2026-2027学年高一上学期数学第一次月考自编模拟（一）（山东济南适用）

**基本信息** 聚焦高一上学期数学核心知识，以制冷杯降温、成本利润等现实情境为载体，通过函数性质、不等式应用等问题设计，考查抽象能力与应用意识，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式比较、命题否定、函数单调性|第3题结合复合函数单调性，考查逻辑推理| |多选题|3/18|函数图像变换、高斯函数|第10题引入高斯函数，培养数学抽象| |填空题|3/15|指对比较、基本不等式|第13题用“1”的代换求最值，强化运算能力| |解答题|5/77|函数图像、奇偶性、应用问题|第18题以极端高温为背景，通过牛顿冷却定律与成本利润分析，发展模型观念与数据意识|

山东省济南市2026-2027学年高一上学期数学第一次月考自编模拟卷1 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各组不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知命题，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．下列条件中，使得“”成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．已知，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 8．已知函数，若方程有3个根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．下列命题正确的是（    ） A．的图像是由的图像向左平移一个单位长度得到的 B．的图像是由的图像向上平移一个单位长度得到的 C．函数的图像与函数的图像关于轴对称 D．的图像是由的图像向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的 10．高斯是历史上最有影响力的数学家之一，享有“数学王子”的美誉，高斯函数表示不超过x的最大整数，如，则（    ） A． B． C． D．对任意 11．已知，则的取值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．比较大小：__________填”或“ 13．已知正数a，b满足，则的最小值为________． 14．______．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15（13分）．化简或计算： (1) (2) 16（15分）．已知函数．    (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出的大致图象，并写出的单调区间； (2)若函数的图象与轴有两个不同的交点，求实数的取值范围． 17（15分）．已知函数 (1)判断的奇偶性并证明； (2)解方程. 18（17分）．据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．该制冷杯根据物体的降温遵循牛顿冷却定律，即如果某液体的初始温度为（单位：），那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为参数.为模拟观察制冷杯的降温效果，现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，20分钟后咖啡降温到. (1)若欲将这杯速溶咖啡继续降温至，大约还需要多少分钟？（参考数据：） (2)某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成本（与生产产品的数量无关）：40万元；②生产所需材料成本：万元，（单位：万套）为每月生产产品的套数. ①该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？一万套的最低成本为多少？ ②若每月生产万套产品，每万套售价为万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于1040万元？ 19（17分）．已知函数. (1)当时，若，求及的取值范围； (2)当时，解不等式. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 2026-2027学年高一上学期数学第一次月考自编模拟卷1 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B C D C A C BCD ACD 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】根据指数函数的单调性即可比较B,C,D,由中间值法可求解A. 【详解】对于A,由于 ，，故,故正确， 对于B,由于为单调递减函数，所以 ，故错误， 对于C，由于为单调递增函数，所以，故错误， 对于D，由于为单调递增函数，所以，故错误, 故选：A 2．A 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题为全称量词命题， 其否定为：. 故选：A 3．B 【分析】由对数型复合函数的单调性，二次函数的对称轴，以及真数大于0求解． 【详解】由题意，解得， 故选：B． 4．C 【分析】根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，再分，和三种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系即可得解. 【详解】由，得或， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 当时，，符合题意； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 5．D 【分析】逐个判断是否为的充分不必要条件即可. 【详解】对于A：当时满足，此时不满足，所以A错误； 对于B：当时满足，此时不满足，所以B错误； 对于C：当时满足，此时不满足，所以C错误； 对于D：，所以是的充分不必要条件， 故选：D 6．C 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，计算可得出，然后分情况解不等式，即可得出原不等式的解集. 【详解】对任意的，且，都有不等式， 不妨设，则， 令，则，即函数在上为增函数， 因为函数的定义域上是奇函数，即， 则，所以偶函数， 所以函数在上为增函数，在上为减函数， 因为，则， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 当时，即时， 由可得， 则，解得， 综上：不等式的解集是. 故选：C. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性； （2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集. 7．A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：A 8．C 【分析】方程有3个根，即函数的图像与直线有3个不同的交点，作出函数图像，数形结合即可得出答案. 【详解】方程有3个根，即函数的图像与直线有3个不同的交点. 作出函数的图像，如图 根据图像可得，当时，函数的图像与直线有3个不同的交点 所以当时，方程有3个根 故选：C 9．BCD 【分析】由函数的平移法则和对称性可直接判断A，B，C选项，采用分离常数法化简函数，再结合函数平移法则可判断D选项. 【详解】的图像是由的图像向右平移一个单位长度得到的，故A项错误； 的图像是由的图像向上平移一个单位长度得到的，故B项正确； 函数的图像与函数的图像关于轴对称，故C项正确； ，故的图像是由的图像向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的，故D项正确. 故选：BCD 10．ACD 【分析】令，则，则，代入ACD分析，即可判断，令，可判断B. 【详解】令，则，且， 选项A，，正确； 选项B，令，则，错误； 选项C，，正确； 选项D，，正确. 故选：ACD 11．BCD 【分析】利用拼凑法变形，再利用基本不等式求出最小值，即可得出答案. 【详解】，当且仅当, 即时等号成立，则的最小值为. 故选：. 12． 【分析】由于，所以比较两分母的大小即可 【详解】因为，且， 所以 所以 故答案： 13．9 【分析】根据基本不等式常数“1”的妙用方法计算求解即可. 【详解】由题且， 所以， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为9. 故答案为：9. 14．1 【分析】利用对数换底公式及性质计算作答. 【详解】 . 故答案为：1 15．(1) (2) 【分析】（1）运用指数幂的运算性质进行求解即可； （2）运用对数运算的性质进行求解即可. 【详解】（1）； （2）. 16．(1) 单调递减区间为，单调递增区间为． (2) 【分析】（1）根据图象变换画出函数图象，再直接观察得出单调性； （2）问题转化为与的图象有两个交点，根据图象得解. 【详解】（1）因为的图象是由的图象向下平移2个单位长度而得的， 而的图象是由的图象保留轴上方的图象， 再将轴下方的图象沿着轴向上翻折而得的，所以的大致图象如图，    所以的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）因为函数的图象与轴有两个不同的交点， 所以有两个根，即与的图象有两个交点，如图，    结合图象可知，，解得，即实数的取值范围为． 17．(1)偶函数，证明：因为且定义域为R，所以是偶函数. (2) 【分析】(1)根据奇偶性的定义即可证明； (2)讨论的符号，列出方程组即可求解. 【详解】（1）略 （2）当时，， 去绝对值符号可得，化简可得， 解之可得或(舍)， 当时，， 去绝对值符号可得，化简可得（舍）， 综上，的解为. 18．(1)大约还需要14分钟 (2)①20万套，24万元；②每月至少生产20万套产品 【分析】（1）先将已知数据代入牛顿冷却定律公式求出参数，再设所需时间代入公式，结合对数运算求出继续降温所需的时间. （2）①表示出平均每万套的成本表达式，利用基本不等式求出其最小值及对应的月产量. ②列出月利润的表达式，解不等式得到满足利润不低于1040万元的月产量范围. 【详解】（1）由题意可得，解得. 设经过分钟，这杯速溶咖啡由降温至，则， 解得， 故欲将这杯速溶咖啡继续降温至，大约还需要14分钟. （2）①设平均每一万套所需的成本费用为万元， 则有， 当且仅当，即时取等号， 所以该企业每月产量为20万套时，一万套的成本最低，一万套的最低成本为24万元 ②设月利润为万元， 则有， 解得（舍去）或， 所以该企业每月至少生产20万套产品，才能确保该制冷杯每月的利润不低于1040万元 19．(1)， 【详解】（1）当时，. 由得 由两式相加得. 由两式相乘得，所以. （2）①当时，，由解得； ②当时，，对应方程两根为. （i）当即时，不等式化为，无解. （ii）当即时，由解得. （iii）当即时，由解得. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $