为小数距离函数，它的定义是指x与距离它自己最近的整数的距离，比如：是指2.7与距离它最近的整数3之间的距离，我们可以写成. （1）已知非负实数a，b满足，分别写出与的最小值和最大值. （2）已知，且在区间上有2025个解，求a的所有可能取值. （3）已知x为正实数，求的最大可能值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $