四川成都市树德中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

高2024级高三上期数学开学考试 一、单选题 1.从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第一次抽 到A牌，第二次抽到A牌的概率（) A司 B方 C. D.以上都不对 2.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(1,3,k),若a,b,c三向量共面，则实数k的值为（) A.1 B.2 C.3 D.4 3.在正项数列{a,}中，设甲：an=ana,乙：{a,}是等比数列，则甲是乙的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.现有12道四选一的单选题，学生甲对其中的9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做 对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.学生甲从这12道题中 随机选择1题，他做对的概率为（) A.0.225 B.0.4125 C.0.7375 D.0.8325 5.设0<a<1.随机变量X的分布列是 X 0 Q 1 3 3 3 则当a在(0,1)内增大时，() A.D(X)增大 B.D(X)减小 C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大 6.某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似 看成是一个圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图2所示（图中数 2 据单位为cm),则该玻璃杯所用玻璃的体积（单位：cm)为（) A.43 B.47mc.51mD.5 图 6 6 6 7.已知Sn是等差数列(an}的前n项和，若a1+a1=12,则aS6的最小值为() A.-36 B.-27 C.0 D.21 试卷第1页， CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描Ap印 8.过双曲线E:号-片=1(@>0,6>0)的左焦点F作x+y=a2的一条切线，设切点为刀该切线与 双曲线E在第一象限交于点A,若FA=3厅，则双曲线E的离心率为() A.5 B.5 C.vi3 D.5 2 2 二、多选题 9.设正项数列{a,}的前n项和为S,·若4=2+。=2，neN,则（) A4 31 B. a-22”-(-1明 91 C.当n≥4且n为偶数时，a1+a,<22 D.S202>2 10.直线y=a-k过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点且与该抛物线交于M,N两点，设O为坐标原 点，则下列说法中正确的是() A.p=1 B. 抛物线E的准线方程是x=-1 C.以MN为直径的圆与定直线相切 D.∠MON的大小为定值 11.已知实数a,b满足ae°=bnb=3,则（) A.a=Inb B.ab=e C.b-a<e-1 D.e+1<a+b<4 三、填空题 12.(x+1)1-2x)3的展开式中含x项的系数为 13.若直线1与圆C:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=4都相切，切点分别为A、B,则 AB= 14.甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲 手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留：当球在乙手中时， 若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙：当球在丙手中时，若骰子 点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙，初始时，球在甲手中，投掷 次骰子后（neN),记球在甲手中的概率为P,则P=一：Pn=一 1页，共2页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 四、解答题 15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD满足AB=CB=√2，AD=CD=√5，∠ABC=90, 棱PD上的点E满足PE=2DE, (I)证明：直线CE∥平面PAB: (2)若PB=√5，PD=25,且PA=PC,求直线CE与平面PBC所成角的正弦值， 16.已知{口n}的首项为整数，其奇数项依次成公差为2的等差数列，偶数项依次成公差为3的等差数 列.记Sn为数列{an}的前n项和，{b}是等比数列，b=a,b=a2,T是{}的前n项和，S=6, T=7. (1)求{b}的通项公式： (2)求满足Sn+T>1000的n的最小值 17.已知平面内一动圆过点P(2,0),且该圆被y轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程： (2)梯形ABCD的四个顶点均在曲线E上，AB/CD,对角线AC与BD交于点T(2,1) (i)求直线AB的斜率： (i)证明：直线AD与BC交于定点， CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 18.已知函数f(x)=血(x+1) (1)求曲线y=∫(x)过点(-1,0)的切线方程： (2)若g(x)=x2+x+1-a) (i)当a=3时，求g(x)的极值； (i)若g(x)>cosx恒成立，求实数a. 19,某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛 者均需要回答3个题目，可以从6个A组题目和若干个B组题目中，共选择3个题目作答.A 组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得a(a>0)分，不能正确回答的题目 均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B 组题目每个正确回答的概率均为}，且能否正确回答A组和日组题目互不影响 (1)已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目 的数量的策略； (2)记小王总得分为X· ()若选择的3个题目均为A组题目，求X的分布列及数学期望E(X): (ⅱ)试确定a,使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分X保持 期望稳定，并说明理由.（参考公式：E(X+X2)=E(X)+E(X),其中XX2为随机变量） 售2页，共2页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 高2024级高三上期数学开学考试参考答案 愿号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A A 0 B C ABC BC AD 12.-40 13.5 14. 24 15.【详解】(1)解：由愿意得：连接BD,过C做CF∥AB,交BD于T点，如图所示： AB=CB=√2，AD=CD=V5,BD=DB∴△ABD=ABCD又∠ABC=90 .∠ABD=∠CBD=45∠ABC=∠BCF=90'.BT=V2BC=2 在△BCD中，co9∠CBD=c0945=BC+BD2-CD22+BD25.5解得：BD=3 2BD.BC 22BD 2 PE=2DE TD DF DE 1 BDAD=DPEF∥AP EFc平面CEF,AP文平面CEF,EF∥AP,CFc平面CEF,AB平面CEF,CF∥AB ∴，AP∥平面CEF,AB∥平面CEF,又AP、AB相交于点A ∴.平面CEF∥平面ABD:CBc平面CEF·直线CE∥平面PAB一6分 (2)连接AC交BD于O点，在△POB和APOD中，由cos∠POB=-cos∠POD可得 PO+BO-PB2 PO+DO2 -PD D,即P0+1-5_P0+4-8 2P0.B0 2P0.D0 2P0 4P0 解得：P0=2,满足P02+B02=PB2,所以P0⊥BD,又：PA=PC P0⊥AC,又有AC交BD于O点，所以PO⊥平面ABCD,满足PO,CO,DO两两垂直，故以O为原点，OC, OD,OP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(00,2),B(0,-l,0),C0,0,0),P(0,了月， 42、 于是有BP=(01,2),CP=(-1,0,2) 设平面PBC的法向量为n=(y,z),由 C.i=0y+2z=0 Bp.=0 {-x+2z=0取万=(2，-2，) 8 2 又巫=l, .CE -2 故所求角的正弦值为cos<CE,n> 33 4V29 园 30 20 9 所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值为4W四 -13分 29 16.【详解】(1)因为S,=6,故a1+a2+4=6,故2a,+a2+2=6即2a+a=4, 而买=7，散4+鸡+6=6，故a+ag+g%=7,而24+马=4即为24+ag=4,敢2与+99）-7，放g=2取 试卷第1页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp g=-各，当g=时，4=9不合圆，含：放g=2,此时4=1，故6=2，—6分 (2)由(1)得b,=2，T. 1xl-2-2-1, 1-2 n,n=2k-1 所以an= 6kew,-- 2k-1m=2水-1keN,即a,=3 2n-ln=2kk∈N, 当a为偶数时，及=a+%++6小+a+a+中a）.+a=2+受-到 5n2+2n, 4 4 8 令2”-1+5m+2m2100,因为2-1+5x82+2x8-297<1000,2°-1+5x102+2x10=1088>1000: 8 8 8 当为商数时，又=8-8m5tf2+出1-，令2-14护生10. 8 2 8 因为2-14g+3-502<10o0,2-1+51+,207>100,又因为间)-2-14g26=2k女eN)和 8 8 8间=2”-1+36=2水-keN)均单调造地，故n的最小值为10 一15分 17.【详解】(1)设圆心为2(x),由题意可得：V+22=x-2'+y2，整理可得y2=4x, 所以曲线E的方程为y2=4x. -4分 VA 一4x (2)(1)由题意可知：直线AB的斜率不为0，设AB:x=my+n(m≠0)，A(,),B(x,y2),C(名，为)，D(x4,), 程，消去x可得少=4网-4n=0,则△=16m+16n>0,可得+么=4m丛三-4n, 联立方程 可腿4c-,-:同八收义0. y2=4x y-1 y-1 由题意可知：为+以经二2，即为-名二8- 4-1 且，可得%货%黄得% y-1y二8 4-1 腰可：%品如学学 4 44 另-1为-12%-9(4+h)+162n+9m-4 答案第2页，共4页 CS扫描全能王 合壁3亿人都在用的扫描App 因为MB1CD,则ku=kao,即L=物+4m-二 m2n+9m-4' 整理可得(2m-1)(m+n-2)=0, 由题意可知：点T(2,1)不在直线AB:x=my+n上，则m+n≠2，即m+n-2≠0， 可得2m-1=0,即m=子所以直线AB的斜率ku=士=2：一 1 一10分 m ()由)可知：为+为=2，则B的中点M(a,,又因为k@m=+y=2,即⅓+%=2，则CD的中点N(6,, 即直线MN:y=1,由梯形的性质可知：直线AD与BC的交点即为直线AD与MW的交点， 因为直线D的斜率知=二出=当-当 4 名-元星立+少，则直线D:x=4中0-)+名， 4 44 令y1可得x=-)+4+以-必.+出二3：8》 4 为-1为-.0+⅓)小-64-8-146彤8-3 4 4(y2-1) 2， 4(21) 即直钱D与直线W的交点为过多，所以直线A0与8C交于定点（别 -15分 18【详解】()设切点为化，6+训，则/<)，故切线方程为y中-4，+0， 将L0代入可得0--+(%0，解得名=c-1,故切线方程为y=-6+0+1,即x-y+1-0,一4分 （2)(i)当a=3时，g(x)=X+x-3(x+1)+1. g因的定义辣为(+，且8=2x+1品2兰-色匹-49，令8-0得，x=吃方我x=2(合去， x+1 x+1 所以当-1<x<分时，go<0,西数6（在(-》上单调道减当x>时，g倒>0，函数8倒在行上单调递 增：放函数8因的极小值为©日)-子-3加号，无授大值。 10分 （i）令6-g侧-oa产+-lr+0-c0x+1，x>-l,所以o)=2x+1-x中tǜx 由当xe(-1,∞)时，g(x)≥cosx恒成立，得/xG(-l,+o),G(x)20恒成立， 而G(0)=0,所以G(0)是函数G(x)的最小值. ①当as0时，ze(-1,0),G因=2x+1-x中+血x≥2+1+x 令p(x)=sinx-x,-1<x<0,所以当-1<x<0时，p'(x)=co8x-1<0, 所以p(x)在(-l,0)上单调递减，则当-1<x<0时，p()>p(0)=0,故当-1<x<0时，si血x>x, 则zaL0,G因=2x1-台m2x+血x为xH:所以ze(兮0，G因=2x1-由3*l0, 则c在(0上单词递增，则当-x<0时，G)<G回=0，不符合愿意。 ②当a>0时，令因=0因=2x+1-x本+，x-l, ++疗+osx>0,则(=G)在(-1，+o)上单调递增： 所以N()=2+a 又当x→-1时，h)→0，当x→∞时，h(x)→∞，所以存在唯一e(-l,∞)，使得(6)=G()=0: 试卷第3页，共4页 CS扫描全能王 同壁3亿人都在用的扫描APp 所以当-1<x<时，G(x)<0,函数G(x)在(-1，x)上单调递减：当x>名时，G()>0,函数G(x)在(o,+∞)上单调 递增，故函数G(x)==G()=G(0),则G(0)=1-a=0,所以a=1.综上，得a=1. 一17分 19.【详解】(1)小王两组题目均有选择的方案有两种，1个A组题目和2个B组题目，2个A组题目和1个B组题目， 分别记两种表况下小王至少答对1个题目的概率为R,乃，R=1- =1- 1×4. 27 月1--》1言号岩因为碧说器器·所以月<月， 以至少答对1个题目的概率为依据，小王应选择2个A组愿目和1个B组愿目的策略.一5分 (2)记小王所选题目中A组题目得分为X1,B组题目得分为X,,X=X+X2, (1)由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为X1=10,20,30, 则PX=0=等K-刘-器-号P化=0=器-号 故X的分布列为： X 10 20 30 放E(X)=B(K,)=10x片寸20x子30x号20 一11分 ()设小王选择的3个题目中A组题目数量为x,B组题目数量为3-x,其中x=0,12,3, 则品队超几有分有，兰--动备)号（名1宁 0=K+X-(X+x)=+-引a+0 3 当a=20时，E(X)的值与a无关， 即当a=20时，无论小王如何调整小、B组题目数量，其总得分X的期望均为20分. -17分 答案第4页，共4页 CS扫描全能王 始链3亿人都在用的扫描AP印