精品解析：山东潍坊市某校2025-2026学年高一上学期第三次段考数学试题

2025级高一上学期第三次段考 数学试题 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的真子集个数为（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】解方程可得集合，根据集合中元素个数与真子集个数的关系即可求解. 【详解】已知集合，则的真子集个数为. 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题直接判断即可. 【详解】“，”的否定是“，”. 故选：. 3. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）． A. 3 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质计算可得. 【详解】由题意，当时，，则， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 故选：B 4. 下列命题是真命题的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于AB，举例判断即可；对于C，利用不等式的基本性质即可判断；对于D，利用作差法判断即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，满足，而，故B错误； 对于C，由，则， 而，则，所以，故C错误； 对于D，由， 因为，，所以， 所以，则，故D正确. 故选：D 5. 下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 定义域关于原点对称，因为，即函数为奇函数，排除CD选项， 当时，，则，此时，排除B选项. 故选：A. 6. 若函数的值域是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过函数解析式分析每个分段的值域，因为，值域为，所以，的值域应包含，所以判断出函数的单调性和范围，从而求出实数的取值范围. 【详解】当时，，其开口向上，对称轴为，值域为， 由函数的值域是， 则当时，的值域应包含，所以为减函数， 所以，解得，故的取值范围是. 故选：C 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过变形已知条件得到两个正数的和为定值，构造所求式子与该和的乘积形式，借助基本不等式求出最小值. 【详解】由，，，可得，且，. 则 , 由基本不等式，, 故, 当且仅当且，即，时，等号成立. 故选：C 8. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 与是同一个函数 C. 函数满足，若，则实数 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】CD 【解析】 【分析】结合基本不等式，可判定A错误；根据同一函数的判定方法，可判定B错误；根据函数的对应法则，以及函数值的运算法则，可得判定C正确；根据抽象函数定义的计算方法，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，可得，当且仅当时，等号成立； 当时，可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数没有最小值，所以A错误； 对于B，函数有意义，则满足，解得或， 函数有意义，满足，解得， 所以函数和的定义域不同，所以不是同一个函数，所以B错误； 对于C，由函数满足， 令，即，解得，则，即， 若，可得，所以C正确； 对于D，由函数的定义域为，即，可得， 所以函数的定义域为，所以D正确. 10. 下列所给的各组p，q中，p是q必要条件的有（ ） A. ：，： B. ：，，： C. ：在中，，：在中， D. ：，：关于x的方程有两个不同的实数解 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，得，可判断A，通过特殊值举例可判断B，由三角形基本性质可判断C，由判别式可判断D. 【详解】对于A: 由，得，则一定成立，而当时，如，不成立，所以p是q的必要不充分条件； 对于B，由，，可得， 取，满足，此时， 故p是q的充分不必要条件， 对于C，因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成立，所以当时，有，当时，有，所以p是q的充要条件； 对于D，当时，关于x的方程只有一个实根，若关于x的方程有两个不同实数解时，则，得且，所以p是q的必要不充分条件； 故选：ACD 11. 已知函数的定义域为，且满足，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数是偶函数 C. D. 若时，，则在上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】通过赋值法、举反例和单调性定义，分别验证各选项的正确性. 【详解】选项A，令，，代入， 得，解得，A正确. 选项B，令，，得，结合，解得. 再令，得，即是偶函数. 但， 故不是偶函数，B错误. 选项C，举反例，假设, ， 满足， 则，，，C错误. 选项D，任取且，令（）， 则. 因为时， 故，即在上单调递增，D正确. 故选：AD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】化简函数为，结合其单调性可得相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故要使函数在区间上是增函数， 需满足，则， 即实数a的取值范围是， 故答案为： 13. 解不等式________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法以及一元二次不等式求解方法解不等式即可. 【详解】要使分式有意义，需满足分母不为0，即， 对任意，恒有，当且仅当时等号成立， 所以不等式的解等价于， 即，解得：或， 所以不等式的解集为：. 14. 已知函数，若关于的方程有8个相异的实根，则实数b的取值范围为____ 【答案】 【解析】 【分析】通过分析分段函数图像，利用换元法将方程转化为二次方程，结合二次方程根的分布条件求解参数范围. 【详解】画出函数的图像如下图所示， 当时，，在处取得最小值， 时单调递减，时单调递增； 当时，，在处取得最大值， 时单调递增，时单调递减. 令，则方程转化为. 要使原方程有个相异的实根，需有两个不同实根， 且每个对应有个解. 由的图像可知，需在内，因此的两根均在内. 设，需满足： ①判别式或； ②对称轴； ③. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，全集. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求集合和的补集，再求并集； （2）分为空集和非空集两种情况，结合子集关系列不等式求解. 【小问1详解】 解不等式，即，得， 当时，，则或， 因此. 【小问2详解】 因为是的充分条件，所以. 当时，，解得，满足. 当时，，且需满足，解得. 综上，实数的取值范围是. 16. 某企业原来生产某种产品（万件）可获利（万元），且满足.现该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调研分析得知，当前产品供不应求.记该企业优化后的产品的利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当优化后的产品产量为多少万件时，该企业的利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 【答案】（1） （2）生产3万件产品时利润最大，最大利润为390万元 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出解析式； （2）当时，利用二次函数性质求最值，当时，利用基本不等式求最值，综合两段函数求最值. 【小问1详解】 由题意得， 【小问2详解】 当，， 故当时，取最大值，； 当时，， 当且仅当，即时，为最大值. 因此，优化后产品产量为3万件时，企业获最大利润万元 17. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）当时，求不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意可知的两根为和，然后利用根与系数的关系可求得结果； （2）当时可得，当时，，然后分和两种情况结合一元二次不等式的解法可求得结果. 【小问1详解】 由题意可知的两根为和， 所以由根与系数的关系得， 解得. 【小问2详解】 当时，则，解得； 当时，， 当时，则，解得或； 当时，则， 当时，即，解，得； 当时，即，解，得； 当时，即，解，得. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； （2）证明：在上是凹函数； （3）已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是，值域为； （2）设，，， 则 ， ∴， ∴当时，是凹函数. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设描述的性质写出单调区间，再由单调性求最值，即可得值域； （2）根据凹函数的定义，应用作差法比较大小证明结论； （3）根据题设求出的值域，将问题化为的值域为的值域的子集，求参数值. 【小问1详解】 由已知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以，又，， 所以，所以， 所以在上的值域为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 设，，，则，， 由已知性质得，当，即时，单调递减，所以递减区间为， 当，即时，单调递增，所以递增区间为， 由，，，得的值域为， 因为为减函数，所以，， 根据题意，的值域为的值域的子集， 从而有，所以. 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． （1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： （2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）假定函数是区间上的“2阶自伴函数”， 取，，由，得，显然此方程无实数解， 所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”. （2）1； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义，取，判断 在没有实数解，即可得解. （2）根据给定的定义，当时，用表示并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即得. （3）根据给定的定义，函数在区间,上的值域包含函数在区间,上的值域，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数为区间上的“1阶自伴函数”， 则对任意，总存在唯一的，使得， 即，整理得，显然函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应，而， 于是，则有，解得，即， 所以的值是1. 【小问3详解】 由函数在上单调递减，得函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶伴随函数”， 得对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 于是，则在区间上的值域必定包含区间， 且的值域在对应的自变量是唯一的，而函数图象开口向上，对称轴为， 显然，， ①当时，在上单调递增，则， 即，解得； ②当时，在上单调递减，则， 即，解得； ③当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得； ④当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得， 所以a的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当时，要考虑对称轴在区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一上学期第三次段考 数学试题 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的真子集个数为（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）． A. 3 B. C. 1 D. 4. 下列命题是真命题的是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的值域是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 与是同一个函数 C. 函数满足，若，则实数 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 下列所给的各组p，q中，p是q必要条件的有（ ） A. ：，： B. ：，，： C. ：在中，，：在中， D. ：，：关于x的方程有两个不同的实数解 11. 已知函数的定义域为，且满足，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 函数是偶函数 C. D. 若时，，则在上单调递增 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是______． 13. 解不等式________. 14. 已知函数，若关于的方程有8个相异的实根，则实数b的取值范围为____ 四、解答题：本题共5题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，全集. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，求实数a的取值范围. 16. 某企业原来生产某种产品（万件）可获利（万元），且满足.现该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调研分析得知，当前产品供不应求.记该企业优化后的产品的利润为（单位：万元）. （1）求函数的解析式； （2）当优化后的产品产量为多少万件时，该企业的利润最大？最大利润是多少？请说明理由. 17. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）当时，求不等式的解集. 18. 设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. （1）已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； （2）证明：在上是凹函数； （3）已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． （1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： （2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； （3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $